Verificare se una funzione è continua
Ciao a tutti,
tanto per cambiare ho quest'esercizio di topologia di cui però non possiedo la soluzione.
Ho fatto così:
La loro unione è la base di aperti.
a)
Sia ora $([-1,1],\tau_i)$ lo spazio topologico di partenza. Con $\tau_i$ topologia indotta da quella euclidea.
Ho preso (tanto per iniziare) come aperto di $\tau$ l'insieme $U=(0,1) \cup {2}$. Si ha $f^{-1}(U)=(-1,1] \in \tau_i$ in quanto $[-1,1] \cap (-1,2)=(-1,1]$.
Prendendo però, per esempio, $V=(1/2,1) \cup {2}$ ho che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$, che non appartiene a $\tau_i$ in quanto $(-1,-1/2)$ non posso ottenerlo come intersezione di $[-1,1]$ con un aperto della topologia euclidea.
Pertanto $f$ non è continua.
b)
Ho provato come prima a prendere $U=(0,1) \cup {2}$. Ho che $f^{-1}(U)=(-1,1]$ poiché il suo complementare è ${-1}$, che essendo finito soddisfa la condizione per appartenere a $\tau_{cof}$.
Però, per $V=(1/2,1) \cup {2}$, come prima si ha che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$. Il suo complementare in $[-1,1]$ è $[-1/2,1/2]$, che non è finito e perciò non appartiene a $\tau_{cof}$. Quindi $f$ non è continua.
Detto sinceramente, non sono per niente sicuro della mia risoluzione. Mi sembra strano che basti prendere lo stesso aperto e la il risultato non cambi. Un qualsiasi suggerimento o correzione è ben accetto](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
tanto per cambiare ho quest'esercizio di topologia di cui però non possiedo la soluzione.
Sia $X=[0,1] \cup {2}$ sottoinsieme di $RR$. Prendiamo la base di aperti $\mathcal{B}$ ottenuta come unione di tutti gli aperti della topologia euclidea indotta su $[0,1]$ e tutti gli insiemi del tipo $(x,1) \cup{2}$, $x \in [0,1)$. Prendiamo la topologia $\tau$ generata di $\mathcal{B}$.
Consideriamo la funzione $f:[-1,1] \rarr (X,\tau)$, con $f(x)= |x| " if " x!=1, f(1)=2$
a) $f$ è continua se $[-1,1]$ è dotato della topologia indotta da quella euclidea?
b) $f$ è continua se $[-1,1]$ è dotato della topologia cofinita?
Ho fatto così:
- 1. Topologia euclidea indotta su $[0,1]$. Gli aperti sono insiemi ottenuti come intersezione tra $[0,1]$ e un aperto $(a,b)$ della topologia euclidea. Perciò esempi di aperti sono $(0,1)$ , $[0,1/2)$.
2. Insiemi della forma $(x,1) \cup {2}$ , $x \in [0,1)$. Per esempio $(0,1) \cup {2}$, $(1/2,1) \cup {2}$.
La loro unione è la base di aperti.
a)
Sia ora $([-1,1],\tau_i)$ lo spazio topologico di partenza. Con $\tau_i$ topologia indotta da quella euclidea.
Ho preso (tanto per iniziare) come aperto di $\tau$ l'insieme $U=(0,1) \cup {2}$. Si ha $f^{-1}(U)=(-1,1] \in \tau_i$ in quanto $[-1,1] \cap (-1,2)=(-1,1]$.
Prendendo però, per esempio, $V=(1/2,1) \cup {2}$ ho che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$, che non appartiene a $\tau_i$ in quanto $(-1,-1/2)$ non posso ottenerlo come intersezione di $[-1,1]$ con un aperto della topologia euclidea.
Pertanto $f$ non è continua.
b)
Ho provato come prima a prendere $U=(0,1) \cup {2}$. Ho che $f^{-1}(U)=(-1,1]$ poiché il suo complementare è ${-1}$, che essendo finito soddisfa la condizione per appartenere a $\tau_{cof}$.
Però, per $V=(1/2,1) \cup {2}$, come prima si ha che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$. Il suo complementare in $[-1,1]$ è $[-1/2,1/2]$, che non è finito e perciò non appartiene a $\tau_{cof}$. Quindi $f$ non è continua.
Detto sinceramente, non sono per niente sicuro della mia risoluzione. Mi sembra strano che basti prendere lo stesso aperto e la il risultato non cambi. Un qualsiasi suggerimento o correzione è ben accetto
Risposte
Bene: quindi \(\displaystyle2\) non è separabile alla Hausdorff da...
Mi vien da dire che ${2}$ non è separabile alla Hausdorff dai punti di $[0,1]$.
Per vedere se è $T_1$ stavo cercando di mostrare (due risposte fa) che ogni punto è chiuso, ma non mi pare funzioni bene
Per vedere se è $T_1$ stavo cercando di mostrare (due risposte fa) che ogni punto è chiuso, ma non mi pare funzioni bene
"feddy":Eh no!, perché affermi questo?
