Topologia prodotto
ciao a tutti
si parlava in classe di topologia prodotto e il mio professore ha detto che se ci troviamo di fronte a un prodotto infinito (non numerabile) di spazi topologici,esso non è metrizzabile, perchè non è possibile estrarre una base di aperti numerabile.
Perchè non è possibile? aiuto, sono una frana in topologia!!
si parlava in classe di topologia prodotto e il mio professore ha detto che se ci troviamo di fronte a un prodotto infinito (non numerabile) di spazi topologici,esso non è metrizzabile, perchè non è possibile estrarre una base di aperti numerabile.
Perchè non è possibile? aiuto, sono una frana in topologia!!
Risposte
Mh, dubito che il tuo professore l'abbia messa in questi termini. Questa affermazione è vera per casi non patologici, ma non in generale. Se, ad esempio, ti trovi con un prodotto non numerabile di spazi topologici dei quali solo una quantità numerabile di essi è uno spazio formato da più di un punto, l'affermazione è falsa.
Per dimostrare che in generale il prodotto non numerabile di spazi $N_2$ non è $N_2$ pensa ad un prodotto non numerabile di copie di \(\{0,1\}\) con la topologia discreta.
Per dimostrare che in generale il prodotto non numerabile di spazi $N_2$ non è $N_2$ pensa ad un prodotto non numerabile di copie di \(\{0,1\}\) con la topologia discreta.
mmmmh può darsi che io abbia scritto male negli appunti
Ma il mio problema principale è che non riesco tanto a "vedere" gli esempi. L'esempio che tu mi porgi non costituisce per me un esempio,perchè io non sono minimamente in grado di rendermi conto di quando uno spazio non possiede una determinata proprietà:il fatto che io non riesca a dimostrare che una proprietà c'è, non vuol dire che non ci sia, e io "a occhio" non sono in grado di accorgermene.
Suggerimenti per imparare? in particolare stavo cercando di capire se $RR^(RR)$ con topologia prodotto fosse (pseudo)metrizzabile o no,ma non so come fare per capirlo
ad esempio,se 2 punti di $RR^(RR)$ sono
$x=(x_1,...,x_n...)$
$y=(y_1,...,y_n...)$
posso mettere come metrica
$d(x,y)=text{sup}_i|x_i-y_i|$?
Ma il mio problema principale è che non riesco tanto a "vedere" gli esempi. L'esempio che tu mi porgi non costituisce per me un esempio,perchè io non sono minimamente in grado di rendermi conto di quando uno spazio non possiede una determinata proprietà:il fatto che io non riesca a dimostrare che una proprietà c'è, non vuol dire che non ci sia, e io "a occhio" non sono in grado di accorgermene.
Suggerimenti per imparare? in particolare stavo cercando di capire se $RR^(RR)$ con topologia prodotto fosse (pseudo)metrizzabile o no,ma non so come fare per capirlo
ad esempio,se 2 punti di $RR^(RR)$ sono
$x=(x_1,...,x_n...)$
$y=(y_1,...,y_n...)$
posso mettere come metrica
$d(x,y)=text{sup}_i|x_i-y_i|$?
"Benihime":
Suggerimenti per imparare?
Come in qualsiasi altro ramo della matematica, bisogna fare due cose: studiare bene (capire a fondo le definizioni, costruirsi esempi per cui valgono ed esempi per cui non valgono, date due definizioni simili costruirsi esempi in cui valgono entrambe ed esempi in cui vale solo una delle due, studiare le dimostrazioni, capire le costruzioni all'interno delle dimostrazioni, ripercorrere le dimostrazioni costruttive su qualche esempio...) ed esercitarsi tanto, prima facendo esercizi semplici col massimo della fiscalità, per riuscire, quando l'intuizione serve poco, a sistemare tutto formalmente, poi facendo esercizi via via più complessi per allenare l'intuito e per capire quando è l'intuito geometrico a servire e quando è il formalismo stesso a suggerirti un percorso, fino ad arrivare a fare esercizi complessi, cercando di costruire una buona dimostrazione mettendo assieme più pezzi. Quando un esercizio sembra troppo difficile, torna alla teoria, cerca di applicarla direttamente al problema, la vedrai con occhi diversi e la capirai meglio, e magari riuscirai anche a risolvere l'esercizio, ma in ogni caso avrai interiorizzato meglio il tutto e lo avrai omogeneizzato col resto delle tue conoscenze.
"Benihime":
in particolare stavo cercando di capire se $RR^(RR)$ con topologia prodotto fosse (pseudo)metrizzabile o no,ma non so come fare per capirlo
ad esempio,se 2 punti di $RR^(RR)$ sono
$x=(x_1,...,x_n...)$
$y=(y_1,...,y_n...)$
posso mettere come metrica
$d(x,y)=text{sup}_i|x_i-y_i|$?
Beh, cos'è "in pratica" $RR^(RR)$? Che proprietà deve soddisfare una metrica? Se rispondi a queste due domande capisci perché quella non è una metrica.
