Sistemi Lineari
Salve ragazzi avrei bisogno di un po' di aiuto per dei sistemi lineari:
1) $\{(x + ky - 2z = 2),(x - (1-k)y - 3z = 2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k+1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
qua mi chiede di determinare per quale valore di $k$ il sistema è crameriano... dovrei considerare la matrice completa e ridurla?
2) $\{(x + ky + z = 8 - k^2),(-x - 2ky - z = 10 - 2k),(x + z = 4 - k^2 + k),(-x - ky - z = 2k^2-12):}$
qua mi chiede per quale valore di $k$ il sistema ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione uno... sinceramente non so che significa e come procedere
3) $\{((k+3)x + y = k + 4),(-x +(k+1)y = k),((2+k)x + y + z = k + 4):}$
qua la stessa cosa del 2, l'ho scritto perchè penso che il procedimento sia diverso dal 2 ( sicuramente mi sbaglio
)
4) $\{(-y + z - w = k^2 - 3),(-3x -z + (2k+2)w = -1),(y - z + w = -1),(3x + z + 2w = 1):}$
stavolta per quale valore di $k$ ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione 2
5) $\{(x + 2kz + 2w = 1),(-x + 3y - (2k+3)z + (5k-37)w = 3k-1),(y - z + (2k-14)w = k):}$
come il 4 ma anche qui penso si svolga in maniera differente
Grazie
1) $\{(x + ky - 2z = 2),(x - (1-k)y - 3z = 2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k+1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
qua mi chiede di determinare per quale valore di $k$ il sistema è crameriano... dovrei considerare la matrice completa e ridurla?
2) $\{(x + ky + z = 8 - k^2),(-x - 2ky - z = 10 - 2k),(x + z = 4 - k^2 + k),(-x - ky - z = 2k^2-12):}$
qua mi chiede per quale valore di $k$ il sistema ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione uno... sinceramente non so che significa e come procedere
3) $\{((k+3)x + y = k + 4),(-x +(k+1)y = k),((2+k)x + y + z = k + 4):}$
qua la stessa cosa del 2, l'ho scritto perchè penso che il procedimento sia diverso dal 2 ( sicuramente mi sbaglio
)4) $\{(-y + z - w = k^2 - 3),(-3x -z + (2k+2)w = -1),(y - z + w = -1),(3x + z + 2w = 1):}$
stavolta per quale valore di $k$ ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione 2
5) $\{(x + 2kz + 2w = 1),(-x + 3y - (2k+3)z + (5k-37)w = 3k-1),(y - z + (2k-14)w = k):}$
come il 4 ma anche qui penso si svolga in maniera differente
Grazie
Risposte
Scusa ma se sono tre incognite e devo trovare per quale k si ha spazio delle dimensioni 2 il rango non dovrebbe essere 1?
Veramente le incognite sono $4$: $x, y, z, w$. 
Salve volevo chiedervi come avreste risolto questo sistema,ovvero in che modo avreste appricciato.
studiare al variare diparametro di k$in$ $RR$ (eventualmente in $CC$ cambia qualcosa):
$((1,1,3),(k,k-1,0),(k^2-2k,k^2-3k,k^2-2k-1))$ e termini noti $((-2),(h-2),(-4))$
quindi matrice completa pari a
$((1,1,3,-2),(k,k-1,0,h-2),(k^2-2k,k^2-3k,k^2-2k-1,-4))$
voi come procedete in questo caso?
io sono partito sia con il calcolo del determinate della matrice completa che mi viene fuori
$-16k^2+7k+2$ $!=$0
poi studio per quali valori di k $!=$ $-7+-$sqrt(172)$/32$ da quelli che ho trovato poi devo sostituire questi valori dentro la matrice ? per h come fareste?
grazie a chiunque possa darmi una mano (nel caso della riduzione a scala,come fareste?quali passaggi fareste?
