Teorema di Lee-Wha-Chung
Come si dimostra che ogni forma differenziale $A_i dp_i+B_j dq_j$ che mi fa il piacere di essere un invariante integrale universale, ovvero tale che
$\int_\gamma A_i dp_i + B_j dq_j = C$ per ogni $\gamma$ disegnato in un tubo di flusso Hamiltoniano DEVE ESSERE un multiplo dell'invariante di Poincarè Cartan? Cioè la tesi è che sotto questa ipotesi esiste una $c$ tale che
$ A_i dp_i + B_j dq_j = c( p_i dq_i)$
(TEOREMA DI LEE WHA-CHUNG, da me soprannominato "teorema del muso giallo")
Di questa cosa ho trovato una dimostrazione per un solo grado di libertà: in questo modo gamma è una curva tracciata sullo spazio tridimensionale (q,p,t). Nella dimostrazione vengono usati concetti come il rotore, il teorema di Stokes...concetti che esistono solo in R3.
Ma è possibile avere una dimostrazione completa, valida per piu gradi di libertà?
Se vi linko la dimostrazione con n=1, mi scrivereste la generalizzazione? Che strumenti matematici servono?
$\int_\gamma A_i dp_i + B_j dq_j = C$ per ogni $\gamma$ disegnato in un tubo di flusso Hamiltoniano DEVE ESSERE un multiplo dell'invariante di Poincarè Cartan? Cioè la tesi è che sotto questa ipotesi esiste una $c$ tale che
$ A_i dp_i + B_j dq_j = c( p_i dq_i)$
(TEOREMA DI LEE WHA-CHUNG, da me soprannominato "teorema del muso giallo")
Di questa cosa ho trovato una dimostrazione per un solo grado di libertà: in questo modo gamma è una curva tracciata sullo spazio tridimensionale (q,p,t). Nella dimostrazione vengono usati concetti come il rotore, il teorema di Stokes...concetti che esistono solo in R3.
Ma è possibile avere una dimostrazione completa, valida per piu gradi di libertà?
Se vi linko la dimostrazione con n=1, mi scrivereste la generalizzazione? Che strumenti matematici servono?
Risposte
"apatriarca":
Per prima cosa direi che chiamarlo "teorema del muso giallo" sia un po' irrispettoso verso il matematico (o fisico) che ha dimostrato il teorema. Credo sia meglio continuare a chiamarlo teorema di Lee Hwa-Chung o eventualmente teorema LHC.
Ti propongo l'inizio della generalizzazione della tua dimostrazione. In realtà il discorso sul rotore si generalizza semplicemente all'osservazione che una forma esatta è anche chiusa. Se una forma differenziale è chiusa allora tutte le derivate parziali miste devono essere uguali e questa è l'espressione che ho usato alla fine. Puoi provare a continuare la dimostrazione visto il tuo interesse in essa. In questo momento non ho tempo per finirla io stesso.
Per una maggiore comodità di lettura ho usato \(\delta\) per indicare il differenziale e ho limitato l'uso della lettera \(d\) alla notazione per la derivazione. Ho anche usato la notazione di Einstein per alleggerire la notazione.
Siccome \(\mathcal I^{H,t}(\gamma)\) rimane costante al variare di \(t\), deve valere la relazione
\[ \frac{d}{dt} \, \mathcal I^{H,t}(\gamma) = 0. \]
Derivando sotto il segno di integrale otteniamo quindi
\[\begin{align*}
0 = &\oint \frac{d A_i}{dt} \, \delta p^i + A_i \, \frac{d}{dt} \, \delta p^i + \frac{d B_i}{dt} \, \delta q^i + B_i \, \frac{d}{dt} \, \delta q^i \\
= &\oint \frac{d A_i}{dt} \, \delta p^i + A_i\,\delta\,\frac{d p^i}{dt} + \frac{d B_i}{dt} \, \delta q^i + B_i\,\delta\,\frac{d q^i}{dt}.
