Sistema lineare...dubbio sulla soluzione
ho il seguente sistema lineare (scusate se non faccio la parentesi graffa, ma non so come farla):
$x+az=a$
$ax-y+2z=a$
$(a-1)x+y-z=3/2$
con $a$ parametro reale
il problema mi chiede: "QUALE DELLE SEGUENTI AFFERMAZIONI è VERA":
A)il sistema è sempre possibile
B)Non esiste $a in RR$ tale che il sistema è indeterminato
C)Esiste un unico $a in RR$ tale che il sistema è impossibile
D)Per $a=-1/2$ $(x,y,z)=(0,5/2,1)$ è l'unica soluzione del sistema
E)Nessuna delle altre risposte
analizziamo il sistema:
mi sono svolta la matrice incompleta essendo una $3x3$ utilizzando $a=-1/2$ e ho notato che il suo determinante è $=/0$ quindi il sistema può essere possibile "DETERMINATO", quindi ho pensato che la risposta D) fosse vera, ma sviluppando cramer con la matrice completa mi sono accorta che la soluzione datami dal compito non era esatta.
Allora sono andata avanti, però ho pensato di scartare anche la risposta C) in quanto il sistema può essere impossibile solo se $r(A)
$x+az=a$
$ax-y+2z=a$
$(a-1)x+y-z=3/2$
con $a$ parametro reale
il problema mi chiede: "QUALE DELLE SEGUENTI AFFERMAZIONI è VERA":
A)il sistema è sempre possibile
B)Non esiste $a in RR$ tale che il sistema è indeterminato
C)Esiste un unico $a in RR$ tale che il sistema è impossibile
D)Per $a=-1/2$ $(x,y,z)=(0,5/2,1)$ è l'unica soluzione del sistema
E)Nessuna delle altre risposte
analizziamo il sistema:
mi sono svolta la matrice incompleta essendo una $3x3$ utilizzando $a=-1/2$ e ho notato che il suo determinante è $=/0$ quindi il sistema può essere possibile "DETERMINATO", quindi ho pensato che la risposta D) fosse vera, ma sviluppando cramer con la matrice completa mi sono accorta che la soluzione datami dal compito non era esatta.
Allora sono andata avanti, però ho pensato di scartare anche la risposta C) in quanto il sistema può essere impossibile solo se $r(A)
Risposte
Scusa ma la prima equazione del sistema è proprio così come l'hai scritta o hai dimenticato un pezzo?
si scusa hai ragione...ho provveduto a modificare.....
$det(A)=0$ per $a=1$ e per $a=-1/2$; nel primo caso sostituendo si trova che il rango $rho(A)=2$ , mentre $rho(B)=3$, quindi il sistema è impossibile; sostituendo invece $a=-1/2$ si trova che $rho(A)=rho(B)=2$ quindi il sistema è indeterminato. Questo mi pare porti a scartare tutte le altre risposte a parte la C. Salvo errori miei, ovviamente.
ma scusa per $a=-1/2$ $r(A)=3$ come fa a venirti 2?
${(x+az=a),(ax-y+2z=a),((a-1)x+y-z=3/2):}$ Abbiamo dunque $Ax=b$ con
$A=((1,0,a),(a,-1,2),(a-1,1,-1))$, $x= ((x),(y),(z))$, $b= ((a),(a),(3/2))$
$det(A) = 1 + a^2+0 -[-a(a-1) +2+0]= 1+a^2+a(a-1) -2= 2a^2 -a-1$
L'equazione di secondo grado $2a^2-a-1=0$ ha due soluzioni: $a=1$ e $a= -1/2$
$A=((1,0,a),(a,-1,2),(a-1,1,-1))$, $x= ((x),(y),(z))$, $b= ((a),(a),(3/2))$
$det(A) = 1 + a^2+0 -[-a(a-1) +2+0]= 1+a^2+a(a-1) -2= 2a^2 -a-1$
L'equazione di secondo grado $2a^2-a-1=0$ ha due soluzioni: $a=1$ e $a= -1/2$
io ho sostituita la $a$ con $-1/2$ e da qui poi mi sono calcolata il det di A che mi viene 1 e siccome $1=/0$ sono arrivata alla conclusione che il rango di A è 3...ho sbagliato?
Sì, è sbagliato. $2*(-1/2)^2 -(-1/2) -1= 2*1/4 +1/2 -1= 1/2 +1/2-1= 1-1=0$
io ho sempre fatto cosi...ecco perchè sbagliavo!!!quindi mi devo calcolare il det sempre tenendo in considerazione il parametro e poi sostituisco...giusto?
