Spazi topologici quozientati per azioni di un gruppo
Ho un esercizio interessante, al quale sono riuscito solo a dare una risposta banale.
Dati due spazi topologici non omeomorfi $X$ e $Y$, trovare un gruppo che agisce su questi tale che $X/G$ sia omeomorfo a $Y/G$
La mia proposta era:
Considero come $X$ il toro immerso in $RR^3$ e come $Y$ considero$S^2$ (sempre immerso in $RR^3$)
E come $G$ considero il gruppo delle trasformazioni affini in $RR^3$, quindi quando quoziento lo spazio per questo gruppo identifico tutti i punti (fissati due punti in $RR^3$ c'è sempre un'applicazione affine che sposta l'uno nell'altro), quindi $X/G$ e $Y/G$ sono omeomorfi ad un punto in $RR^3$
Qualora qualcosa non fosse chiaro:
il concetto di azione spero sia più o meno lo stesso per tutti.
Quando dico: "quoziento lo spazio topologico per il gruppo" considero la relazione di equivalenza $x \sim y$ se $x=g(y)$ con $g \in G$
e quoziento lo spazio per questa relazione di equivalenza
La soluzione proposta (ammesso che non ci sia qualche errore) mi sembra troppo minimale e cercavo qualcos'altro.
Soero qualcuno abbia qualche idea migliore.
Dati due spazi topologici non omeomorfi $X$ e $Y$, trovare un gruppo che agisce su questi tale che $X/G$ sia omeomorfo a $Y/G$
La mia proposta era:
Considero come $X$ il toro immerso in $RR^3$ e come $Y$ considero$S^2$ (sempre immerso in $RR^3$)
E come $G$ considero il gruppo delle trasformazioni affini in $RR^3$, quindi quando quoziento lo spazio per questo gruppo identifico tutti i punti (fissati due punti in $RR^3$ c'è sempre un'applicazione affine che sposta l'uno nell'altro), quindi $X/G$ e $Y/G$ sono omeomorfi ad un punto in $RR^3$
Qualora qualcosa non fosse chiaro:
il concetto di azione spero sia più o meno lo stesso per tutti.
Quando dico: "quoziento lo spazio topologico per il gruppo" considero la relazione di equivalenza $x \sim y$ se $x=g(y)$ con $g \in G$
e quoziento lo spazio per questa relazione di equivalenza
La soluzione proposta (ammesso che non ci sia qualche errore) mi sembra troppo minimale e cercavo qualcos'altro.
Soero qualcuno abbia qualche idea migliore.
Risposte
"angus89":
Piuttosto che dare una definizione formale passo direttamente al concreto.
(...)
Ma io avevo detto Segui il filo di angus che ti sta presentando le definizioni in veste formale.:lol:
Potrei definire formalmente cosa vuol dire quozientare un gruppo, ma è una cosa abbastanza complicata e superflua in questo caso.Ma non è vero che è una cosa complicata. Vedi il post di Paolo, questa operazione è del tutto naturale in matematica e anche nella vita quotidiana.
Def. Sia $X$ un insieme e $\sim$ una relazione di equivalenza su $X$. Indichiamo con $[x]$ le classi di equivalenza, ovvero
$[x]={y\in X\ :\ x \sim y}$;
e con $X / sim$ l'insieme delle classi di equivalenza. In particolare $X$ può essere un $G$-insieme per un gruppo $G$; in questo caso scriviamo
$x \sim_G y$ se e solo se $gx=y$ per qualche $g\inG$
e usiamo la notazione abbreviata
$X/G$ in luogo di $X/{sim_G}$.
Ecco, questa è tutta la definizione. Per il significato intuitivo consultare il post di Paolo.
Osservazione: l' "incollamento" di punti di uno spazio topologico è un caso particolare di passaggio al quoziente.
Dato uno spazio topologico $X$ e un suo sottoinsieme $F$ (in genere $X$ è una figura geometrica e $F$ un suo sottoinsieme, per esempio il bordo) definiamo una relazione di equivalenza come segue:
($x \sim y$) se e solo se ($x=y$ oppure $x, y \in F$).
Si dice anche che "si schiaccia $F$ ad un punto".