\end{align*}\]
A questo punto possiamo integrare per parti i termini con le derivate all'interno dei differenziali osservando che per una curva chiusa vale la relazione \( \oint_\gamma u\,\delta v = - \oint_\gamma v\, \delta u \). Possiamo inoltre fare uso delle equazioni di Hamilton per riscrivere le derivate temporali di \(p^i\) e \(q^i\) ed esplicitare le derivate totali. Otteniamo così la seguente equazione:
\[\begin{align*}
0 = &\oint \biggl( \frac{\partial A_i}{\partial q^j}\frac{\partial H}{\partial p^j} - \frac{\partial A_i}{\partial p^j}\frac{\partial H}{\partial q^j} + \frac{\partial A_i}{\partial t} \biggr) \, \delta p^i + \biggl( \frac{\partial B_i}{\partial q^j}\frac{\partial H}{\partial p^j} - \frac{\partial B_i}{\partial p^j}\frac{\partial H}{\partial q^j} + \frac{\partial B_i}{\partial t} \biggr) \, \delta q^i \\
&+ \frac{\partial H}{\partial q^i} \, \delta A_i - \frac{\partial H}{\partial p^i}\,\delta B_i \\
= &\oint \biggl( \frac{\partial A_i}{\partial q^j}\frac{\partial H}{\partial p^j} - \frac{\partial A_i}{\partial p^j}\frac{\partial H}{\partial q^j} + \frac{\partial A_i}{\partial t} \biggr) \, \delta p^i + \biggl( \frac{\partial B_i}{\partial q^j}\frac{\partial H}{\partial p^j} - \frac{\partial B_i}{\partial p^j}\frac{\partial H}{\partial q^j} + \frac{\partial B_i}{\partial t} \biggr) \, \delta q^i \\
&+ \frac{\partial H}{\partial q^i} \, \biggl( \frac{\partial A_i}{\partial p^j} \, \delta p^j + \frac{\partial A_i}{\partial q^j} \, \delta q^j \biggr) - \frac{\partial H}{\partial p^i} \, \biggl( \frac{\partial B_i}{\partial p^j} \, \delta p^j + \frac{\partial B_i}{\partial q^j} \, \delta q^j \biggr) \\
= &\oint \biggl( \frac{\partial A_i}{\partial q^j}\frac{\partial H}{\partial p^j} - \frac{\partial A_i}{\partial p^j}\frac{\partial H}{\partial q^j} + \frac{\partial A_j}{\partial p^i}\frac{\partial H}{\partial q^j} - \frac{\partial B_j}{\partial p^i}\frac{\partial H}{\partial p^j} + \frac{\partial A_i}{\partial t} \biggr)\,\delta p^i \\
&+ \biggl( \frac{\partial B_i}{\partial q^j}\frac{\partial H}{\partial p^j} - \frac{\partial B_i}{\partial p^j}\frac{\partial H}{\partial q^j} + \frac{\partial A_j}{\partial q^i}\frac{\partial H}{\partial q^j} - \frac{\partial B_j}{\partial q^i}\frac{\partial H}{\partial p^j} + \frac{\partial B_i}{\partial t} \biggr) \, \delta q^i
\end{align*}\]
Raccogliendo un po' di termini otteniamo
\[\begin{align*}
0 = &\oint \Biggl( \biggl( \frac{\partial A_i}{\partial q^j} - \frac{\partial B_j}{\partial p^i} \biggr)\,\frac{\partial H}{\partial p^j} + \biggl( \frac{\partial A_j}{\partial p^i} - \frac{\partial A_i}{\partial p^j} \biggr)\,\frac{\partial H}{\partial q^j} + \frac{\partial A_i}{\partial t} \Biggr)\,\delta p^i \\
&+ \Biggl( \biggl( \frac{\partial B_i}{\partial q^j} - \frac{\partial B_j}{\partial q^i} \biggr)\,\frac{\partial H}{\partial p^j} + \biggl( \frac{\partial A_j}{\partial q^i} - \frac{\partial B_i}{\partial p^j} \biggr)\,\frac{\partial H}{\partial q^j} + \frac{\partial B_i}{\partial t} \Biggr) \, \delta q^i
\end{align*}\]
Sfortunatamente in questo caso generale i termini non si semplificano molto. Possiamo però provare a definire alcune matrici il cui studio potrebbe forse aiutarci un po'. Sia per esempio
\[ S_{ji} = \biggl( \frac{\partial A_j}{\partial p^i} - \frac{\partial A_i}{\partial p^j} \biggr). \]
Osserviamo prima di tutto che \(S_{ii} = 0\) e che \(S_{ij} = -S_{ji}\). Si tratta quindi di una matrice antisimmetrica. Possiamo dire lo stesso per
\[ T_{ji} = \biggl( \frac{\partial B_i}{\partial q^j} - \frac{\partial B_j}{\partial q^i} \biggr). \]
Discorso un po' diverso vale invece per
\[ U_{ji} = \biggl( \frac{\partial A_i}{\partial q^j} - \frac{\partial B_j}{\partial p^i} \biggr). \]
Non possiamo dire molto su questa matrice, ma osserviamo subito che la matrice compare normalmente nei termini con \(p^i\) e trasposta e negata nei termini con \(q^i\). Usando la notazione matriciale possiamo riscrivere la forma differenziale come segue:
\[ \biggl( \frac{\partial H}{\partial p}\,U + \frac{\partial H}{\partial q}\,S + \frac{\partial A}{\partial t} \biggr)\,\delta p + \biggl( \frac{\partial H}{\partial p}\,T - \frac{\partial H}{\partial q}\,U^t + \frac{\partial B}{\partial t} \biggr)\,\delta q \]
In modo simile alla dimostrazione per \(n = 1\), osserviamo a questo punto che la circuitazione della forma differenziale che abbiamo ottenuto è nulla per ogni curva chiusa e quindi deve essere esatta. Quindi è ovviamente anche chiusa da cui possiamo dedurre che valgono le relazioni:
\[\begin{align*}
\frac{\partial \bar{A_i}}{\partial p^j} &= \frac{\partial \bar{A_j}}{\partial p^i} \\
\frac{\partial \bar{A_i}}{\partial q^j} &= \frac{\partial \bar{B_j}}{\partial p^i} \\
\frac{\partial \bar{B_i}}{\partial q^j} &= \frac{\partial \bar{B_j}}{\partial q^i}
\end{align*}\]
Credo sia a questo punto abbastanza evidente perché la maggior parte degli autori preferisce dare la dimostrazione solo per \(n = 1\).. Ti lascio continuare..