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1/2 \\
-1/2 &-1 &2 \\
-3/2 &1 &-1
\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 \\
-1 &-2 &4 \\
-3 &2 &-2
\end{pmatrix}\rightarrow (R_3\rightarrow 2R_3+R_2)
\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 \\
-1 &-2 &4 \\
-7 &2 &0
\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\rightarrow (R_2\rightarrow R_2+R_3)\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 \\
-8 &0 &4 \\
-7 &2 &0
\end{pmatrix}\rightarrow (R_2\rightarrow R_2+4R_1)\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 \\
0 &0 &0 \\
-7 &2 &0
\end{pmatrix}[/tex]
1 &0 &-1/2 \\
-1/2 &-1 &2 \\
-3/2 &1 &-1
\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 \\
-1 &-2 &4 \\
-3 &2 &-2
\end{pmatrix}\rightarrow (R_3\rightarrow 2R_3+R_2)
\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 \\
-1 &-2 &4 \\
-7 &2 &0
\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\rightarrow (R_2\rightarrow R_2+R_3)\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 \\
-8 &0 &4 \\
-7 &2 &0
\end{pmatrix}\rightarrow (R_2\rightarrow R_2+4R_1)\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 \\
0 &0 &0 \\
-7 &2 &0
\end{pmatrix}[/tex]
provo a postare questo passaggio (molto probabilmente sarà errato, io comunque ci provo)
una volta individuato che $r(A)=2$ provo a trovarmi il $r(B)$ facendo cosi:
$B=((0 a a),(-1 2 a),(1 -1 3/2))$ $|B|=(0+a^2+a)-(2a+0-3/2a)=a^2+a-2a-3/2a=a^2-5/2a$ e sostituendo con $-1/2$ ottengo $|B|=3/2$ quindi $r(B)=3$ il mio ragionamento è esatto?
una volta individuato che $r(A)=2$ provo a trovarmi il $r(B)$ facendo cosi:
$B=((0 a a),(-1 2 a),(1 -1 3/2))$ $|B|=(0+a^2+a)-(2a+0-3/2a)=a^2+a-2a-3/2a=a^2-5/2a$ e sostituendo con $-1/2$ ottengo $|B|=3/2$ quindi $r(B)=3$ il mio ragionamento è esatto?
Non credo: la matrice $B$ è 3x4 e non puoi calcolarne il determinante (dato che non è una matrice quadrata), se ho capito cosa volevi intendere. Dovrebbe essere (in generale) questa:
[tex]B=\begin{pmatrix}
1 &0 &a &a \\
a&-1 &2 &a \\
a-1&1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}[/tex]
che con $a=-1/2$ diventa:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1/2 &-1/2 \\
-1/2&-1 &2 &-1/2 \\
-3/2&1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}[/tex];
prova a sottoporla alle trasformazioni che ti ho indicato (compreso il prodotto iniziale per $2$ di tutte le righe che hanno un termine del tipo .../2, solo per rendere interi gli elementi e fare i conti più facilmente) e vedrai che alla fine in corrispondenza della riga nulla della matrice $A$ (la seconda riga) la $B$ ha come quarto elemento un numero diverso da zero, il che significa che l'equazione del sistema che corrisponde a quella riga è impossibile. E che ha rango 3, dato che le altre righe sono linearmente indipendenti.
[tex]B=\begin{pmatrix}
1 &0 &a &a \\
a&-1 &2 &a \\
a-1&1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}[/tex]
che con $a=-1/2$ diventa:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1/2 &-1/2 \\
-1/2&-1 &2 &-1/2 \\
-3/2&1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}[/tex];
prova a sottoporla alle trasformazioni che ti ho indicato (compreso il prodotto iniziale per $2$ di tutte le righe che hanno un termine del tipo .../2, solo per rendere interi gli elementi e fare i conti più facilmente) e vedrai che alla fine in corrispondenza della riga nulla della matrice $A$ (la seconda riga) la $B$ ha come quarto elemento un numero diverso da zero, il che significa che l'equazione del sistema che corrisponde a quella riga è impossibile. E che ha rango 3, dato che le altre righe sono linearmente indipendenti.
"silvia_85":
io ho sempre fatto cosi...ecco perchè sbagliavo!!!quindi mi devo calcolare il det sempre tenendo in considerazione il parametro e poi sostituisco...giusto?
Non "poi sostituisco", il polinomio nel parametro $a$ che ti risulta calcolando il determinante lo poni uguali a zero, risolvi e quindi trovi i valori del parametro per cui il determinante si annulla (altrimenti non sapresti come fare in un caso in cui non ti venisse data l'imbeccata, a mezzo di un'eventuale risposta corretta, su un possibile valore che annulla il $det(A)$).