Se riesci a dimostrare che l'esempio che ti ho proposto (che è un modello semplificato del tuo problema) non è primo-numerabile riesci ad estendere subito la dimostrazione ad $RR^(RR)$, che quindi non può essere metrizzabile (perché?).
"Epimenide93":
Beh, cos'è "in pratica" $RR^(RR)$? Che proprietà deve soddisfare una metrica? Se rispondi a queste due domande capisci perché quella non è una metrica.
beh io $RR^(RR)$ lo sto pensando come $RR$-uple di numeri reali
e in realtà mi sembra che le proprietà per essere metrica siano rispettate
-2 punti hanno distanza nulla solo se sono uguali,perchè se differissero anche per una sola componente la distanza sarebbe diversa da 0
-è simmetrica per la presena del valore assoluto
-la disuguaglianza triangolare non so se l'ho verificata in modo rigoroso (ho pensato che
$text{sup}|x_i-z_i|<=text{sup}(|x_i-y_i|+|z_i-y_i|)<=text{sup}|x_i-y_i|+text{sup}|z_i-y_i|)$,ma so che in $RR^2$ non rieso a trovare un controesempio,quindi mi viene da pensare di poter generalizzare la cosa anche in $RR^(RR)$; l'unica coa che mi impensierisce è se il "sup" resti "lecito" passando alla dimensione infinita
"Epimenide93":ora ci provo grazie
Se riesci a dimostrare che l'esempio che ti ho proposto (che è un modello semplificato del tuo problema) non è primo-numerabile riesci ad estendere subito la dimostrazione ad $RR^(RR)$, che quindi non può essere metrizzabile (perché?).
dunque,ricordo che per mostrare che $RR^NN$ con la box topology non è a base di intorni numerabili si può usare una specie di argomento diagonale:
si prende come base di intorni per $0=(0,..0,...)$ gli intorni $U_1,..,U_n,..$ con
$U_1=U_11 xx U_12 xx U_13...$
$U_2=U_21 xx U_22 xx U_23...$
$U_3=U_31 xx U_32 xx U_33...$
$...$
allora se prendo come intorno $V=V_1 xx V_2 xx...$ con $V_i sub U_ii$ vedo che tal intorno non è contenuto in nessuno degli altri,e quindi quella di prima non era una base
è possibile riciclare il ragionamento? il fatto è che, nella topologia prodotto, gli intorni espressi come prodotto dovrebbero avere quasi tutti i fattori $=RR$,quindi non saprei come aggiustarlo....
si prende come base di intorni per $0=(0,..0,...)$ gli intorni $U_1,..,U_n,..$ con
$U_1=U_11 xx U_12 xx U_13...$
$U_2=U_21 xx U_22 xx U_23...$
$U_3=U_31 xx U_32 xx U_33...$
$...$
allora se prendo come intorno $V=V_1 xx V_2 xx...$ con $V_i sub U_ii$ vedo che tal intorno non è contenuto in nessuno degli altri,e quindi quella di prima non era una base
è possibile riciclare il ragionamento? il fatto è che, nella topologia prodotto, gli intorni espressi come prodotto dovrebbero avere quasi tutti i fattori $=RR$,quindi non saprei come aggiustarlo....
È molto meno macchinoso. Prendi \(\displaystyle \prod_{\mathbb{R}} \ ]0,1[\) in $RR^(RR)$, con la topologia prodotto. È aperto?
direi di no,perchè è un prodotto in cui tutti i fattori sono inclusi in $RR$ mentre quasi tutti dovrebbero essere uguali a $RR$..però sinceramente non vedo dove vuoi arrivare 
No, va be', quello che avevo in mente in realtà è più macchinoso. Tu conosci una dimostrazione del fatto che $RR^(NN)$ non è metrizzabile (che non è $N_1$, e tanto basta), ma \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) e questo ti permette di concludere.
Quella che proponi tu non è una metrica perché il sup potrebbe essere infinito. Se pensi $RR^(RR)$ come l'insieme delle funzioni da $RR$ in $RR$ di esempi ne trovi a profusione e certe analisi diventano più facili
"Benihime":
io $RR^(RR)$ lo sto pensando come $RR$-uple di numeri reali
Quella che proponi tu non è una metrica perché il sup potrebbe essere infinito. Se pensi $RR^(RR)$ come l'insieme delle funzioni da $RR$ in $RR$ di esempi ne trovi a profusione e certe analisi diventano più facili
Ma una distanza non può essere infinita? 
Evidentemente conosco male la definizione di distanza.. Comunque grazie mille!!!!
[modifica] no aspetta,ma io non ho mostrato che $RR^NN$ non è metrizzabile in un altra topologia?anzi a me risulta che nella top prodotto $RR^NN$ Sia metrizzabile
Evidentemente conosco male la definizione di distanza.. Comunque grazie mille!!!![modifica] no aspetta,ma io non ho mostrato che $RR^NN$ non è metrizzabile in un altra topologia?anzi a me risulta che nella top prodotto $RR^NN$ Sia metrizzabile
...è da un pò che pensavo di intervenire!
@Benihime Se ti chiedo di disegnarmi un elemento della base della topologia prodotto naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\): che mi disegni?