Come portare a conclusione questa dimostrazione? Sulla falsa riga del caso n=1 occorrerebbe trovare un integrale primo per ogni hamiltoniana....quindi da quelle espressioni di sopra dovrebbe venire che ${U_i, H} +(\partial U_i)/(\partial t) = 0$ per ogni H.
Nel caso unidimensionale c'era una sola quantità, R. Ma qui ho molte matrici....
Potreste darmi ancora qualche suggerimento?
Up
Oltre che al proseguo della dimostrazione, vorrei chiedere una curiosità.
Ma esattamente cos'è che mi perdo identificando lo spazio delle fasi come R^(2n) invece che come una piu astratta "varietà simplettica" (che vede R2n solo tramite "carte" e localmente?
Cioè c'è un qualche vantaggio "concreto" nella costruzione della meccanica hmiltoniana usando strumenti avanzati di geometria differenziale, piuttosto che come un insieme di equazioni differenziali in R^2n?
Il percorso che fa (per esempio) l'Arnold è molto piu completo ed esaustivo; ma mi chiedo, cos'è che ripaga tutto questo sforzo di astrazione in piu?
Oltre che al proseguo della dimostrazione, vorrei chiedere una curiosità.
Ma esattamente cos'è che mi perdo identificando lo spazio delle fasi come R^(2n) invece che come una piu astratta "varietà simplettica" (che vede R2n solo tramite "carte" e localmente?
Cioè c'è un qualche vantaggio "concreto" nella costruzione della meccanica hmiltoniana usando strumenti avanzati di geometria differenziale, piuttosto che come un insieme di equazioni differenziali in R^2n?
Il percorso che fa (per esempio) l'Arnold è molto piu completo ed esaustivo; ma mi chiedo, cos'è che ripaga tutto questo sforzo di astrazione in piu?
Up
Non credo che qualcuno si sia messo a completare la dimostrazione. Ti rispondo invece alla domanda successiva. Uno spazio delle fasi non è necessariamente uguale a \(\mathbb R^{2n}\). Un esempio semplice potrebbe essere quello di un oggetto vincolato a muoversi intorno ad una sfera. Identificando il tuo spazio delle fasi con \(\mathbb R^4\) avresti un comportamento che è solo localmente corretto. Puoi in effetti dire molte cose sul moto di qualcosa studiando la geometria e topologia dello spazio delle fasi. Non si tratta insomma solo di un esercizio formale.
(Questa me la spiegheresti meglio? L'Hamiltoniana di una particella che si muove su una superficie sferica è semplicemente
$H = p\dot q - L$
$L= 1/2 mv^2$
$v^2=\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2 = R[d/dt (\sin\theta\cos\phi)^2+ d/dt (\sin\theta\sin\phi)^2+d/dt (\cos\theta)^2$
E poi
$H =p\dot q - L$
con $p = (\partial L)/(\partial \dot q )$
E le equazioni di Hamilton sono le solite...
Perchè dici che lo spazio delle fasi non è $R^{2n}$ in questo caso?
Un altra cosa...a me servirebbe proprio la fine di quella dimostrazione
E' l'unica cosa che mi manca per rendere "completa" la teoria delel trasformazioni canoniche delle mie dispense di meccanica preferite (obbrobri come il Goldstein non menzioniamoli neppure!)