"Palliit":
Non credo: la matrice $B$ è 3x4 e non puoi calcolarne il determinante (dato che non è una matrice quadrata), se ho capito cosa volevi intendere. Dovrebbe essere (in generale) questa:
[tex]B=\begin{pmatrix}
1 &0 &a &a \\
a&-1 &2 &a \\
a-1&1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}[/tex]
che con $a=-1/2$ diventa:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1/2 &-1/2 \\
-1/2&-1 &2 &-1/2 \\
-3/2&1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}[/tex];
prova a sottoporla alle trasformazioni che ti ho indicato (compreso il prodotto iniziale per $2$ di tutte le righe che hanno un termine del tipo .../2, solo per rendere interi gli elementi e fare i conti più facilmente) e vedrai che alla fine in corrispondenza della riga nulla della matrice $A$ (la seconda riga) la $B$ ha come quarto elemento un numero diverso da zero, il che significa che l'equazione del sistema che corrisponde a quella riga è impossibile. E che ha rango 3, dato che le altre righe sono linearmente indipendenti.
per calcolarmi il det di B ho preso un'orlato inserendo però anche il resto della matrice, ho fatto male?
Non puoi calcolare il determinante di una matrice non quadrata... Come fai?
ho calcolato di una 3x3 (due righe della matrice incompleta e la terza quella della matrice completa) non so se sono stata chiara 
Ho capito cosa hai fatto: hai cercato di calcolare il rango con il teorema degli orlati sostituendo all'ultima colonna della matrice incompleta l'ultima della matrice completa... a quel punto hai sostituito nel determinante calcolato [tex]\frac{1}{2}[/tex] ed hai visto che per tale valore il polinomio ottenuto non si annulla deducento da ciò il rango della matrice.
A mio modo di vedere, come peraltro ti è stato consigliato sopra faresti prima a procedere in questo modo:
- calcoli il determinante della matrice parametrica, insomma tieni [tex]a[/tex] come variabile, e trovi il polinomio in tale variabile;
- verifichi per quali valori tale polinomio è diverso da zero(ne trovi le radici), sai quindi che per ogni valore diverso da quello delle radici il sistema ha un'unica soluzione(ad esempio usi Cramer e la trovi);
- ora sostituisci le radici del polinomio in oggetto alla matrice completa e la tratti come un normale sistema non parametrico applicando riduzione o eliminazione di Gauss e fai le dovute considerazioni sulla compatibilità o meno del sistema lineare per tali valori della variabile in oggetto.
A mio modo di vedere, come peraltro ti è stato consigliato sopra faresti prima a procedere in questo modo:
- calcoli il determinante della matrice parametrica, insomma tieni [tex]a[/tex] come variabile, e trovi il polinomio in tale variabile;
- verifichi per quali valori tale polinomio è diverso da zero(ne trovi le radici), sai quindi che per ogni valore diverso da quello delle radici il sistema ha un'unica soluzione(ad esempio usi Cramer e la trovi);
- ora sostituisci le radici del polinomio in oggetto alla matrice completa e la tratti come un normale sistema non parametrico applicando riduzione o eliminazione di Gauss e fai le dovute considerazioni sulla compatibilità o meno del sistema lineare per tali valori della variabile in oggetto.
si bravo ha capito bene...ho fatto gli orlati...ma cosa intendi tu per "radici"?
"Palliit":
Non credo: la matrice $B$ è 3x4 e non puoi calcolarne il determinante (dato che non è una matrice quadrata), se ho capito cosa volevi intendere. Dovrebbe essere (in generale) questa:
[tex]B=\begin{pmatrix}
1 &0 &a &a \\
a&-1 &2 &a \\
a-1&1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}[/tex]
che con $a=-1/2$ diventa:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1/2 &-1/2 \\
-1/2&-1 &2 &-1/2 \\
-3/2&1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}[/tex];
prova a sottoporla alle trasformazioni che ti ho indicato (compreso il prodotto iniziale per $2$ di tutte le righe che hanno un termine del tipo .../2, solo per rendere interi gli elementi e fare i conti più facilmente) e vedrai che alla fine in corrispondenza della riga nulla della matrice $A$ (la seconda riga) la $B$ ha come quarto elemento un numero diverso da zero, il che significa che l'equazione del sistema che corrisponde a quella riga è impossibile. E che ha rango 3, dato che le altre righe sono linearmente indipendenti.
scusate ma non riesco a capire come vi trovate il rango di $B$ senza fare l'orlato visto che è una $3x4$
Ciao. In effetti nel mio post che citi c'è un errore di cui mi scuso: la situazione che descrivo si verifica quando $a=1$ e non quando $a=-1/2$.