Altra osservazione: Ci sono importanti differenze tra i quozienti "semplici" e quelli provenienti da una azione di gruppo. Questi ultimi godono di certe proprietà di omogeneità che li rendono meglio condizionati dei precedenti. Per esempio l'incollamento di punti in genere non proviene da un quoziente rispetto ad una azione di gruppo.
Esempio: Consideriamo come spazio topologico la retta $RR$ e come gruppo $(ZZ, +)$. Costruire il quoziente $RR/ZZ$ significa identificare ogni coppia di punti che differisce per una traslazione intera: per esempio, si considerano uguali $0.5$ e $1.5$. L'oggetto ottenuto in questo modo può essere dotato in modo naturale di una topologia, e risulterà essere omeomorfo alla circonferenza $S^1$. Vedi https://www.matematicamente.it/forum/r-z ... 58065.html
Questo è MOLTO diverso che, semplicemente, incollare i punti a coordinata intera (ovvero considerare $F=ZZ$ nella definizione di sopra). Con quest'ultima procedura non si costruisce uno spazio ben visualizzabile come la circonferenza ma piuttosto un oggetto astruso che non saprei descrivere.
Quozientare uno spazio topologico per un gruppo è tutta un'altra storia.Non sono d'accordo, sai, angus? Non è "tutta un'altra storia", infatti è sempre la stessa idea, solo che viene arricchita con il nuovo concetto di "topologia". Risulta infatti che le topologie e l'operazione di quoziente "vanno d'accordo", e del resto se pensiamo al concetto intuitivo di quoziente, ciò non stupisce.
bene ci provo, il gruppo è $(G,+)$
- $[a]+=[a+b]$ è un'operazione chiusa perchè $[a+b]$ è ancora un elemento di $Z_n$
- $[a]+[0]=[a]$ con $[0]$ denoto l'elemento neutro.
- $[a]+[-a]=0$
poi $(Z,^.)$ non è un gruppo perchè non esiste l'inverso.
Continua pure con la spiegazione è molto interessante!
P.S: quindi col simbolo $\sim$ si intende l'equivalenza, non necessariamente l'incollatura?
P.P.S: @dissonance, ho visto il link che mi hai segnalato, perchè alla fine gli estremi $[0],[1]$ vanno incollati? non dovrebbe rimanere il segmentino e basta?
- $[a]+=[a+b]$ è un'operazione chiusa perchè $[a+b]$ è ancora un elemento di $Z_n$
- $[a]+[0]=[a]$ con $[0]$ denoto l'elemento neutro.
- $[a]+[-a]=0$
poi $(Z,^.)$ non è un gruppo perchè non esiste l'inverso.
Continua pure con la spiegazione è molto interessante!
P.S: quindi col simbolo $\sim$ si intende l'equivalenza, non necessariamente l'incollatura?
P.P.S: @dissonance, ho visto il link che mi hai segnalato, perchè alla fine gli estremi $[0],[1]$ vanno incollati? non dovrebbe rimanere il segmentino e basta?
Bè in risposta a dissonance, quando ho parlato dei quozienti tra gruppi, io intendevo quello inteso con i laterali con tutte le storie sul fatto che i laterali formano un gruppo solo se quozientiamo un gruppo per un suo sottogruppo normale, ecc ecc
Poi nel caso dei gruppi abeliani effettivamente è immediato tutto.
Per tinam...
ok, si fin qui ci siamo.
Con il simbolo $\sim$ si intende esattamente l'equivalenza.
Poi in uno spazio topologico qualcuno può chiamarla anche "incollatura", ma è la stessa cosa, anzi, dicendo equivalenza sei sicuro di non sbagliare.
Ora devo andare a pranzare, quindi continuo un po il discorso con un altro post più tardi.
Poi nel caso dei gruppi abeliani effettivamente è immediato tutto.
Per tinam...
ok, si fin qui ci siamo.
Con il simbolo $\sim$ si intende esattamente l'equivalenza.
Poi in uno spazio topologico qualcuno può chiamarla anche "incollatura", ma è la stessa cosa, anzi, dicendo equivalenza sei sicuro di non sbagliare.
Ora devo andare a pranzare, quindi continuo un po il discorso con un altro post più tardi.
@angus: Ah ho capito, si in effetti quel ramo di teoria non è necessario qui per fare un discorso geometrico sugli insiemi quozienti.
