Sistemi Lineari
Salve ragazzi avrei bisogno di un po' di aiuto per dei sistemi lineari:
1) $\{(x + ky - 2z = 2),(x - (1-k)y - 3z = 2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k+1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
qua mi chiede di determinare per quale valore di $k$ il sistema è crameriano... dovrei considerare la matrice completa e ridurla?
2) $\{(x + ky + z = 8 - k^2),(-x - 2ky - z = 10 - 2k),(x + z = 4 - k^2 + k),(-x - ky - z = 2k^2-12):}$
qua mi chiede per quale valore di $k$ il sistema ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione uno... sinceramente non so che significa e come procedere
3) $\{((k+3)x + y = k + 4),(-x +(k+1)y = k),((2+k)x + y + z = k + 4):}$
qua la stessa cosa del 2, l'ho scritto perchè penso che il procedimento sia diverso dal 2 ( sicuramente mi sbaglio
)
4) $\{(-y + z - w = k^2 - 3),(-3x -z + (2k+2)w = -1),(y - z + w = -1),(3x + z + 2w = 1):}$
stavolta per quale valore di $k$ ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione 2
5) $\{(x + 2kz + 2w = 1),(-x + 3y - (2k+3)z + (5k-37)w = 3k-1),(y - z + (2k-14)w = k):}$
come il 4 ma anche qui penso si svolga in maniera differente
Grazie
1) $\{(x + ky - 2z = 2),(x - (1-k)y - 3z = 2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k+1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
qua mi chiede di determinare per quale valore di $k$ il sistema è crameriano... dovrei considerare la matrice completa e ridurla?
2) $\{(x + ky + z = 8 - k^2),(-x - 2ky - z = 10 - 2k),(x + z = 4 - k^2 + k),(-x - ky - z = 2k^2-12):}$
qua mi chiede per quale valore di $k$ il sistema ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione uno... sinceramente non so che significa e come procedere
3) $\{((k+3)x + y = k + 4),(-x +(k+1)y = k),((2+k)x + y + z = k + 4):}$
qua la stessa cosa del 2, l'ho scritto perchè penso che il procedimento sia diverso dal 2 ( sicuramente mi sbaglio
)4) $\{(-y + z - w = k^2 - 3),(-3x -z + (2k+2)w = -1),(y - z + w = -1),(3x + z + 2w = 1):}$
stavolta per quale valore di $k$ ammette uno spazio delle soluzioni di dimensione 2
5) $\{(x + 2kz + 2w = 1),(-x + 3y - (2k+3)z + (5k-37)w = 3k-1),(y - z + (2k-14)w = k):}$
come il 4 ma anche qui penso si svolga in maniera differente
Grazie
Risposte
"Vsc":
per i sbagli di testo già ti ho fatto perdere tempo ma non è che mi aiuteresti anche per il primo? :/
Basta che tu mi garantisca che il testo è corretto!
A parte gli scherzi, ok appena riesco lo faccio e te lo mando. Comunque ti dò un suggerimento: la matrice incompleta ha quattro righe e tre colonne. Affinchè la soluzione sia unica la matrice incompleta deve avere rango massimo (cioè $3$) e la matrice completa deve avere rango uguale a quello dell'incompleta, quindi ancora $3$.
mi bastava il suggerimento ora provo io 
grazie mille gentilissimo
Prego, figurati! Se hai altri dubbi siamo qui.
Rieccomi 
Nel primo l'esercizio mi chiede anche di trovare la soluzione del sistema, ho fatto la riduzione ma nell'ultimo passaggio mi blocco, consigli?
Nel primo l'esercizio mi chiede anche di trovare la soluzione del sistema, ho fatto la riduzione ma nell'ultimo passaggio mi blocco, consigli?
Ciao, ho provato a guardare il primo: affinchè il sistema sia compatibile il rango della matrice completa dovrà necessariamente essere non-massimo, visto che se fosse massimo (cioè $4$) sarebbe sicuramente diverso dal rango dell'incompleta. Allora ho calcolato il determinante della matrice completa per annullarlo e mi è venuto (al PC) \[-k^3-5k^2+9k+33\] che però si annulla per valori strani di $k$. Quindi ti chiedo: il testo è riportato correttamente?
no -.- ho la testa fra le nuvole ho sbagliato sia qui che quando ho fatto l'esercizio sul mio foglio :/ riprovo da solo...il rango deve essere 3 giusto?
