Topologia prodotto
ciao a tutti
si parlava in classe di topologia prodotto e il mio professore ha detto che se ci troviamo di fronte a un prodotto infinito (non numerabile) di spazi topologici,esso non è metrizzabile, perchè non è possibile estrarre una base di aperti numerabile.
Perchè non è possibile? aiuto, sono una frana in topologia!!
si parlava in classe di topologia prodotto e il mio professore ha detto che se ci troviamo di fronte a un prodotto infinito (non numerabile) di spazi topologici,esso non è metrizzabile, perchè non è possibile estrarre una base di aperti numerabile.
Perchè non è possibile? aiuto, sono una frana in topologia!!
Risposte
Nel caso finito dimensionale, pur procedendo con costruzioni diverse, la box topology e la product topology coincidono!
Passando allo spazio \(\displaystyle\mathbb{R}^{\infty}\), lo spazio delle successioni di numeri reali o se preferisci il prodotto numerabile di \(\displaystyle\mathbb{R}\) per se stesso: come definisci le topologie di sopra? Se hai difficoltà, inizia con la box topology.
Passando allo spazio \(\displaystyle\mathbb{R}^{\infty}\), lo spazio delle successioni di numeri reali o se preferisci il prodotto numerabile di \(\displaystyle\mathbb{R}\) per se stesso: come definisci le topologie di sopra? Se hai difficoltà, inizia con la box topology.
Allora...la box topology dovrebbe avere come aperti gli insiemi del tipo $\prod_{i=1} (a_i,b_i)$
Per la topologia prodotto, dovrei prendere le "strisce" e fare però intersezioni finite per ottenere una base della topologia no?quindi visto che posso fare solo intersezioni finite io non riuscirò ad avere scatole ma avrò scatole con un po' di lati infiniti,per capirci,no?
Per la topologia prodotto, dovrei prendere le "strisce" e fare però intersezioni finite per ottenere una base della topologia no?quindi visto che posso fare solo intersezioni finite io non riuscirò ad avere scatole ma avrò scatole con un po' di lati infiniti,per capirci,no?
Anzi con un numero infinito di lati infiniti
"Benihime":Così va bene!
...avrò scatole con un po' di lati illimitati,per capirci,no?... Anzi con un numero infinito di lati illimitati
Altri dubbi? Vuoi fare un esercizietto?
proviamo dai 
In \(\displaystyle\mathbb{R}^{\infty}\) i punti sono chiusi?
Si sottointendono le topologie usuali!
Richiedo una dimostrazione manuale, senza usare teoremi; i quali ti dicono di sì almeno per la topologia prodotto.
Si sottointendono le topologie usuali!
Richiedo una dimostrazione manuale, senza usare teoremi; i quali ti dicono di sì almeno per la topologia prodotto.
per topologie usuali intendi topologia prodotto e box topology?
allora...per la topologia prodotto: pensavo di mostrare che il complementare dei punti sono aperti..quindi basterebbe che io riesca a esprimere l'insieme $RR text{/}\bar x$ come unione arbitraria di aperti...ora se $\bar x=(x_1,x_2,...x_n,..)$ io posso scrivere
$RR text{/}\bar x=$
$((x_1,\infty) xx RR^\infty) uu ((-\infty,x_1) xx RR^\infty) uu $
$(RR xx (x_2,\infty) xx RR^\infty) uu (RR xx (-\infty,x_2) xx RR^\infty) uu ... $
$... uu (RR^(n-1) xx (x_n,\infty) xx RR^\infty) uu (RR^(n-1) xx (-\infty,x_n) xx RR^\infty) uu ...$
(anche se così,ammesso che non abbia detto una boiata, alcune zone mi sa che le "copro" un mucchio di volte, che schifezza
)
per la box topology non mi viene da usare il complementare perchè gli aperti sono più piccoli...dovrei fare intersezioni di chiusi,ma visto che i chiusi sono i complementari delle "scatole" mi trovo un pò in difficoltà a capire come sono fatti (o meglio,come si possono scrivere in maniera decente)...sto pensando se posso vedere i chiusi come insiemi del tipo $\prod_i [a_i,b_i]$...
allora...per la topologia prodotto: pensavo di mostrare che il complementare dei punti sono aperti..quindi basterebbe che io riesca a esprimere l'insieme $RR text{/}\bar x$ come unione arbitraria di aperti...ora se $\bar x=(x_1,x_2,...x_n,..)$ io posso scrivere
$RR text{/}\bar x=$
$((x_1,\infty) xx RR^\infty) uu ((-\infty,x_1) xx RR^\infty) uu $
$(RR xx (x_2,\infty) xx RR^\infty) uu (RR xx (-\infty,x_2) xx RR^\infty) uu ... $
$... uu (RR^(n-1) xx (x_n,\infty) xx RR^\infty) uu (RR^(n-1) xx (-\infty,x_n) xx RR^\infty) uu ...$
(anche se così,ammesso che non abbia detto una boiata, alcune zone mi sa che le "copro" un mucchio di volte, che schifezza
)per la box topology non mi viene da usare il complementare perchè gli aperti sono più piccoli...dovrei fare intersezioni di chiusi,ma visto che i chiusi sono i complementari delle "scatole" mi trovo un pò in difficoltà a capire come sono fatti (o meglio,come si possono scrivere in maniera decente)...sto pensando se posso vedere i chiusi come insiemi del tipo $\prod_i [a_i,b_i]$...
Più che una schifezza, potevi notare che:
\[
\left(]-\infty,x_1[\times\mathbb{R}^{\infty}\right)\cup\left(]x_1,+\infty[\times\mathbb{R}^{\infty}\right)=\left(\mathbb{R}\setminus\{x_1\}\right)\times\mathbb{R}^{\infty}
\]
e scrivere in maniera più sintetica. : )
Forse ti sfugge un particolare, che ti pongo come domanda: le topologie prodotto e delle scatole sono confrontabili? Se sì, come?
\[
\left(]-\infty,x_1[\times\mathbb{R}^{\infty}\right)\cup\left(]x_1,+\infty[\times\mathbb{R}^{\infty}\right)=\left(\mathbb{R}\setminus\{x_1\}\right)\times\mathbb{R}^{\infty}
\]
e scrivere in maniera più sintetica. : )
Forse ti sfugge un particolare, che ti pongo come domanda: le topologie prodotto e delle scatole sono confrontabili? Se sì, come?
cioè mi stai hiedendo se una è inclusa nell'altra?
a pelle mi verrebbe da dire che gli aperti di prebase della topologia prodotto riesco a esprimerli come unioni di scatole,quindi sono aperti anche nella box topology...e se avessi detto una cosa giusta allora la topologia prodotto sarebbe inclusa nella box topology,e quindi se i punti sono chiusi nella prima lo sono anche nella seconda
a pelle mi verrebbe da dire che gli aperti di prebase della topologia prodotto riesco a esprimerli come unioni di scatole,quindi sono aperti anche nella box topology...e se avessi detto una cosa giusta allora la topologia prodotto sarebbe inclusa nella box topology,e quindi se i punti sono chiusi nella prima lo sono anche nella seconda
Sì, esatto!
Vuoi un altro esercizio?, però più difficile?!
Vuoi un altro esercizio?, però più difficile?!
si può provare 
L'insieme \(\displaystyle\prod_{i\in\mathbb{N}}[a_1,b_i]\) è chiuso in quali topologie?
Suggerimento: nel caso di una delle topologie, usa le proiezioni!
Suggerimento: nel caso di una delle topologie, usa le proiezioni!
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