@Benihime Se ti chiedo di disegnarmi un elemento della base della topologia prodotto naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\): che mi disegni?
Beh io so che in dimensione finita la topologia prodotto e la box topology coincidono,pertanto un aperto di base è un rettangolo
Rettangolo coi lati o senza lati?
Sai cos'è una metrica prodotto? Se sì, chi sono gli aperti della base topologica di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) con la metrica prodotto di \(\displaystyle|\cdot|\)?
Conosci la topologia di Sorgenfrey (su \(\displaystyle\mathbb{R}\))? Stesse domande per il piano (reale) di Sorgenfrey!
Sai cos'è una metrica prodotto? Se sì, chi sono gli aperti della base topologica di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) con la metrica prodotto di \(\displaystyle|\cdot|\)?
Conosci la topologia di Sorgenfrey (su \(\displaystyle\mathbb{R}\))? Stesse domande per il piano (reale) di Sorgenfrey!
"Benihime":
Ma una distanza non può essere infinita?
No, una distanza su uno spazio \(X\) è una funzione \(X \times X \to \mathbb{R}\) che rispetta i tre assiomi di distanza, e \(+ \infty \not\in \mathbb{R}\).
"Benihime":
no aspetta,ma io non ho mostrato che $RR^NN$ non è metrizzabile in un altra topologia?anzi a me risulta che nella top prodotto $RR^NN$ Sia metrizzabile
Hai ragione, e sia la dimostrazione che avevo in mente sia quella che ti ho suggerito non funzionano perché sono un idiota. Per qualche motivo in un paio di passaggi avevo sovrapposto nella mia mente relativamente alla topologia prodotto i concetti di "finito" e "numerabile". Chiedo scusa.
Forse ho trovato un modo per adattare la dimostrazione che avevo in mente eliminando l'errore, ma dal momento che la cosa diventa intricata e che ubi maior minor cessat lascio fare a j18eos
"j18eos":
Rettangolo coi lati o senza lati?
Senza lati,perché deve essere prodotto di aperti di $RR$ nella metrica euclidea
"j18eos":
Sai cos'è una metrica prodotto? Se sì, chi sono gli aperti della base topologica di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) con la metrica prodotto di \(\displaystyle|\cdot|\)?
So che la top prodotto È la topologia più piccola possibile per rendere le proiezioni sulle componenti del prodotto continue,no? Ma la metrica prodotto non mi sembra di averla mai vista
"j18eos":
Conosci la topologia di Sorgenfrey (su \(\displaystyle\mathbb{R}\))? Stesse domande per il piano (reale) di Sorgenfrey!
La topologia di songenfrey è quella che ha aperti della forma [a,b) no? Per stesse domande cosa intendi?
"Benihime":Vero,
...So che la top prodotto È la topologia più piccola possibile per rendere le proiezioni sulle componenti del prodotto continue,no?...
"Benihime":Ne parliamo al prossimo post!
...Ma la metrica prodotto non mi sembra di averla mai vista
"Benihime":Mi disegni il generico aperto della base del piano di Sorgenfrey?
...La topologia di Songenfrey è quella che ha aperti della forma [a,b) no? Per stesse domande cosa intendi?
Poi passiamo alla metrica prodotto ed ai prodotti topologici infiniti!
in $RR^2$ dovrebbero essere dei rettangoli con solo il lato sinistro e il lato sotto no? cioe $[a,b) xx [c,d)$
Staccati da \(\mathbf{R}^n\) con \(n\) finito, altrimenti continuerai a lavorare con la box topology anche se non è uguale alla topologia prodotto per prodotti infiniti.
La base della topologia prodotto ha la forma \(\prod U_{\alpha}\) dove \(U_{\alpha} = X_{\alpha}\) per tutti tranne che per un numero finito di \(\alpha\). Questo perché possiede come sottobase l'insieme e delle controimmagini degli aperti dei vari \(X_{\alpha}\) rispetto alle proiezioni sulle componenti.
Se capisci come è fatta allora capisci ciò che ti ha detto il professore.
La base della topologia prodotto ha la forma \(\prod U_{\alpha}\) dove \(U_{\alpha} = X_{\alpha}\) per tutti tranne che per un numero finito di \(\alpha\). Questo perché possiede come sottobase l'insieme e delle controimmagini degli aperti dei vari \(X_{\alpha}\) rispetto alle proiezioni sulle componenti.
Se capisci come è fatta allora capisci ciò che ti ha detto il professore.
@Behimine Bene, tutto corretto; ora, invece, prova a descivere le anti-immagini degli aperti delle basi topologiche di \(\displaystyle\mathbb{R}\) con le topologie naturale e di Sorgenfrey in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)...
@j18eos antiimmagini rispetto a quale funzione?
(scusa se rispondo poco ma sto preparndo un altro esame e controllo le risposte quando ho tempo)
(scusa se rispondo poco ma sto preparndo un altro esame e controllo le risposte quando ho tempo)
Sottointendo le funzioni di proiezione del sostegno del prodotto! 
Non ti preoccupare; e buono studio.
Non ti preoccupare; e buono studio.
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