Teorema di Lee-Wha-Chung
Come si dimostra che ogni forma differenziale $A_i dp_i+B_j dq_j$ che mi fa il piacere di essere un invariante integrale universale, ovvero tale che
$\int_\gamma A_i dp_i + B_j dq_j = C$ per ogni $\gamma$ disegnato in un tubo di flusso Hamiltoniano DEVE ESSERE un multiplo dell'invariante di Poincarè Cartan? Cioè la tesi è che sotto questa ipotesi esiste una $c$ tale che
$ A_i dp_i + B_j dq_j = c( p_i dq_i)$
(TEOREMA DI LEE WHA-CHUNG, da me soprannominato "teorema del muso giallo")
Di questa cosa ho trovato una dimostrazione per un solo grado di libertà: in questo modo gamma è una curva tracciata sullo spazio tridimensionale (q,p,t). Nella dimostrazione vengono usati concetti come il rotore, il teorema di Stokes...concetti che esistono solo in R3.
Ma è possibile avere una dimostrazione completa, valida per piu gradi di libertà?
Se vi linko la dimostrazione con n=1, mi scrivereste la generalizzazione? Che strumenti matematici servono?
$\int_\gamma A_i dp_i + B_j dq_j = C$ per ogni $\gamma$ disegnato in un tubo di flusso Hamiltoniano DEVE ESSERE un multiplo dell'invariante di Poincarè Cartan? Cioè la tesi è che sotto questa ipotesi esiste una $c$ tale che
$ A_i dp_i + B_j dq_j = c( p_i dq_i)$
(TEOREMA DI LEE WHA-CHUNG, da me soprannominato "teorema del muso giallo")
Di questa cosa ho trovato una dimostrazione per un solo grado di libertà: in questo modo gamma è una curva tracciata sullo spazio tridimensionale (q,p,t). Nella dimostrazione vengono usati concetti come il rotore, il teorema di Stokes...concetti che esistono solo in R3.
Ma è possibile avere una dimostrazione completa, valida per piu gradi di libertà?
Se vi linko la dimostrazione con n=1, mi scrivereste la generalizzazione? Che strumenti matematici servono?
Risposte
@j18eos: In questo contesto sta calcolando il rotore della forma differenziale come se fosse un normale vettore di \(\mathbb R^3\). Sta cioè usando la normale metrica Euclidea. In ogni caso sta usando il rotore solo per stabilire se una forma è chiusa, che in \(\mathbb R^3\) corrisponde a verificare che \( \partial F_i/\partial x^j = \partial F_j/\partial x^i \) dove la forma differenziale è \( \omega = F_i\,x^i \) (notazione di Einstein..). Ma una forma chiusa è definita in generale come una forma differenziale \( \omega \) per cui \( d\omega = 0 \). In coordinate avremo la stessa condizione data dal rotore in \( \mathbb R^3 \) per cui la generalizzazione è di fatto immediata in questo caso e non abbiamo neanche bisogno di prendere in considerazione la metrica.
Appena oggi ci hanno definito cosè una varietà (topologica). Ma cosa sia una varietà riemanniana, non ne ho idea. Peggio ancora per le altre notazioni, come $T_p$ (se intendete una "topologia" immagino sia l'insieme di aperti).
Ma per sbaglio ho visto un simbolo di "bemolle" tra gli scritti di j18....
Ma che c'entra qui la musica? XD
Ma per sbaglio ho visto un simbolo di "bemolle" tra gli scritti di j18....
Ma che c'entra qui la musica? XD
"j18eos":
si definisce rotore \(\displaystyle\mathrm{rot}X\) di un campo vettorale \(\displaystyle X\) di \(\displaystyle M\) la \(\displaystyle 2\)-forma differenziale \(\displaystyle d(X^{\flat})\).
Devo dire che l’ho visto anche nella forma \(\displaystyle \bigl( \star d X^{\flat} \bigr)^{\sharp} \) . Immagino dipenda un po' da quello che ti aspetti alla fine.
Comunque mostro i calcoli per il caso \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \). In questo caso le operazioni in questione sono piuttosto banali (bisogna stare un po' attenti ai vari segni però).
