Topologia prodotto
ciao a tutti
si parlava in classe di topologia prodotto e il mio professore ha detto che se ci troviamo di fronte a un prodotto infinito (non numerabile) di spazi topologici,esso non è metrizzabile, perchè non è possibile estrarre una base di aperti numerabile.
Perchè non è possibile? aiuto, sono una frana in topologia!!
si parlava in classe di topologia prodotto e il mio professore ha detto che se ci troviamo di fronte a un prodotto infinito (non numerabile) di spazi topologici,esso non è metrizzabile, perchè non è possibile estrarre una base di aperti numerabile.
Perchè non è possibile? aiuto, sono una frana in topologia!!
Risposte
allora...se lo spazio prodotto è $RR^n$
l'antiimagine di un aperto $(a,b)$ è $(a,b) xx RR^(n-1)$
mentre l'antiimagine di un aperto $[a,b) xx [c,d)$ è $[a,b) xx [c,d) xx RR^(n-2)$
l'antiimagine di un aperto $(a,b)$ è $(a,b) xx RR^(n-1)$
mentre l'antiimagine di un aperto $[a,b) xx [c,d)$ è $[a,b) xx [c,d) xx RR^(n-2)$
Perché per la topologia prodotto di Sorgenfrey consideri quell'insieme?
temo di non capire....
Su \(\displaystyle\mathbb{R}\) consideriamo la topologia di Sorgenfrey (che è un matematico); la generica proiezione di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) è la funzione:
\[
p_i:(x_1,...,x_i,...,x_n)\in\mathbb{R}^n\to x_i\in\mathbb{R}
\]
ove \(\displaystyle i\in\{1,...,n\}\).
Per semplicità, chi è \(\displaystyle p_1^{-1}([a,b[)\)?
\[
p_i:(x_1,...,x_i,...,x_n)\in\mathbb{R}^n\to x_i\in\mathbb{R}
\]
ove \(\displaystyle i\in\{1,...,n\}\).
Per semplicità, chi è \(\displaystyle p_1^{-1}([a,b[)\)?
$[a,b) xx RR^(n-1)$
avevo capito che me l'avessi chiesta con la topologia di Sorgenfrey in $RR^2$
avevo capito che me l'avessi chiesta con la topologia di Sorgenfrey in $RR^2$
Bene; ora, secondo te, con questi insiemi come puoi (se puoi) costruire una topologia su \(\displaystyle\mathbb{R}^n\)?
si può prendere quelli come aperti no? intendo le antiimmagini delle proiezioni
Sì, ma ti formano una topologia?
direi di si.....sbaglio?
"Benihime":Sì
...sbaglio?
Controlla che formano solo un ricoprimento, per aperti secondo una topologia da definirsi.
...come la definisci?
aspetta,non capisco cosa manca per essere una topologia
a me risulta che antiimmagini di aperti tramite funzioni continue siano aperti
e visto che sono antiimmagine di aperti tramite la proiezione, che è continua, sono aperti
a me risulta che antiimmagini di aperti tramite funzioni continue siano aperti
e visto che sono antiimmagine di aperti tramite la proiezione, che è continua, sono aperti
e mi sembra ci sia anche la chiusura per interseioni finite e unioni arbitrarie
"Benihime":
e mi sembra ci sia anche la chiusura per interseioni finite e unioni arbitrarie
Controlla meglio.
allora...io penso ad $RR^2$... allora gli insiemi del tipo $(a,b)xxRR$ son tipo strisce verticali no? e a me sembra che intersecando strisce o unendole trovo sempre strisce...
Sì, però così ignori le striscie "orizzontali". 
Ah ok,quindi tu volevi che prendessi le anti immagini di tutte le proiezioni!! Ah ok...beh le intersezioni di strisce sono rettangoli,mentre le unioni sono "croci" (e analogamente in dimensione superiore) quindi le unioni e le intersezioni non sono più anti immagini tramite le proiezioni
"Benihime":...e certo, altrimenti le altre si potrebbero sentire discriminate.
Ah ok,quindi tu volevi che prendessi le anti immagini di tutte le proiezioni!!...
Venendo al problema: hai un ricoprimento di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), come definisci una topologia (per aperti)?
Se io prendo le intersezioni delle strisce come aperti? (Se non ricordo male vuol dire che sto prendendo le strisce come prebase,giusto?)...ho dei rettangoli e quindi sia le "strisce" che le "croci" sono unioni di questi rettangoli no?
"Benihime":OK.
Se io prendo le intersezioni finite delle strisce come aperti?...
Conclusioni? Sino a qui cosa hai capito?
Conclusioni relativamente a....? Ho capito come costruire la topologia prodotto,ma per conclusioni intendi qualcos'altro?
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