@tinam: Devi fondere insieme $0$ e $1$ perché si corrispondono per una traslazione intera. Qui in effetti la "mia" immagine intuitiva di tagliare il filo con le forbici ha qualche problema; meglio la visione proposta da vict di arrotolare un filo infinito attorno ad un rocchetto.
@tinam: Devi fondere insieme $0$ e $1$ perché si corrispondono per una traslazione intera. Qui in effetti la "mia" immagine intuitiva di tagliare il filo con le forbici ha qualche problema; meglio la visione proposta da vict di arrotolare un filo infinito attorno ad un rocchetto.
Ok, continuo mandando avanti i ragionamenti come chiesto da tinam
Allora, passiamo all'azione di un gruppo su uno spazio topologico.
Un gruppo $G$ agisce su uno spazio topologico se trasforma punti dello spazio topologico in punti dello spazio topologico.
Inoltre deve comunque verificarsi che $G$ agisce su $X$ come insieme.
(Ho detto due volte la stessa cosa...ma meglio ripetere che non esser chiari)
Esempio 1
Si consideri $RR$ con la topologia standard (quella della distanza euclidea)
si consideri il gruppo
$G={f_h $ tale che $h \in RR}$
dove $f_h:RR->RR$ è una funzione, $f_h(x)=x+h$
Allora l'insieme $G$ è un gruppo con la composizione tra funzioni (dimostralo per esercizio)
Inoltre $G$ agisce su $RR$ poichè trasforma punti di $RR$ in punti di $RR$
osservazione
$G$ non agisce su $[0,1]$?
Perchè?
Esempio 2
Considera l'insieme $X={(x,y), 4
Questo gruppo agisce su $X$ (un altro valido esercizio)
Se invece considero il gruppo $G={f_h$ tale che$h \in RR}$
Dove $f_h(x,y)=(x+h,y+h)$
Questo gruppo (sempre con la composizione) agisce su $X$?
Perchè?
Se ti è chiaro il concetto di azione poi posso definirti per bene il quoziente e farti altri esempi più complicati
chiarimento di qualche post precedente
Ti ho descritto $ZZ_n$, ad esempio $ZZ_2={0,1}$, dove
$0+0=0$
$1+1=0$
$1+0=1$
si può usare la notazione moltiplicativa che spesso fa comodo
$ZZ_2={-1,1}$
$1*1=1$
$(-1)*(-1)=1$
$(-1)*1=-1$
ora devi solo capire che ho scritto la stessa cosa e che sono rappresentazioni equivalenti
Allora, passiamo all'azione di un gruppo su uno spazio topologico.
Un gruppo $G$ agisce su uno spazio topologico se trasforma punti dello spazio topologico in punti dello spazio topologico.
Inoltre deve comunque verificarsi che $G$ agisce su $X$ come insieme.
(Ho detto due volte la stessa cosa...ma meglio ripetere che non esser chiari)
Esempio 1
Si consideri $RR$ con la topologia standard (quella della distanza euclidea)
si consideri il gruppo
$G={f_h $ tale che $h \in RR}$
dove $f_h:RR->RR$ è una funzione, $f_h(x)=x+h$
Allora l'insieme $G$ è un gruppo con la composizione tra funzioni (dimostralo per esercizio)
Inoltre $G$ agisce su $RR$ poichè trasforma punti di $RR$ in punti di $RR$
osservazione
$G$ non agisce su $[0,1]$?
Perchè?
Esempio 2
Considera l'insieme $X={(x,y), 4
Questo gruppo agisce su $X$ (un altro valido esercizio)
Se invece considero il gruppo $G={f_h$ tale che$h \in RR}$
Dove $f_h(x,y)=(x+h,y+h)$
Questo gruppo (sempre con la composizione) agisce su $X$?
Perchè?
Se ti è chiaro il concetto di azione poi posso definirti per bene il quoziente e farti altri esempi più complicati
chiarimento di qualche post precedente
Ti ho descritto $ZZ_n$, ad esempio $ZZ_2={0,1}$, dove
$0+0=0$
$1+1=0$
$1+0=1$
si può usare la notazione moltiplicativa che spesso fa comodo
$ZZ_2={-1,1}$
$1*1=1$
$(-1)*(-1)=1$
$(-1)*1=-1$
ora devi solo capire che ho scritto la stessa cosa e che sono rappresentazioni equivalenti
inizio con
Esempio 1
il Gruppo è $(G, \circ)$ (con $\circ$ intendo la composizione)
- $[f_h]\circ[f_j]=[f_h\circf_j]$
- $i_d=f_h^(-1)\circf_h$ è l'elemento neutro e quindi $f_h^(-1)$ è l'elemento inverso.