Hai un campo vettoriale \(\displaystyle X = F_1\mathbb{i} + F_2\mathbb{j} + F_3\mathbf{k} \).
\(\displaystyle X^{\flat} = F_1 dx + F_2 dy + F_3 dz \).
\(\displaystyle\begin{align} dX^{\flat} &= -\frac{\partial F_1}{\partial y} dx\wedge dy - \frac{\partial F_1}{\partial z} dx\wedge dz + \frac{\partial F_2}{\partial x} dx\wedge dy - \frac{\partial F_2}{\partial y} dy\wedge dz + \frac{\partial F_3}{\partial x} dx\wedge dz + \frac{\partial F_3}{\partial y} dy\wedge dz \\
&= \biggl(\frac{\partial F_2}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial y}\biggr) dx\wedge dy + \biggl(\frac{\partial F_3}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial z}\biggr) dx\wedge dz + \biggl(\frac{\partial F_3}{\partial y} -\frac{\partial F_2}{\partial z}\biggr) dy\wedge dz \\
\end{align}\)
\(\displaystyle \star dX^{\flat} = \biggl(\frac{\partial F_3}{\partial y} -\frac{\partial F_2}{\partial z}\biggr) dx + \biggl(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\biggr) dy + \biggl(\frac{\partial F_2}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial y}\biggr) dz \)
\(\displaystyle (\star dX^{\flat})^{\sharp} = \biggl(\frac{\partial F_3}{\partial y} -\frac{\partial F_2}{\partial z}\biggr) \mathbf{i} + \biggl(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\biggr) \mathbf{j} + \biggl(\frac{\partial F_2}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial y}\biggr) \mathbf{k} \)
I due isomorfismi musicali \(\displaystyle \flat \) e \(\displaystyle \sharp \) hanno lo scopo di passare da campi vettoriali a forme differenziali. La \(\displaystyle d \) è il differenziale esterno (questo immagino ti sia sufficientemente famigliare da non richiedere una presentazione) e \(\displaystyle \star \) è il duale di Hodge che fornisce un isomorfismo tra \(\displaystyle k \)-forme e \(\displaystyle (n-k) \)-forme in uno spazio di dimensione \(\displaystyle n \) (che abbiano la stessa dimensione spero ti sia noto).
isomorfismi musicali.... O_o
Non c'è bisogno di fare quella faccia. Nel caso di \(\mathbb{R}^n\) sono, come puoi vedere nel mio esempio, piuttosto banali. Insomma \(\flat\) manda \((\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})\) in \((dx,dy,dz)\) e \(\sharp\) fa l'opposto. Il nome deriva dal fatto che nella notazione di Einstein stai alzando o abbassando gli indici (delle componenti). In presenza di basi non ortonormali le cose sono un po' più complesse ma per ora puoi ignorare la cosa.
è che sono un dilettante pianista...sarei curioso di sapere chi ha inventato una notazione così....deve essere stata una mente molto eclettica---
Ma lo spazio delle fasi dove vive la meccanica hamiltoniana è piatto piattissimo, nevvero? Il mio libro di meccanica classica è pieno zeppo di dimostrazioni di teoremi fatti "come se" lo spazio delle fasi esteso fosse il banale R^(2n+1) (le qi, le pi, e il tempo).
Non ci sarebbe motivo di ipotizzare strane curvature, o sbaglio?
Non ci sarebbe motivo di ipotizzare strane curvature, o sbaglio?
@apatriarca Come ho scritto nel mio secondo intervento, non conosco questo teorema; e quando newton_1372 ha messo un link alla dimostrazione: non ho potuto leggerla per sovvenuti impegni.
Mi sono limitato a mostrare come il rotore (ed altri gingilli da "analisi 2") si possano generalizzare; supponendo che il lettore abbia le opportune conoscenze.
@vict85 Addirittura scomodare l'operatore duale di Hodge... Ma forse in questo caso, per semplicità di spiegazione: meglio così!
@newton_1372 Credo che vict85 ti abbia risposto sui cosiddetti (e non solo qui) isomorfismi musicali.
Venendo alle metriche riemanniane: non è vero che in generale si usano sole metriche piatte; se non erro, in meccanica relativistica la metrica non è (sempre) piatta.
