Sistemi Lineari
Salve ragazzi avrei bisogno di un po' di aiuto per dei sistemi lineari:
1) $\{(x + ky - 2z = 2),(x - (1-k)y - 3z = 2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k+1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
qua mi chiede di determinare per quale valore di $k$ il sistema è crameriano... dovrei considerare la matrice completa e ridurla?
2) $\{(x + ky + z = 8 - k^2),(-x - 2ky - z = 10 - 2k),(x + z = 4 - k^2 + k),(-x - ky - z = 2k^2-12):}$
qua mi chiede per quale valore di $k$ il sistema ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione uno... sinceramente non so che significa e come procedere
3) $\{((k+3)x + y = k + 4),(-x +(k+1)y = k),((2+k)x + y + z = k + 4):}$
qua la stessa cosa del 2, l'ho scritto perchè penso che il procedimento sia diverso dal 2 ( sicuramente mi sbaglio
)
4) $\{(-y + z - w = k^2 - 3),(-3x -z + (2k+2)w = -1),(y - z + w = -1),(3x + z + 2w = 1):}$
stavolta per quale valore di $k$ ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione 2
5) $\{(x + 2kz + 2w = 1),(-x + 3y - (2k+3)z + (5k-37)w = 3k-1),(y - z + (2k-14)w = k):}$
come il 4 ma anche qui penso si svolga in maniera differente
Grazie
1) $\{(x + ky - 2z = 2),(x - (1-k)y - 3z = 2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k+1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
qua mi chiede di determinare per quale valore di $k$ il sistema è crameriano... dovrei considerare la matrice completa e ridurla?
2) $\{(x + ky + z = 8 - k^2),(-x - 2ky - z = 10 - 2k),(x + z = 4 - k^2 + k),(-x - ky - z = 2k^2-12):}$
qua mi chiede per quale valore di $k$ il sistema ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione uno... sinceramente non so che significa e come procedere
3) $\{((k+3)x + y = k + 4),(-x +(k+1)y = k),((2+k)x + y + z = k + 4):}$
qua la stessa cosa del 2, l'ho scritto perchè penso che il procedimento sia diverso dal 2 ( sicuramente mi sbaglio
)4) $\{(-y + z - w = k^2 - 3),(-3x -z + (2k+2)w = -1),(y - z + w = -1),(3x + z + 2w = 1):}$
stavolta per quale valore di $k$ ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione 2
5) $\{(x + 2kz + 2w = 1),(-x + 3y - (2k+3)z + (5k-37)w = 3k-1),(y - z + (2k-14)w = k):}$
come il 4 ma anche qui penso si svolga in maniera differente
Grazie
Risposte
@Vsc,
partiamo col primo
sai almeno la def. di quando un sistema è di Cramer (o: crameriano)?
Saluti
partiamo col primo
"Vsc":
Salve ragazzi avrei bisogno di un po' di aiuto per dei sistemi lineari:
1) $\{(x + ky - 2z = 2),(x - (1-k)y - 3z = 2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k+1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
qua mi chiede di determinare per quale valore di $k$ il sistema è crameriano... dovrei considerare la matrice completa e ridurla?
sai almeno la def. di quando un sistema è di Cramer (o: crameriano)?
Saluti
io so che se il det. della matrice incompleta è diverso da 0 ma in questo caso è una 4x3
nessuno?
Ciao, vedo che con il primo ti stanno già aiutando, quindi vedo di dire qualcosa sul secondo. La matrice ad esso associata è \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&k&1&8-k^2\\
-1&-2k&-1&10-2k\\
1&0&1&4-k^2+k\\
-1&k&-1&2k^2-12
\end{array}\right]\] Lo spazio delle soluzioni ha dimensione \(\infty^{n}\) dove $n$ è dato dalla differenza tra il numero delle incognite e il rango della matrice incompleta. Nel tuo caso hai tre incognite, quindi la matrice dovrà avere rango pari a $2$. Ad esempio prendiamo il primo minore che ci viene in mente, cioè quello nell'angolo in alto a sinistra \[\left[\begin{array}{cc}
1&k\\-1&-2k
\end{array}\right]\] Questo è invertibile se \[-2k + k \neq 0 \quad\Rightarrow\quad k \neq 0\] Se invece $k=0$ la matrice diventa \[\left[\begin{array}{ccc}
1&0&1\\-1&0&-1\\1&0&1\\-1&0&-1
\end{array}\right]\] che ha evidentemente rango $1$. Resta da capire se esiste qualche valore di $k$ tale che la matrice abbia rango $3$: questo non ci andrebbe bene perché in quel caso la soluzione sarebbe unica. Orliamo il minore trovato in precedenza ottenendo le matrici \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&-2k&-1\\1&0&1
\end{array}\right]\qquad e \qquad
\left[
\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&-2k&-1\\-1&k&-1
\end{array}
\right]
\] Ora imponiamo che il loro determinante sia nullo. Dai calcoli si scopre però che i determinanti sono nulli per ogni valore di $k$. Concludiamo dicendo che per qualsiasi $k$ diverso da $0$ la matrice incompleta ha rango $2$.