Affinchè la soluzione sia unica sì, deve essere $3$. Però può anche essere per esempio $2$ (quello di entrambe le matrici, ovviamente) e in quel caso avrai $oo^1$ soluzioni.
si ma nel caso sia 2 non più crameriano o sbaglio?
Sì esatto. Il sistema è crameriano se il determinante della incompleta è diverso da zero, e questo equivale a dire che il suo rango è massimo.
ok ho dei problemi 
il testo è questo
$\{(x + ky - 2z = 2),(-x +(1-k)y + 3z = -2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k-1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
faccio la matrice incompleta ed arrivo a questo punto:
$((1,k,-2),(0,1,1),(0,0,3k+9),(0,0,2k+6))$
in questa maniera non può avere rango 3 :/
il testo è questo $\{(x + ky - 2z = 2),(-x +(1-k)y + 3z = -2),(2x + (2k+2)y + (3k+7)z = 1+k^2),(x + (k-1)y + (2k+3)z = k^2-3):}$
faccio la matrice incompleta ed arrivo a questo punto:
$((1,k,-2),(0,1,1),(0,0,3k+9),(0,0,2k+6))$
in questa maniera non può avere rango 3 :/
Perchè? Se $k != -3$ la matrice ha rango $3$.
giusto ahah sono proprio sveglio
perfetto grazie ancora mino
grazie ancora mino
Prego!
questo è il mio sistema
$((1,1,3,2),(k,k-1,0,h-2),(k^2-2k,k^2-3k,k^2-2k-1,-4))$
risolvendo il determinante della matrice senza i termini noti dell'ultima colonna il determinante non si annulla se è diverso da
$k != -7+-sqrt177/32$
risolvendo ora con Cramer e sostituendo i termini "noti" calcolandomi la x mi viene
$x=(-2k^3+5k^2-5hk+4k-8)/(-16k^2+7k+2)$
ora come devo procedere? Grazie
$((1,1,3,2),(k,k-1,0,h-2),(k^2-2k,k^2-3k,k^2-2k-1,-4))$
risolvendo il determinante della matrice senza i termini noti dell'ultima colonna il determinante non si annulla se è diverso da
$k != -7+-sqrt177/32$
risolvendo ora con Cramer e sostituendo i termini "noti" calcolandomi la x mi viene
$x=(-2k^3+5k^2-5hk+4k-8)/(-16k^2+7k+2)$
ora come devo procedere? Grazie
Ciao, ricontrolla il determinante perchè deve venire \[-k^2-4k+1\]
mi viene ricontrollando
$-k^2-6K+1$ il det
e quindi per $k!=4+-sqrt(20)/2$
poi procedo normalmente come gli esempi su questo forum?
grazie ancora
$-k^2-6K+1$ il det
e quindi per $k!=4+-sqrt(20)/2$
poi procedo normalmente come gli esempi su questo forum?
grazie ancora
Sì si procede come al solito, però controllalo nuovamente perchè io lo avevo calcolato con il PC, quindi credo sia giusto.
ultima cosa... nel 5) non so come procedere
Matrice del sistema: \[\left[\begin{array}{cccc|c}
1&0&2k&2&1\\-1&3&-(2k+3)&5k-37&3k-1\\0&1&-1&2k-14&k
\end{array}\right]\] Vogliamo uno spazio delle soluzioni di dimensione $2$, quindi il rango dell'incompleta e della completa deve essere pari a $4-2=2$. Entrambe hanno teoricamente rango massimo pari a $3$, quindi dovremo escludere questi casi. Partiamo dal minore \[\begin{bmatrix}
1&0\\-1&3\end{bmatrix}\] Questo è sempre invertibile perché il suo determinante è \(3 \neq 0, \forall k \in \mathbb{R}\). Ora si procede come al solito: orli il minore e imponi che i determinanti siano nulli, ecc.
Se hai altri problemi ne riparliamo.
1&0&2k&2&1\\-1&3&-(2k+3)&5k-37&3k-1\\0&1&-1&2k-14&k
\end{array}\right]\] Vogliamo uno spazio delle soluzioni di dimensione $2$, quindi il rango dell'incompleta e della completa deve essere pari a $4-2=2$. Entrambe hanno teoricamente rango massimo pari a $3$, quindi dovremo escludere questi casi. Partiamo dal minore \[\begin{bmatrix}
1&0\\-1&3\end{bmatrix}\] Questo è sempre invertibile perché il suo determinante è \(3 \neq 0, \forall k \in \mathbb{R}\). Ora si procede come al solito: orli il minore e imponi che i determinanti siano nulli, ecc.
Se hai altri problemi ne riparliamo.
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