Mi sono limitato a mostrare come il rotore (ed altri gingilli da "analisi 2") si possano generalizzare; supponendo che il lettore abbia le opportune conoscenze.
@vict85 Addirittura scomodare l'operatore duale di Hodge... Ma forse in questo caso, per semplicità di spiegazione: meglio così!
@newton_1372 Credo che vict85 ti abbia risposto sui cosiddetti (e non solo qui) isomorfismi musicali.
Venendo alle metriche riemanniane: non è vero che in generale si usano sole metriche piatte; se non erro, in meccanica relativistica la metrica non è (sempre) piatta.
Mi spiegate delle notazioni? Che insieme è T_P? e che cos'è $g_P$ (e quali sono i suoi argomenti?)
E cosa si intende con la notazione $dx\wedge dy$?
E cosa si intende con la notazione $dx\wedge dy$?
Caro newotn_1372, scusa la brutalità: pensa alla meccanica hamiltoniana per come ti è stata spiegata\impostata;
quando potrai\vorrai seguire un primo corso di geometria differenziale fatto per bene, capirai una parte di quanto scritto; la geometria riemanniana non è elementare come argomento...
EDIT Sono sicuro che studiando il principio di minima azione, incontrerai alcuni dei precedenti concetti. Sappi attendere!
quando potrai\vorrai seguire un primo corso di geometria differenziale fatto per bene, capirai una parte di quanto scritto; la geometria riemanniana non è elementare come argomento...
EDIT Sono sicuro che studiando il principio di minima azione, incontrerai alcuni dei precedenti concetti. Sappi attendere!
"j18eos":
@apatriarca Come ho scritto nel mio secondo intervento, non conosco questo teorema; e quando newton_1372 ha messo un link alla dimostrazione: non ho potuto leggerla per sovvenuti impegni.
Venendo alle metriche riemanniane: non è vero che in generale si usano sole metriche piatte; se non erro, in meccanica relativistica la metrica non è (sempre) piatta.
Poco prima del tuo post avevo inserito una prima parte della dimostrazione che non sono riuscito a finire perché sono troppo occupato con il lavoro. Nella dimostrazione avevo già parlato di come generalizzare il discorso sul rotore in questo caso. È a questo che mi riferivo nel mio post.
Mi sono spiegato male comunque riguardo alle metriche. Quello che intendevo dire è che nelle dispense del professore e nella dimostrazione si è calcolato il rotore della forma differenziale come vettore di \(\mathbb R^3\) ignorando totalmente la natura di forma differenziale e problematiche legate alla metrica. Ovviamente non stavo dicendo che le metriche sono inutili o che non ci siano situazioni in fisica in cui si faccia uso di metriche non piatte. In effetti è assolutamente vero il contrario. Qualsiasi sistema fisico può in effetti essere modellato come un opportuno spazio (semi-)Riemanniano e lo studio di tale metrica può fornire molte informazioni su questo sistema.
Comunque in questi giorni cercherò di ripercorrere la dimostrazione di "apatriarca". Se non saprò come proseguire, faccio sapere.
Inizio con un OT pubblico: la settimana è finita in pace, ma non vado ancora... in pace 
@apatriarca Forse non ci siamo capiti, o (sicuramente) mi sono espresso male. Ripeto ancora una volta che non ho potuto leggere la dimostrazione e studiarla per dare una mano, per cui mi sono limitato a spiegare a newton_1372 come generalizzare certi concetti, dopo sua richiesta; senza sapere (a mia colpa) che newton_1372 non conosce la geometria riemanniana.
Per quanto riguarda metriche e meccanica: stavo rispondendo a newton_1372.
In chiusura:
@newton1372 caro: non perdere la curiosità verso la geometria differenziale.
@apatriarca Forse non ci siamo capiti, o (sicuramente) mi sono espresso male. Ripeto ancora una volta che non ho potuto leggere la dimostrazione e studiarla per dare una mano, per cui mi sono limitato a spiegare a newton_1372 come generalizzare certi concetti, dopo sua richiesta; senza sapere (a mia colpa) che newton_1372 non conosce la geometria riemanniana.
Per quanto riguarda metriche e meccanica: stavo rispondendo a newton_1372.
In chiusura:
@newton1372 caro: non perdere la curiosità verso la geometria differenziale.