1&k&1&8-k^2\\
-1&-2k&-1&10-2k\\
1&0&1&4-k^2+k\\
-1&k&-1&2k^2-12
\end{array}\right]\] Lo spazio delle soluzioni ha dimensione \(\infty^{n}\) dove $n$ è dato dalla differenza tra il numero delle incognite e il rango della matrice incompleta. Nel tuo caso hai tre incognite, quindi la matrice dovrà avere rango pari a $2$. Ad esempio prendiamo il primo minore che ci viene in mente, cioè quello nell'angolo in alto a sinistra \[\left[\begin{array}{cc}
1&k\\-1&-2k
\end{array}\right]\] Questo è invertibile se \[-2k + k \neq 0 \quad\Rightarrow\quad k \neq 0\] Se invece $k=0$ la matrice diventa \[\left[\begin{array}{ccc}
1&0&1\\-1&0&-1\\1&0&1\\-1&0&-1
\end{array}\right]\] che ha evidentemente rango $1$. Resta da capire se esiste qualche valore di $k$ tale che la matrice abbia rango $3$: questo non ci andrebbe bene perché in quel caso la soluzione sarebbe unica. Orliamo il minore trovato in precedenza ottenendo le matrici \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&-2k&-1\\1&0&1
\end{array}\right]\qquad e \qquad
\left[
\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&-2k&-1\\-1&k&-1
\end{array}
\right]
\] Ora imponiamo che il loro determinante sia nullo. Dai calcoli si scopre però che i determinanti sono nulli per ogni valore di $k$. Concludiamo dicendo che per qualsiasi $k$ diverso da $0$ la matrice incompleta ha rango $2$.
ho capito il procedimento (ho provato a farlo pure io e mi viene nello stesso modo) ma la soluzione è k =2
Avevo dimenticato un pezzo! Dobbiamo anche imporre che il rango della completa sia $2$, altrimenti il sistema non è risolvibile! Il tempo di scriverlo e posto tutto.
Mi sono accorto anche di un altro errore che ho fatto nello scrivere la matrice: l'elemento $(4,2)$ dovrebbe essere $-k$. Faccio prima a rifare tutto l'esercizio! 
Matrice del sistema: \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&k&1&8-k^2\\-1&-2k&-1&10-2k\\1&0&1&4-k^2+k\\-1&-k&-1&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Considero il minore \[\begin{bmatrix}
1&k\\-1&-2k
\end{bmatrix}\] che è invertibile per $k != 0$ Per $k=0$ la matrice incompleta diventa \[\left[\begin{array}{ccc}
1&0&1\\-1&0&-1\\1&0&1\\-1&0&-1
\end{array}\right]\] che ha rango $1$, quindi non va bene. Orlo il minore con elementi della matrice incompleta: ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&-2k&-1\\1&0&1
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&-2k&-1\\-1&-k&-1
\end{array}\right]\] Il determinante del primo è identicamente nullo, così come quello del secondo. Concludiamo che per $k != 0$ la matrice incompleta ha rango pari a $2$.
