Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

[john_titor20]

Salve, volevo chiedere un aiuto su quest'esercizio:
Dopo aver verificato che $C$ è un sottospazio vettoriale di $RR[x]$, trova la sua dimensione e una sua base
\(\displaystyle C=\{p(x) \in \mathbb{R}[x]| p(-1)=0, p(1)=0 \} \).
Ho già verificato che è un sottospazio di $RR[x]$ tuttavia non riesco a capire come trovare dimensione e base. Avevo pensato di ricollegami in qualche modo ad una base canonica ma ho la sensazione che sia errato così. Grazie a ci mi risponderà

[john_titor20]

Perfetto, grazie mille ad entrambi

[ot]

"j18eos": Ci vediamo all'esame?

Certo , appena sarò pronto verrò a sostenere l'esame il prima possibile, non sa quanto mi sto esercitando [/ot]

[gugo82]

@ john_titor20:

Fortunatamente **** non lo leggo (ho AdBlock attivo e non lo disattivo nemmeno se viene Sbranchella a chiedermelo )…

Ad ogni buon conto, se $p in C$ è un polinomio con $"grad"(p)=n$, allora per il Teorema del Resto $p$ è divisibile per $x-1$ ed $x+1$, ossia per $x^2 - 1$; dunque è $p(x) = q(x)*(x^2 - 1)$ con $q$ univocamente determinato dall'algoritmo della divisione con $"grad"(q)=n-2$. Ne viene che esistono $n-1$ scalari $q_0,... , q_(n-2)$ tali che $q(x)=q_0+q_1x+... + q_(n-2)x^(n-2)$ e perciò:

$p(x)=[q_0 + q_1 x + ... + q_(n-2) x^(n-2)]*(x^2 - 1) = q_0*(x^2-1) + q_1 x*(x^2 - 1) + ... + q_(n-2) x^(n-2)*(x^2 - 1)$

cosicché $p$ si scrive in unico modo come combinazione lineare dei polinomi dell'insieme $B=\{x^2-1, x*(x^2-1),..., x^n*(x^2-1),...\}$. Ciò prova che $B$ è una base di $C$.

@ j18eos: Simpatico questo esercizio.

[j18eos]

@john_titor20 Prego, di nulla.

@gugo82 Grazie: mi piace sfantasiarmi.