- $f_h\circi_d=f_h$
Esempio 1
il Gruppo è $(G, \circ)$ (con $\circ$ intendo la composizione)
- $[f_h]\circ[f_j]=[f_h\circf_j]$
- $i_d=f_h^(-1)\circf_h$ è l'elemento neutro e quindi $f_h^(-1)$ è l'elemento inverso.
- $f_h\circi_d=f_h$
mmmmmmmhhh....
perchè metti le parentesi []?Non stiamo mica parlando di classi...
No, questa volta non credo che ci siamo
ti faccio vedere un punto
Se ho $f_h \in G$ e $f_j \in G$
Allora $f_h(x)=x+h$, mentre $f_j(x)=x+j$, quindi
$(f_h \circ f_j)(x)=f_h(f_j(x))=f_h(x+j)=x+h+j=f_(h+y)(x)$
Quindi
$f_h \circ f_j = f_(h+j)$
quindi essendo $f_(h+j) \in G$ abbiamo $f_h \circ f_j \in G$ che è appunto la chiusura.
Quindi abbiamo dimostrato la chiusura rispetto all'operazione.
Continua pure con:
Qual'è l'elemento neutro?
Qual'è l'inverso?
IL gruppo è abeliano?
perchè metti le parentesi []?Non stiamo mica parlando di classi...
No, questa volta non credo che ci siamo
ti faccio vedere un punto
Se ho $f_h \in G$ e $f_j \in G$
Allora $f_h(x)=x+h$, mentre $f_j(x)=x+j$, quindi
$(f_h \circ f_j)(x)=f_h(f_j(x))=f_h(x+j)=x+h+j=f_(h+y)(x)$
Quindi
$f_h \circ f_j = f_(h+j)$
quindi essendo $f_(h+j) \in G$ abbiamo $f_h \circ f_j \in G$ che è appunto la chiusura.
Quindi abbiamo dimostrato la chiusura rispetto all'operazione.
Continua pure con:
Qual'è l'elemento neutro?
Qual'è l'inverso?
IL gruppo è abeliano?
l'elemento inverso è $f_h^(-1)$ e l'elemento neutro dovrebbe essere $i_d$. ed è abeliano perchè la composizione in esame è commutativa. ho detto bene?
Si ma chi è $f_h^-1$?
Be dai, lo finisco,
allora, l'elemento neutro è l'identità come hai detto tu
$f_h^-1=f_(-h)$, infatti vale
$(f_(-h)\circ f_h)(x)=f_(-h)(f_h(x))=f_(-h)(x+h)=x+h-h=x=id(x)$
Quindi
$f_(-h) \circ f_h=id$
Poi spendila qualche parola in più...perchè è abeliano?
Le cose vanno dimostrate, il fatto che la composizione in esame sia commutativa è vero e si dimostra, infatti
$(f_h\circ f_k)(x)=f_h(f_k(x))=f_h(x+k)=x+h+k$
$(f_k\circ f_h)(x)=f_k(f_h(x))=f_k(x+h)=x+k+h$
quindi $f_h\circ f_k)=f_k\circ f_h$
Quindi il gruppo è abeliano
Be dai, lo finisco,
allora, l'elemento neutro è l'identità come hai detto tu
$f_h^-1=f_(-h)$, infatti vale
$(f_(-h)\circ f_h)(x)=f_(-h)(f_h(x))=f_(-h)(x+h)=x+h-h=x=id(x)$
Quindi
$f_(-h) \circ f_h=id$
Poi spendila qualche parola in più...perchè è abeliano?
Le cose vanno dimostrate, il fatto che la composizione in esame sia commutativa è vero e si dimostra, infatti
$(f_h\circ f_k)(x)=f_h(f_k(x))=f_h(x+k)=x+h+k$
$(f_k\circ f_h)(x)=f_k(f_h(x))=f_k(x+h)=x+k+h$
quindi $f_h\circ f_k)=f_k\circ f_h$
Quindi il gruppo è abeliano
si hai ragione, ma essendo un'applicazione lineare era abbastanza evidente 
ora però non so una cosa, il gruppo è con la composizione ma per vedere se il gruppo agisce si fa con la moltiplicazione o sempre con la composizione?