Passiamo alla matrice completa: orlo il minore con elementi provenienti dalla completa e ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&-2k&10-2k\\1&0&4-k^2+k
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&-2k&10-2k\\-1&-k&2k^2-12
\end{array}\right]\] Il determinante del primo viene \[-k^3-3k^2+22k\] mentre quello del secondo \[4k-k^3\] Ora: mentre il secondo va d'accordo con la soluzione che hai detto ($k=2$) perchè si annulla, il primo no! Quindi le possibilità sono:
* ho sbagliato ancora io da qualche parte
* hai sbagliato a copiare il testo (per favore controlla)
* ha sbagliato il libro (poco probabile)
1&k&1&8-k^2\\-1&-2k&-1&10-2k\\1&0&1&4-k^2+k\\-1&-k&-1&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Considero il minore \[\begin{bmatrix}
1&k\\-1&-2k
\end{bmatrix}\] che è invertibile per $k != 0$ Per $k=0$ la matrice incompleta diventa \[\left[\begin{array}{ccc}
1&0&1\\-1&0&-1\\1&0&1\\-1&0&-1
\end{array}\right]\] che ha rango $1$, quindi non va bene. Orlo il minore con elementi della matrice incompleta: ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&-2k&-1\\1&0&1
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&-2k&-1\\-1&-k&-1
\end{array}\right]\] Il determinante del primo è identicamente nullo, così come quello del secondo. Concludiamo che per $k != 0$ la matrice incompleta ha rango pari a $2$.
Passiamo alla matrice completa: orlo il minore con elementi provenienti dalla completa e ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&-2k&10-2k\\1&0&4-k^2+k
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&-2k&10-2k\\-1&-k&2k^2-12
\end{array}\right]\] Il determinante del primo viene \[-k^3-3k^2+22k\] mentre quello del secondo \[4k-k^3\] Ora: mentre il secondo va d'accordo con la soluzione che hai detto ($k=2$) perchè si annulla, il primo no! Quindi le possibilità sono:
* ho sbagliato ancora io da qualche parte
* hai sbagliato a copiare il testo (per favore controlla)
* ha sbagliato il libro (poco probabile)
ok, ora stavo per uscire appena rientro ricontrollo... comunque il 3° 4° e 5° si fanno nella stessa maniera no?
Sì i procedimenti sono uguali: si ragiona sul rango che devono avere le matrici.
impegno svanito sto ricontrollando, un'altra cosa per il rango posso anche utilizzare la rid. a scalini?
sto ricontrollando, un'altra cosa per il rango posso anche utilizzare la rid. a scalini?
in effetti ci sono un po' di errori pesanti 
nel testo riprovo a farlo
nel testo riprovo a farlo
Si può utilizzare la riduzione a scalini e individuare il rango contanto i pivot. In generale però questo metodo non è di semplice applicazione quando si ha a che fare con parametri.
Allora se hai altri dubbi aspetto il testo corretto!
Allora se hai altri dubbi aspetto il testo corretto!
$\{(x + ky + z = 8 - k^2),(-x + 2ky - z = 10 - k^2 -2k),(x + z = 4 - k^2 ),(-x - ky - z = 2k^2-12):}$
pff ho sbagliato di nuovo nel termine noto della 3° c'è anche un + k
Matrice del sistema: \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&k&1&8-k^2\\-1&2k&-1&10-k^2-2k\\1&0&1&4-k^2\\-1&-k&-1&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Considero il minore \[\begin{bmatrix}
1&k\\-1&2k
\end{bmatrix}\] che è invertibile per $k != 0$ Per $k=0$ la matrice incompleta diventa \[\left[\begin{array}{ccc}
1&0&1\\-1&0&-1\\1&0&1\\-1&0&-1
\end{array}\right]\] che ha rango $1$, quindi non va bene. Orlo il minore con elementi della matrice incompleta: ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&2k&-1\\1&0&1
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&2k&-1\\-1&-k&-1
\end{array}\right]\] Il determinante del primo è identicamente nullo, così come quello del secondo. Concludiamo che per $k != 0$ la matrice incompleta ha rango pari a $2$.
Passiamo alla matrice completa: orlo il minore con elementi provenienti dalla completa e ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&2k&10-k^2-2k\\1&0&4-k^2
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&2k&10-k^2-2k\\-1&-k&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Il determinante del primo viene \[-2k^3-2k^2+6k\] mentre quello del secondo \[3k^3-12k\] Di nuovo non torna: il secondo determinante si annulla per $k=2$ ma il primo no.
Sicuro che questa volta il testo sia giusto?