$H = p\dot q - L$
$L= 1/2 mv^2$
$v^2=\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2 = R[d/dt (\sin\theta\cos\phi)^2+ d/dt (\sin\theta\sin\phi)^2+d/dt (\cos\theta)^2$
E poi
$H =p\dot q - L$
con $p = (\partial L)/(\partial \dot q )$
E le equazioni di Hamilton sono le solite...
Perchè dici che lo spazio delle fasi non è $R^{2n}$ in questo caso?
Un altra cosa...a me servirebbe proprio la fine di quella dimostrazione
E' l'unica cosa che mi manca per rendere "completa" la teoria delel trasformazioni canoniche delle mie dispense di meccanica preferite (obbrobri come il Goldstein non menzioniamoli neppure!)
Il moto della tua particella non è lo stesso moto che avresti in un piano euclideo con coordinate \(\phi\) e \(\psi\).. Il moto dipende dalla geometria dello spazio delle configurazioni e quindi da quello delle fasi. In effetti sono parecchie le proprietà del modo che dipendono dalle proprietà intrinseche dello spazio delle fasi e queste relazioni sarebbero più complicate da scrivere se si ignorasse la geometria dello spazio e si usasse sempre e solo uno spazio euclideo.
Il problema è che non ho la dimostrazione. Dovrei mettermi a costruirla e non ho tempo per farlo. Puoi provare a chiedere al tuo professore..
Il problema è che non ho la dimostrazione. Dovrei mettermi a costruirla e non ho tempo per farlo. Puoi provare a chiedere al tuo professore..
E' un peccato...mancherebbe solo questo dettaglio e poi avrei degli appunti PERFETTI di meccanica classica
Io comunque uppo, sperando nella buona volontà di qualcuno...c'è questo "neo" indimostrato nei miei appunti, e quando nelle mie conoscenze ci sono nei, ci perdo il sonno
Io comunque uppo, sperando nella buona volontà di qualcuno...c'è questo "neo" indimostrato nei miei appunti, e quando nelle mie conoscenze ci sono nei, ci perdo il sonno
Io direi più semplicemente che quelle scritte da newton_1372 sono le equazioni *locali* del moto. Non valgono su tutta la sfera, perché le coordinate sferiche hanno delle singolarità (che succede quando $\phi$ passa da $2\pi$ a $0$? e quando $\theta$ tende a $0$ o a $\pi$?). Se uno vuole un punto di vista globale deve rinunciare a scrivere un solo sistema di equazioni, perché la sfera intera non si può parametrizzare con una carta sola.
ah certo chiaro...
Comunque spero ancora in un "miracolo" per salvare il povero Poincarè-Cartan in piu dimensioni
Comunque spero ancora in un "miracolo" per salvare il povero Poincarè-Cartan in piu dimensioni
Perché miracolo? La forma di Poincare-Cartan è studiata in dimensioni qualsiasi.
Vict se rileggi i post precedenti, c'è il teorema di Lee-Wha-Chung, ma la dimostrazione c'è solo per n=1 (nei miei appunti. C
Vict se rileggi i post precedenti, c'è il teorema di Lee-Wha-Chung, ma la dimostrazione c'è solo per n=1 (nei miei appunti). Con l'aiuto di Patriarca ho generalizzato a dimensioni superiori, ma sono arrivato a un punto morto...da qualche parte dovrebbe annidarsi una qualche parentesi di poisson che si annulla per ogni hamiltoniana...(sulla falsariga della dimostrazione unidimensionale)
$dUp\wedge dUp= dUp\in T_u P$
up
Il problema di questo teorema è che spesso questo genere di teoremi vengono dimostrati usando strumenti molto più avanzati. Strumenti che non hai a disposizione.
L'alternativa è quella di fare calcoli, ma i calcoli possono non essere semplici. La ragione per cui il testo non inseriva la dimostrazione nel caso generale era questa: fare tutti i calcoli è una operazione molto lunga e non particolarmente interessante. Non credo ci saranno utente che finiranno quella dimostrazione. Se ci tieni tanto credo dovresti cercare di impegnarti tu stesso a trovare la soluzione. E' sicuramente molto più istruttivo di lasciarla ad altri. Non ci sono particolari passaggi logici da fare, solo calcoli.
L'alternativa è quella di fare calcoli, ma i calcoli possono non essere semplici. La ragione per cui il testo non inseriva la dimostrazione nel caso generale era questa: fare tutti i calcoli è una operazione molto lunga e non particolarmente interessante. Non credo ci saranno utente che finiranno quella dimostrazione. Se ci tieni tanto credo dovresti cercare di impegnarti tu stesso a trovare la soluzione. E' sicuramente molto più istruttivo di lasciarla ad altri. Non ci sono particolari passaggi logici da fare, solo calcoli.
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