studiare al variare diparametro di k$in$ $RR$ (eventualmente in $CC$ cambia qualcosa):
$((1,1,3),(k,k-1,0),(k^2-2k,k^2-3k,k^2-2k-1))$ e termini noti $((-2),(h-2),(-4))$
quindi matrice completa pari a
$((1,1,3,-2),(k,k-1,0,h-2),(k^2-2k,k^2-3k,k^2-2k-1,-4))$
voi come procedete in questo caso?
io sono partito sia con il calcolo del determinate della matrice completa che mi viene fuori
$-16k^2+7k+2$ $!=$0
poi studio per quali valori di k $!=$ $-7+-$sqrt(172)$/32$ da quelli che ho trovato poi devo sostituire questi valori dentro la matrice ? per h come fareste?
grazie a chiunque possa darmi una mano (nel caso della riduzione a scala,come fareste?quali passaggi fareste?
inoltre vi allego anche un altro sistema con parametri in k,h $in$ $CC$ e matrice associata
$((k,k,-1,2),(k+1,k+3,-k,-3),(k+2,k-2,-k+1,h-2))$ con quale metodo procedete?
io sono partito con la riduzione in scala facendo III-II ; e II-I
ottenendo
$((k,k,-1,2),(1,3,-k+1,-5),(2,-2,-k,h))$
andando avanti con le riduzioni mi ritrovo la matrice
$((k,k,-1,2),(1,3,-k+1,-5),(0,-8,k,h-10))$ di qu posso fare questo passaggio
II-$(I/K)$
e poi III+4II
alla fine ho un matrice ridotta con 3 pivot. l'ultimo lo discuto e per quali valori il rango non diventa 2? poi come procedo per discutere gli altri valori ....grazie ancora è urgente
$((k,k,-1,2),(k+1,k+3,-k,-3),(k+2,k-2,-k+1,h-2))$ con quale metodo procedete?
io sono partito con la riduzione in scala facendo III-II ; e II-I
ottenendo
$((k,k,-1,2),(1,3,-k+1,-5),(2,-2,-k,h))$
andando avanti con le riduzioni mi ritrovo la matrice
$((k,k,-1,2),(1,3,-k+1,-5),(0,-8,k,h-10))$ di qu posso fare questo passaggio
II-$(I/K)$
e poi III+4II
alla fine ho un matrice ridotta con 3 pivot. l'ultimo lo discuto e per quali valori il rango non diventa 2? poi come procedo per discutere gli altri valori ....grazie ancora è urgente
"danielegauss":
Salve volevo chiedervi come avreste risolto questo sistema,ovvero in che modo avreste appricciato.
studiare al variare diparametro di k$in$ $RR$ (eventualmente in $CC$ cambia qualcosa):
$((1,1,3),(k,k-1,0),(k^2-2k,k^2-3k,k^2-2k-1))$ e termini noti $((-2),(h-2),(-4))$
Ciao, ho provato a calcolare il determinante e viene $$-k^2-4k+1$$ che si annulla per $$k = -2 \pm \sqrt{5}$$ quindi prova a rivedere i calcoli.
Ora per $k != -2 +- \sqrt(5)$ la matrice incompleta ha rango $3$ (massimo) e la completa non può che avere rango $3$ (poichè l'incompleta è un suo minore), quindi la soluzione esiste ed è unica. In corrispondenza di quei due particolari valori di $k$ il rango dell'incompleta si abbasserà (calcola quanto viene): dovrai trovare quei valori di $h$ che rendono il rango della completa di nuovo uguale a quello della incompleta, altrimenti il sistema non ammette soluzioni.
"danielegauss":
inoltre vi allego anche un altro sistema con parametri in k,h $in$ $CC$ e matrice associata
$((k,k,-1,2),(k+1,k+3,-k,-3),(k+2,k-2,-k+1,h-2))$ con quale metodo procedete?
io sono partito con la riduzione in scala facendo III-II ; e II-I
ottenendo
$((k,k,-1,2),(1,3,-k+1,-5),(2,-2,-k,h))$
Non mi torna l'ultima riga. Secondo me dovrebbe essere $$\begin{bmatrix}2&-2&-k+2&h-4\end{bmatrix}$$ Attenzione ai segni!
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