1&k&1&8-k^2\\-1&2k&-1&10-k^2-2k\\1&0&1&4-k^2\\-1&-k&-1&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Considero il minore \[\begin{bmatrix}
1&k\\-1&2k
\end{bmatrix}\] che è invertibile per $k != 0$ Per $k=0$ la matrice incompleta diventa \[\left[\begin{array}{ccc}
1&0&1\\-1&0&-1\\1&0&1\\-1&0&-1
\end{array}\right]\] che ha rango $1$, quindi non va bene. Orlo il minore con elementi della matrice incompleta: ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&2k&-1\\1&0&1
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&2k&-1\\-1&-k&-1
\end{array}\right]\] Il determinante del primo è identicamente nullo, così come quello del secondo. Concludiamo che per $k != 0$ la matrice incompleta ha rango pari a $2$.
Passiamo alla matrice completa: orlo il minore con elementi provenienti dalla completa e ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&2k&10-k^2-2k\\1&0&4-k^2
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&2k&10-k^2-2k\\-1&-k&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Il determinante del primo viene \[-2k^3-2k^2+6k\] mentre quello del secondo \[3k^3-12k\] Di nuovo non torna: il secondo determinante si annulla per $k=2$ ma il primo no.
Sicuro che questa volta il testo sia giusto?
"Vsc":
pff ho sbagliato di nuovo nel termine noto della 3° c'è anche un + k
Ho visto adesso...
scusami :/
Annuntio vobis gaudium magnum!
Matrice del sistema: \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&k&1&8-k^2\\-1&2k&-1&10-k^2-2k\\1&0&1&4-k^2+k\\-1&-k&-1&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Considero il minore \[\begin{bmatrix}
1&k\\-1&2k
\end{bmatrix}\] che è invertibile per $k != 0$ Per $k=0$ la matrice incompleta diventa \[\left[\begin{array}{ccc}
1&0&1\\-1&0&-1\\1&0&1\\-1&0&-1
\end{array}\right]\] che ha rango $1$, quindi non va bene. Orlo il minore con elementi della matrice incompleta: ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&2k&-1\\1&0&1
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&2k&-1\\-1&-k&-1
\end{array}\right]\] Il determinante del primo è identicamente nullo, così come quello del secondo. Concludiamo che per $k != 0$ la matrice incompleta ha rango pari a $2$.
Passiamo alla matrice completa: orlo il minore con elementi provenienti dalla completa e ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&2k&10-k^2-2k\\1&0&4-k^2+k
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&2k&10-k^2-2k\\-1&-k&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Il determinante del primo viene \[-2k^3+k^2+6k\] mentre quello del secondo \[3k^3-12k\] Affinché il rango della completa sia $2$ questi determinanti devono annullarsi entrambi, e questo succede per $k=2$.
Matrice del sistema: \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&k&1&8-k^2\\-1&2k&-1&10-k^2-2k\\1&0&1&4-k^2+k\\-1&-k&-1&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Considero il minore \[\begin{bmatrix}
1&k\\-1&2k
\end{bmatrix}\] che è invertibile per $k != 0$ Per $k=0$ la matrice incompleta diventa \[\left[\begin{array}{ccc}
1&0&1\\-1&0&-1\\1&0&1\\-1&0&-1
\end{array}\right]\] che ha rango $1$, quindi non va bene. Orlo il minore con elementi della matrice incompleta: ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&2k&-1\\1&0&1
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&1\\-1&2k&-1\\-1&-k&-1
\end{array}\right]\] Il determinante del primo è identicamente nullo, così come quello del secondo. Concludiamo che per $k != 0$ la matrice incompleta ha rango pari a $2$.
Passiamo alla matrice completa: orlo il minore con elementi provenienti dalla completa e ottengo \[\left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&2k&10-k^2-2k\\1&0&4-k^2+k
\end{array}\right] \qquad e \qquad \left[\begin{array}{ccc}
1&k&8-k^2\\-1&2k&10-k^2-2k\\-1&-k&2k^2-12
\end{array}\right]\]
Il determinante del primo viene \[-2k^3+k^2+6k\] mentre quello del secondo \[3k^3-12k\] Affinché il rango della completa sia $2$ questi determinanti devono annullarsi entrambi, e questo succede per $k=2$.
per i sbagli di testo già ti ho fatto perdere tempo ma non è che mi aiuteresti anche per il primo? :/
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