$f_h*x$ oppure $f_h\circx$?
ora però non so una cosa, il gruppo è con la composizione ma per vedere se il gruppo agisce si fa con la moltiplicazione o sempre con la composizione?
$f_h*x$ oppure $f_h\circx$?
Ok, il fatto che quello sia un gruppo è chiaro...
ora calma...
Andiamo avanti e consideriamo l'azione di questo gruppo su uno spazio.
Questo gruppo agisce nella maniera più ovvia possibile.
Prende un punto nello spazio e lo sposta.
Quindi ad esempio, prendiamo un elemento del gruppo $f_h \in G$ e un punto dello spazio $x \in RR$, allora l'azione la definiamo in questo modo $f_h * x=f_h(x)=x+h$
NB: l'azione non esiste a prescindere, un gruppo può agire in diversi modi su un insieme, io ti ho definito quell'azione, sapresti trovarne un'altra?
Comunque il nostro scopo era appunto verificare che questa è un'azione.
Ho dato la definizione di azione qualche posta fa, quindi prova a dimostrare che qulla definita è un'azione.
ora calma...
Andiamo avanti e consideriamo l'azione di questo gruppo su uno spazio.
Questo gruppo agisce nella maniera più ovvia possibile.
Prende un punto nello spazio e lo sposta.
Quindi ad esempio, prendiamo un elemento del gruppo $f_h \in G$ e un punto dello spazio $x \in RR$, allora l'azione la definiamo in questo modo $f_h * x=f_h(x)=x+h$
NB: l'azione non esiste a prescindere, un gruppo può agire in diversi modi su un insieme, io ti ho definito quell'azione, sapresti trovarne un'altra?
Comunque il nostro scopo era appunto verificare che questa è un'azione.
Ho dato la definizione di azione qualche posta fa, quindi prova a dimostrare che qulla definita è un'azione.
bene ci provo.
$1_G*a=a$ corrisponde a $i_d*x=f_h-h*x=f_h(x)-h=x$
$f_h*(f_j*a)=(f_h*f_j)*a$ corrisponde a $f_h*(f_j*x)=(f_h*f_j)*x$ cioè $f_h*(f_j(x))=(f_h(f_j))*x$ quindi
$f_h*(f_j(x))=x+j+h$ e $(f_h(f_j))*x=x+j+h$
Quindi è un'azione.
$1_G*a=a$ corrisponde a $i_d*x=f_h-h*x=f_h(x)-h=x$
$f_h*(f_j*a)=(f_h*f_j)*a$ corrisponde a $f_h*(f_j*x)=(f_h*f_j)*x$ cioè $f_h*(f_j(x))=(f_h(f_j))*x$ quindi
$f_h*(f_j(x))=x+j+h$ e $(f_h(f_j))*x=x+j+h$
Quindi è un'azione.
"tinam73":
bene ci provo.
$1_G*a=a$ corrisponde a $i_d*x=f_h-h*x=f_h(x)-h=x$
te lo potevi risparmiare, dovevi solo dire $id(x)=x$ per ogni $x \in RR$
Comunque va bene...quindi è un'azione.
Quindi ora la domanda successiva era: questa è un'azione su $[0,1]$?
con $[01]$ cosa indenti?tutto l'intervallo tra 0 e 1 con 0 e 1 compresi?
ok secondo me no, perchè un'azione è definita come $GXA->A$ e se limitiamo $A$ abbiamo che se siamo in $1$ (sulla frontiera) si ha $f_h(f_j*x)=x+h+j=1+h+j$ e per $h$ e $j$ non contemporaneamente nulli usciamo da $A$.
sono stata brava?
ok secondo me no, perchè un'azione è definita come $GXA->A$ e se limitiamo $A$ abbiamo che se siamo in $1$ (sulla frontiera) si ha $f_h(f_j*x)=x+h+j=1+h+j$ e per $h$ e $j$ non contemporaneamente nulli usciamo da $A$.
sono stata brava?