Mi vien da dire che $ {2} $ non è separabile alla Hausdorff dai punti di $ [0,1] $.
...
Perché se prendo un punto in $[0,1]$, un suo intorno mi pare contenga ${2}$, per come è definita la base... ma a sto punto mi pare di aver capito male. Sinceramente non riesco a uscirne!
Ecco, appunto: la base di intorni di \(\displaystyle2\) è definita come \(\displaystyle]u,1[\cup\{2\}\) con \(\displaystyle u\in[0,1[\); ma la base di intorni del generico punto \(\displaystyle v\in[0,1]\) com'è definita?
La base di intorni per $v \in$ $[0,1] $ è data dalla topologia indotta dalla topologia euclidea su $[0,1]$, perciò: se prendo, per fissare le idee: $x=1/2$ e $y=2$, mi pare che ogni loro intorno sia a intersezione non vuota. Sbaglio ancora? (Sono col cellulare, mi è difficile scrivere).
Eh sì che sbagli!
Prova a indicare un intorno di \(\displaystyle\frac{1}{2}\) e un intorno di \(2\); quest'ultimo distinto da \(\displaystyle\left]\frac{1}{2},1\right[\cup{2}\)!
Prova a indicare un intorno di \(\displaystyle\frac{1}{2}\) e un intorno di \(2\); quest'ultimo distinto da \(\displaystyle\left]\frac{1}{2},1\right[\cup{2}\)!
Innanzitutto ti ringrazio per la pazienza:
Intorno di $1/2$: $U=[0,3/4)$ (per esempio). Gli aperti sono quelli della topologia euclidea indotta su $[0,1]$.
Intorno di $2$: $V=(0,1) U {2}$
E questi non sono disgiunti. Sto ancora sbagliando?
Intorno di $1/2$: $U=[0,3/4)$ (per esempio). Gli aperti sono quelli della topologia euclidea indotta su $[0,1]$.
Intorno di $2$: $V=(0,1) U {2}$
E questi non sono disgiunti. Sto ancora sbagliando?
Dipende da che intendi per sbaglio: certo che quei due intorni non sono disgiunti; ma sbagli nell'affermare che tutti gli intorni di \(\displaystyle\frac{1}{2}\) e di \(\displaystyle2\) non sono disgiunti...
Ok, ma comunque questo basta per mostrare che non è uno spazio $T_2$, giusto?
No, non basta assolutamente!
C'è un errore bruttissimo: se tu trovi due intorni aperti non disgiunti non hai dimostrato proprio nulla; se tu avessi preso \(\displaystyle\left]0,\frac{5}{8}\right[\) come intorno di \(\displaystyle\frac{1}{2}\) e \(\displaystyle\left]\frac{3}{4},1\right[\cup\{2\}\) come intorno di \(\displaystyle2\) li separeresti alla Hausdorff!
...e questi è solo un possibile esempio.
Appurato ciò, non puoi nemmeno affermare che \(\displaystyle X\) sia \(\displaystyle T_2\), perché non hai dimostrato che \(\displaystyle2\) sia o non sia separabile dai punti di \(\displaystyle[0,1]\)...
Riesci a capire chi è l'unico punto di \(\displaystyle[0,1]\) che non si separa alla Hausdorff da \(\displaystyle2\), dimostrando ogni mia singola affermazione?
C'è un errore bruttissimo: se tu trovi due intorni aperti non disgiunti non hai dimostrato proprio nulla; se tu avessi preso \(\displaystyle\left]0,\frac{5}{8}\right[\) come intorno di \(\displaystyle\frac{1}{2}\) e \(\displaystyle\left]\frac{3}{4},1\right[\cup\{2\}\) come intorno di \(\displaystyle2\) li separeresti alla Hausdorff!
...e questi è solo un possibile esempio.
Appurato ciò, non puoi nemmeno affermare che \(\displaystyle X\) sia \(\displaystyle T_2\), perché non hai dimostrato che \(\displaystyle2\) sia o non sia separabile dai punti di \(\displaystyle[0,1]\)...
Riesci a capire chi è l'unico punto di \(\displaystyle[0,1]\) che non si separa alla Hausdorff da \(\displaystyle2\), dimostrando ogni mia singola affermazione?
Oh, menomale che è saltato fuori questo, sinceramente dalla definizione non mi era parso così chiaro.
Quindi per non essere $T_2$ devono esistere un punto $x$ e un punto $y$ tali che per ogni loro intorno, questi sono non disgiunti.
Affermo che $1$ e $2$ non sono separabili alla Hausdorff, e quindi $X,\tau$ non è $T_2$.
Sia $U$ un intorno di $1$: allora $U=(x,1]$ oppure anche $[x,1]$, con $x \in [0,1)$.
Sia $V$ un intorno di $2$: è della forma $(x,1) \cup {2}$, $x \in [0,1)$.
Evidentemente $U \cap V= \emptyset \forall x \in X$, quidni lo spazio non è $T_2$.