Io sono newton_1372 non newton_1243! Tra parentesi, 1372 è il mio peso in newton, quindi non sbagliamo quel numero please!
Per il resto, non solo non mi passerà la curiosità verso la geometria differenziale, ma è assolutamente la mia materia preferita di quelle che sto seguendo questo semestre! (Insieme a relatività e fisica 2).
Solo che io speravo che mi insegnassero a integrare e derivare su "cosi curvi e strani"...e invece le prime 2 settimane "spazi topologici di hausdorff, metrizzabili o non metrizzabili topologia e topologia e topologia...penso che stia un pò andando nell'astratto il prof...
Comunque dice che non farà geometria riemanniana ma quello che ci farà è un caso particolare. Boh. Io so che a Reltività generale Einstein usa la metrica riemanniana....
Speriamo...
Per il resto, non solo non mi passerà la curiosità verso la geometria differenziale, ma è assolutamente la mia materia preferita di quelle che sto seguendo questo semestre! (Insieme a relatività e fisica 2).
Solo che io speravo che mi insegnassero a integrare e derivare su "cosi curvi e strani"...e invece le prime 2 settimane "spazi topologici di hausdorff, metrizzabili o non metrizzabili topologia e topologia e topologia...penso che stia un pò andando nell'astratto il prof...
Comunque dice che non farà geometria riemanniana ma quello che ci farà è un caso particolare. Boh. Io so che a Reltività generale Einstein usa la metrica riemanniana....
Speriamo...
"newton_1372":Vabbè, t'ho fatto dimagrire, dai!
Io sono newton_1372 non newton_1243! Tra parentesi, 1372 è il mio peso in newton, quindi non sbagliamo quel numero please!...
"newton_1372":Ovviamente!
...Comunque [il prof. (NdR.)] dice che non farà geometria riemanniana...
Andrà "in grande": cioè spiegherà una geometria di cui la Riemanniana è un caso particolare. Io però spero di poter leggere l'articolo di einstein sulla relatività generale e capirne il linguaggio matematico...(e anche quel pdf). E ripeto, voglio imparare a calcolare energie e flussi, integrare e derivare su "spazi strani" aventi come unica proprietà quelli di essere localmente euclidei...e poi voglio sapere che diamine sono oggetti tipo tensori di curvatura di Ricci and so on..
Per queste cose a me piace moltissimo il libro di Wald, quello con in copertina la mela col tavolo poggiato sopra. Però ti consiglio di aderire al tuo corso.
E' sbagliato dire che la Meccanica Hamiltoniana "vive" in $R^{2N}$? Lo spazio delle fasi non è euclideo? La formulazione in $R^{2N}$ è sbagliata/incompleta?
"newton_1372":No, se con \(\displaystyle N\) intendi il grado di libertà del sistema meccanico che stai studiando.
E' sbagliato dire che la Meccanica Hamiltoniana "vive" in $R^{2N}$?...
"newton_1372":Non ricordo, ma direi in genere no!
...Lo spazio delle fasi non è euclideo?...
"newton_1372":Quale formulazione? Che intendi?
...La formulazione in $R^{2N}$ è sbagliata/incompleta?
"j18eos":No, se con \(\displaystyle N\) intendi il grado di libertà del sistema meccanico che stai studiando.
[quote="newton_1372"]E' sbagliato dire che la Meccanica Hamiltoniana "vive" in $R^{2N}$?...
"newton_1372":Non ricordo, ma direi in genere no!
...Lo spazio delle fasi non è euclideo?...
"newton_1372":Quale formulazione? Che intendi?[/quote]
...La formulazione in $R^{2N}$ è sbagliata/incompleta?
Non proprio, la formulazione Hamiltoniana della meccanica classica è fatta in termini di fibrato cotangente. Lo spazio delle configurazioni è una varietà differenziabile e lo spazio delle fasi è il suo fibrato cotangente. Il tutto ha struttura di "varietà simplettica". Non saprei se ci sono delle metriche Riemanniane in gioco, immagino di si, buh. Quelle sono come il prezzemolo.
In ogni modo qui finiscono le mie conoscenze, per saperne di più mi sa che tocca aprire il libro di Arnol'd.
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