"tinam73":
con $[01]$ cosa indenti?tutto l'intervallo tra 0 e 1 con 0 e 1 compresi?
ok secondo me no, perchè un'azione è definita come $GXA->A$ e se limitiamo $A$ abbiamo che se siamo in $1$ (sulla frontiera) si ha $f_h(f_j*x)=x+h+j=1+h+j$ e per $h$ e $j$ non contemporaneamente nulli usciamo da $A$.
sono stata brava?
ma...se $j=-k$ non sono contemporaneamente nulli ma non usciamo da $A$
E poi...
Devi verificare che $g*x \in A$ per ogni $x \in A$
quindi che $f_h*x \in [0,1]$ per ogni numero $x \in [0,1]$, quindi $f_h(x)=x+h \in [0,1]$ per ogni $x \in [0,1]$ e per ogni $h \in G$
ma se $x=1$ e $h=1$ esci da $[0,1]$
per chiarezza
$[0,1]={x \in RR $tali che $ 0<=x<=1} $
una domanda per chiarezza
essendo l'azione definita come $GXA->A$ non dovrebbe essere sufficiente che per alcuni valori di $x$, $k$ e $j$, $f_h*(f_j*x)$ esca da $A$? bisogna comunque verificare che anche $f_h*x$ esca da $A$?
Poi quando dici $k \in G$, che valori può assumere $k$? cioè secondo me $f_h \in G$ mentre dovrebbe essere $k \in ZZ$, no?
Comunque grazie per la tua disponibilità le tue spiegazioni mi stanno risultando utilissime!
essendo l'azione definita come $GXA->A$ non dovrebbe essere sufficiente che per alcuni valori di $x$, $k$ e $j$, $f_h*(f_j*x)$ esca da $A$? bisogna comunque verificare che anche $f_h*x$ esca da $A$?
Poi quando dici $k \in G$, che valori può assumere $k$? cioè secondo me $f_h \in G$ mentre dovrebbe essere $k \in ZZ$, no?
Comunque grazie per la tua disponibilità le tue spiegazioni mi stanno risultando utilissime!
allora....l'altra volta forse ho detto una cosa che potrebbe creare confusione quindi rispondo alla tua domanda
L'azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$ è una mappa
$GxX ->X$
$(g,x)->g*x$
tale che valgano le due proprietà che ho scritto nella definizione di azione
Una cosa importantissima (ed implicita) è che quella definita sia una mappa!
Cioè $g*x$ deve esser un elemento di $X$, se non lo è non ho una mappa ben definita.
Quindi come primo punto verifichi che $g*x$ sia in $X$ (che è quello che ho fatto nel post precedente)
Poi le altre due proprietà affinchè la mappa sia un'azione.
Poi...
$k \in G$ non è un numero (non necessariamente), se $G$ è un gruppo $k$ è un suo elemento.
Ad esempio nel gruppo delle traslazioni (quello che stavamo vedendo fin ora) gli elementi sono $f_h \in G$ con $h \in RR$.
A questo punto se ti è più o meno chiaro prova rifare tutto formalizzando e a vedere gli altri esempi che ho scritto
E se vuoi una mano non preoccuparti chiedi pure.
L'azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$ è una mappa
$GxX ->X$
$(g,x)->g*x$
tale che valgano le due proprietà che ho scritto nella definizione di azione
Una cosa importantissima (ed implicita) è che quella definita sia una mappa!
Cioè $g*x$ deve esser un elemento di $X$, se non lo è non ho una mappa ben definita.
Quindi come primo punto verifichi che $g*x$ sia in $X$ (che è quello che ho fatto nel post precedente)
Poi le altre due proprietà affinchè la mappa sia un'azione.
Poi...
$k \in G$ non è un numero (non necessariamente), se $G$ è un gruppo $k$ è un suo elemento.
Ad esempio nel gruppo delle traslazioni (quello che stavamo vedendo fin ora) gli elementi sono $f_h \in G$ con $h \in RR$.
A questo punto se ti è più o meno chiaro prova rifare tutto formalizzando e a vedere gli altri esempi che ho scritto
E se vuoi una mano non preoccuparti chiedi pure.
soluzione Esempio 1
- $[f_h] \circ [f_j]= [f_h \circ f_j]$
per dimostrare la chiusura si può procedere come segue:
Se ho $f_h \in G$ e $f_j \in G$, allora $f_h(x)=x+h$, mentre $f_j(x)=x+j$, perciò $(f_h \circ f_j)(x)=f_h(f_j(x))=f_h(x+j)=x+h+j=f_(h+y)(x)$
Si deduce che
$f_h \circ f_j = f_(h+j)$
Essendo $f_(h+j) \in G$ abbiamo $f_h \circ f_j \in G$.