Precisamente, parti dalla definizione di rango come il numero delle righe non nulle linearmente indipendenti fra loro, e dalla proprietà del rango di non essere modificato da operazioni di riduzione della matrice. Lavorando per riduzione sulla matrice $B$ (e tenendo presente che $A$ corrisponde alle prime tre colonne di $B$), per $a=-1/2$ si ottiene:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1/2 &-1/2 \\
-1/2 &-1 &2 &-1/2 \\
-3/2 &1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}\overset{1}{\rightarrow}
\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 &-1 \\
-1 &-2 &4 &-1 \\
-3 &2 &-2 &3
\end{pmatrix}\overset{2}{\rightarrow}\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 &-1 \\
-1 &-2 &4 &-1 \\
-4 &0 &2 &2
\end{pmatrix}\overset{3}{\rightarrow}\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 &-1 \\
-1 &-2 &4 &-1 \\
0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}[/tex]
dove: (1):le tre righe moltipicate per 2; (2): $R_3 \rightarrow R_3+R_2$; (3): $R_3 \rightarrow R_3+2R_1$; è evidente che le righe non nulle linearmente indipendenti sono due, sia in $A$ sia in $B$, quindi entrambe hanno rango $2$.
Invece per $a=1$:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 \\
1 &-1 &2 &1 \\
0 &1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}\overset{1}{\rightarrow}
\begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 \\
0 &-1 &1 &0 \\
0 &1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}\overset{2}{\rightarrow}\begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 \\
0 &-1 &1 &0 \\
0 &0 &0 &3/2
\end{pmatrix}[/tex],
dove: (1): $R_2 \rightarrow R_2-R_1$ , (2): $R_3 \rightarrow R_3+R_2$;
ti è abbastanza evidente che le righe non nulle di $A$ sono due e le altre sono indipendenti, mentre quelle di $B$ sono tre, altrettanto indipendenti? Quindi $rho(A)=2$ e $rho(B)=3$.
Ciao e scusa ancora per l'errore (qua spero di non averne fatti).
Precisamente, parti dalla definizione di rango come il numero delle righe non nulle linearmente indipendenti fra loro, e dalla proprietà del rango di non essere modificato da operazioni di riduzione della matrice. Lavorando per riduzione sulla matrice $B$ (e tenendo presente che $A$ corrisponde alle prime tre colonne di $B$), per $a=-1/2$ si ottiene:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1/2 &-1/2 \\
-1/2 &-1 &2 &-1/2 \\
-3/2 &1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}\overset{1}{\rightarrow}
\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 &-1 \\
-1 &-2 &4 &-1 \\
-3 &2 &-2 &3
\end{pmatrix}\overset{2}{\rightarrow}\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 &-1 \\
-1 &-2 &4 &-1 \\
-4 &0 &2 &2
\end{pmatrix}\overset{3}{\rightarrow}\begin{pmatrix}
2 &0 &-1 &-1 \\
-1 &-2 &4 &-1 \\
0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}[/tex]
dove: (1):le tre righe moltipicate per 2; (2): $R_3 \rightarrow R_3+R_2$; (3): $R_3 \rightarrow R_3+2R_1$; è evidente che le righe non nulle linearmente indipendenti sono due, sia in $A$ sia in $B$, quindi entrambe hanno rango $2$.
Invece per $a=1$:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 \\
1 &-1 &2 &1 \\
0 &1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}\overset{1}{\rightarrow}
\begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 \\
0 &-1 &1 &0 \\
0 &1 &-1 &3/2
\end{pmatrix}\overset{2}{\rightarrow}\begin{pmatrix}
1 &0 &1 &1 \\
0 &-1 &1 &0 \\
0 &0 &0 &3/2
\end{pmatrix}[/tex],
dove: (1): $R_2 \rightarrow R_2-R_1$ , (2): $R_3 \rightarrow R_3+R_2$;
ti è abbastanza evidente che le righe non nulle di $A$ sono due e le altre sono indipendenti, mentre quelle di $B$ sono tre, altrettanto indipendenti? Quindi $rho(A)=2$ e $rho(B)=3$.
Ciao e scusa ancora per l'errore (qua spero di non averne fatti).
ma scusa se anzichè fare tutti questi passaggi mi faccio semplicemente l'orlato di B per vedere se il suo rango è 3, non è pure giusto?
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