Per quanto riguarda $T_1$: guardo se i punti sono chiusi.
A tal fine, per $x=0,1,2$ tutto fila liscio in quanto i loro complementari sono aperti. Per $x \in (0,1)$ ho $C_X({x})=[0,x) \cup (x,1] \cup {2}$ e questo non è un aperto in quanto ogni intorno di $2$ ha il punto ${1}$ escluso.
Ci sono?
Quindi per non essere $T_2$ devono esistere un punto $x$ e un punto $y$ tali che per ogni loro intorno, questi sono non disgiunti.
Affermo che $1$ e $2$ non sono separabili alla Hausdorff, e quindi $X,\tau$ non è $T_2$.
Sia $U$ un intorno di $1$: allora $U=(x,1]$ oppure anche $[x,1]$, con $x \in [0,1)$.
Sia $V$ un intorno di $2$: è della forma $(x,1) \cup {2}$, $x \in [0,1)$.
Evidentemente $U \cap V= \emptyset \forall x \in X$, quidni lo spazio non è $T_2$.
Per quanto riguarda $T_1$: guardo se i punti sono chiusi.
A tal fine, per $x=0,1,2$ tutto fila liscio in quanto i loro complementari sono aperti. Per $x \in (0,1)$ ho $C_X({x})=[0,x) \cup (x,1] \cup {2}$ e questo non è un aperto in quanto ogni intorno di $2$ ha il punto ${1}$ escluso.
Ci sono?
Ma scusami: ci stiamo provando da un po'... Se scrivi così significa che non hai capìto quali sono gli aperti di base!
Per esempio, se tu prendi \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) può mai essere \(\displaystyle]0,x[\) un intorno di \(\displaystyle\frac{1}{2}\)?
Poi, hai scritto più di una volta che su \(\displaystyle[0,1]\) consideri la topologia naturale, ed ora affermi che non è di Hausdorff?
L'unico dubbio che dovresti avere è il seguente: quali sono gli \(\displaystyle x\in[0,1]\) che potrebbero non essere separabili da \(\displaystyle2\)?
Ti ricordo che gli intorni di base di tali \(\displaystyle x\) sono del tipo \(\displaystyle]x-\epsilon,x+\epsilon[\cap[0,1]\) con \(\displaystyle\epsilon>0\)!
Per esempio, se tu prendi \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) può mai essere \(\displaystyle]0,x[\) un intorno di \(\displaystyle\frac{1}{2}\)?
Poi, hai scritto più di una volta che su \(\displaystyle[0,1]\) consideri la topologia naturale, ed ora affermi che non è di Hausdorff?
L'unico dubbio che dovresti avere è il seguente: quali sono gli \(\displaystyle x\in[0,1]\) che potrebbero non essere separabili da \(\displaystyle2\)?
Ti ricordo che gli intorni di base di tali \(\displaystyle x\) sono del tipo \(\displaystyle]x-\epsilon,x+\epsilon[\cap[0,1]\) con \(\displaystyle\epsilon>0\)!
Oddio ho riletto ora la mia risposta!! Ora l'ho editata ! Grazie infinite per la pazienza!
Benissimo;
e se tu guardassi bene, ti saresti accorto di aver dimostrato, mediante la definizione, che \(X\) è \(T_1\): dove hai sbagliato?
e se tu guardassi bene, ti saresti accorto di aver dimostrato, mediante la definizione, che \(X\) è \(T_1\): dove hai sbagliato?
Ho sbagliato a non considerare il fatto che la base è data dalle unioni di insiemi della topologia indotta da $\tau_e$ sul compatto $[0,1]$ e insiemi del tipo $(x,1) \cup {2}$. ($x \in [0,1)$.
Pertanto, per $x \in (0,1)$:
$C_X{x}=[0,x) \cup (x,1] \cup {2}$, che è dato dall'unione di $(x,1) \cup {2}$ e $[0,x) \cup (x,1]$.
Alternativamente, dovrei mostrare che per ogni punti diversi $x,y$, esistono due intorni $U,V$ tali che $x \in U$, $y \notin U$ e $y \in V$, $x \notin V$. Per esempio con $1$ e $2$ funziona, anche se dovrei mostrarlo per tutti i punti di $X$.
It's okay?
Pertanto, per $x \in (0,1)$:
$C_X{x}=[0,x) \cup (x,1] \cup {2}$, che è dato dall'unione di $(x,1) \cup {2}$ e $[0,x) \cup (x,1]$.
Alternativamente, dovrei mostrare che per ogni punti diversi $x,y$, esistono due intorni $U,V$ tali che $x \in U$, $y \notin U$ e $y \in V$, $x \notin V$. Per esempio con $1$ e $2$ funziona, anche se dovrei mostrarlo per tutti i punti di $X$.
It's okay?
It's OK!
Grazie mille, seriamente. Anche se dopo quasi 40 messaggi, finalmente ho compreso bene ciò che non avevo capito!
Grazie mille
Grazie mille
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