- $i_d$ è l'elemento neutro infatti $f_h^(-1) \circ f_h(x)=x$
-l'elemento inverso è quindi $f_h^(-1)=f_(-h)$, infatti vale
$(f_(-h)\circ f_h)(x)=f_(-h)(f_h(x))=f_(-h)(x+h)=x+h-h=x=id(x)$
Quindi
$f_(-h) \circ f_h=id$
Il gruppo è abeliano perchè gode di proprietà commutativa
$(f_h\circ f_k)(x)=f_h(f_k(x))=f_h(x+k)=x+h+k$
$(f_k\circ f_h)(x)=f_k(f_h(x))=f_k(x+h)=x+k+h$
da cui$f_h\circ f_k)=f_k\circ f_h$
Poi
$1_G*a=a$ corrisponde a $i_d*x=f_h-h*x=f_h(x)-h=x$
$f_h*(f_j*a)=(f_h*f_j)*a$ corrisponde a $f_h*(f_j*x)=(f_h*f_j)*x$ cioè $f_h*(f_j(x))=(f_h(f_j))*x$ quindi
$f_h*(f_j(x))=x+j+h$ e $(f_h(f_j))*x=x+j+h$
Quindi è un'azione.
- $[f_h] \circ [f_j]= [f_h \circ f_j]$
per dimostrare la chiusura si può procedere come segue:
Se ho $f_h \in G$ e $f_j \in G$, allora $f_h(x)=x+h$, mentre $f_j(x)=x+j$, perciò $(f_h \circ f_j)(x)=f_h(f_j(x))=f_h(x+j)=x+h+j=f_(h+y)(x)$
Si deduce che
$f_h \circ f_j = f_(h+j)$
Essendo $f_(h+j) \in G$ abbiamo $f_h \circ f_j \in G$.
- $i_d$ è l'elemento neutro infatti $f_h^(-1) \circ f_h(x)=x$
-l'elemento inverso è quindi $f_h^(-1)=f_(-h)$, infatti vale
$(f_(-h)\circ f_h)(x)=f_(-h)(f_h(x))=f_(-h)(x+h)=x+h-h=x=id(x)$
Quindi
$f_(-h) \circ f_h=id$
Il gruppo è abeliano perchè gode di proprietà commutativa
$(f_h\circ f_k)(x)=f_h(f_k(x))=f_h(x+k)=x+h+k$
$(f_k\circ f_h)(x)=f_k(f_h(x))=f_k(x+h)=x+k+h$
da cui$f_h\circ f_k)=f_k\circ f_h$
Poi
$1_G*a=a$ corrisponde a $i_d*x=f_h-h*x=f_h(x)-h=x$
$f_h*(f_j*a)=(f_h*f_j)*a$ corrisponde a $f_h*(f_j*x)=(f_h*f_j)*x$ cioè $f_h*(f_j(x))=(f_h(f_j))*x$ quindi
$f_h*(f_j(x))=x+j+h$ e $(f_h(f_j))*x=x+j+h$
Quindi è un'azione.
Concludo dimostrando che $G$ non è un'azione su $[0,1]$
la mappa è definita come $GXA->A$ con $G={f_h$ tale che $h \in RR}$, dove $f_h:RR->RR$ è una funzione $f_h(x)=x+h$.
Quindi se scegliamo $x=1$ e qualsiasi $h>0$ l'applicazione esce da $A$, risulta così che la mappa non è ben definita dunque mi fermo qui.
va tutto bene?
la mappa è definita come $GXA->A$ con $G={f_h$ tale che $h \in RR}$, dove $f_h:RR->RR$ è una funzione $f_h(x)=x+h$.
Quindi se scegliamo $x=1$ e qualsiasi $h>0$ l'applicazione esce da $A$, risulta così che la mappa non è ben definita dunque mi fermo qui.
va tutto bene?
confermo.
ora ci siamo...ora cerca pure di svolgere gli altri esempi allo stesso modo.
ora ci siamo...ora cerca pure di svolgere gli altri esempi allo stesso modo.
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