Risolvere il sistema parametrico al variare di k.
salve a tutti......come si evince dalla traccia devo risolvere e discutere questo sistema...........la discussione credo di averla fatta, ma la risoluzione no.....potete darmi una mano? grazie
$\{(x+4y+2z=2),(x+4y+kz=2),(2x +ky+z = 1):}$
$A= ((1,4,2),(1,4,k),(2,k,1))$ dopo la riduzione a scala $A= ((2,k,1),(0,-8+k,-2k+1),(0,0,k-2))$
$\bar{A}=((1,4,2,2),(1,4,k,2),(2,k,1,1))$ dopo la riduzione $\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
$A$: per k=2 rango=2
per k $!=$2 rango 3
$\bar{A}$= per k=2 rango=2
per K $!=$2 rango 3
Discussione:
se $k=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=2$ il sistema ha $oo^(3-2)$=$oo$ soluzioni
se $k!=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=3$ il sistema ha $oo^(3-3)$=$oo^0$ soluzioni= 1 soluzione
la discussione è giusta? come si risolve............grazie a tutti!!!
$\{(x+4y+2z=2),(x+4y+kz=2),(2x +ky+z = 1):}$
$A= ((1,4,2),(1,4,k),(2,k,1))$ dopo la riduzione a scala $A= ((2,k,1),(0,-8+k,-2k+1),(0,0,k-2))$
$\bar{A}=((1,4,2,2),(1,4,k,2),(2,k,1,1))$ dopo la riduzione $\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
$A$: per k=2 rango=2
per k $!=$2 rango 3
$\bar{A}$= per k=2 rango=2
per K $!=$2 rango 3
Discussione:
se $k=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=2$ il sistema ha $oo^(3-2)$=$oo$ soluzioni
se $k!=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=3$ il sistema ha $oo^(3-3)$=$oo^0$ soluzioni= 1 soluzione
la discussione è giusta? come si risolve............grazie a tutti!!!
Risposte
2.2. Definizione (Matrici a scalini (per riga)). Una matrice $A = (a_{i,j})\in M_{m,n}(K)$ si
dice in forma a scalini (per righe) se gode della seguente proprietà: per ogni riga, se $a_{r,j_r}$ è il primo
elemento non nullo della riga, allora $a_{i,j} = 0$ ogni volta che $i >= r$ e $j \leq j_r$, a parte $i = r$ e $j = j_r$
(significa che tutti i termini “a sinistra e in basso” rispetto ad $a_{r,j_r}$ sono nulli, o ancora che $a_{r,j_r}$ è
l’unico elemento non nullo della sottomatrice di A che si ottiene cancellando le righe soprastanti e
le colonne a destra) . I primi termini non nulli di ciascuna riga si dicono allora i pivot o i termini
direttori della matrice. La matrice si dice in forma speciale a scalini (per righe) se è in forma speciale
e tutti i pivot sono uguali ad 1.
Ripeto: apri questo pdf, e vai a pagina 87. Trovi questa definizione scritta per bene e anche una definizione più "grafica" che ti aiuta a capire a dovere.
"bius88":
non ho capito.......fammi un esempio:
perchè la matrice $\bar{A}=((5,8,1,1),(0,0,-15,-3),(0,0,6,0))$ nn è ridotta a scala?
e se continuo a ridurla come dici tu $\bar{A}=((5,8,1,1),(0,0,-15,-3),(0,0,0,-18/15))$ il pivot nn nullo è 1!!??
apro un nuovo topic per risolvere questo problema........
per il sistema cmq rispondete sempre qua!!! grazie
"bius88":
salve a tutti......come si evince dalla traccia devo risolvere e discutere questo sistema...........la discussione credo di averla fatta, ma la risoluzione no.....potete darmi una mano? grazie
$\{(x+4y+2z=2),(x+4y+kz=2),(2x +ky+z = 1):}$
$A= ((1,4,2),(1,4,k),(2,k,1))$ dopo la riduzione a scala $A= ((2,k,1),(0,-8+k,-2k+1),(0,0,k-2))$
$\bar{A}=((1,4,2,2),(1,4,k,2),(2,k,1,1))$ dopo la riduzione $\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
$A$: per k=2 rango=2
per k $!=$2 rango 3
$\bar{A}$= per k=2 rango=2
per K $!=$2 rango 3
Discussione:
se $k=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=2$ il sistema ha $oo^(3-2)$=$oo$ soluzioni
se $k!=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=3$ il sistema ha $oo^(3-3)$=$oo^0$ soluzioni= 1 soluzione
la discussione è giusta? come si risolve............grazie a tutti!!!
spero che questa volta sia corretto.........
$\{(x+4y+2z=2),(x+4y+kz=2),(2x +ky+z = 1):}$
$A= ((1,4,2),(1,4,k),(2,k,1))$ dopo la riduzione a scala $A= ((2,k,1),(0,-8+k,-2k+1),(0,0,k-2))$
$\bar{A}=((1,4,2,2),(1,4,k,2),(2,k,1,1))$ dopo la riduzione $\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
$A$: per k=2 rango=2
per k=8 abbiamo $A= ((2,8,1),(0,0,-15),(0,0,6))$ ......la continuiamo a ridurre..... ridotta: $A= ((1,4,1/2),(0,0,1),(0,0,0))$ rango =2
per k $!=$2 e k $!=$8 rango 3
$\bar{A}$: per k=2 rango=2
per k=8 abbiamo $\bar{A}=((2,8,1,1),(0,0,-15,-3),(0,0,6,0))$ ......la continuiamo a ridurre..... ridotta:$\bar{A}=((1,4,1/2,1/2),(0,0,1,1/5),(0,0,0,1))$ rango=3
per K $!=$2 e k$!=$8 rango 3
Discussione:
se $k=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=2$ il sistema ha $oo^(3-2)$=$oo$ soluzioni
se $k=8$
rango $A$ $!=$ rango$\bar{A}$: infatti 2$!=$3 il sistema è incompatibile
se $k!=2$ e $k!=8$
rango $A$= rango$\bar{A}=3$ il sistema ha $oo^(3-3)$=$oo^0$ soluzioni= 1 soluzione
è giusto????
Perfetto. Un suggerimento: questo algoritmo è quello che userebbe una macchina, tu puoi anche risparmiarti qualche conto andando un po' a occhio: ad esempio $A=((2,8,1), (0,0,-15), (0,0,6))$. Senza fare conti, è immediato che la terza riga è un multiplo della seconda, mentre le prime due hanno un pivot ciascuna e perciò sono linearmente indipendenti.
grazie dissonance......anche se l'esercizio ancora non è finito......il prof infatti mi ha detto che devo trovare le soluzioni.......come le trovo?
dalla discussione si evince che 1 soluzione se k$!=$2 e k$!=$8 .......qual'è??
e dove ci sono infinite soluzioni secondo te mi devo fermare o trovarne almeno una?
grazie tante!!!!
dalla discussione si evince che 1 soluzione se k$!=$2 e k$!=$8 .......qual'è??
e dove ci sono infinite soluzioni secondo te mi devo fermare o trovarne almeno una?
grazie tante!!!!
Se hai fatto la riduzione in forma a gradini a questo punto la soluzione te la trovi dalla forma a gradini. No? Partendo dalla matrice orlata, scrivi il sistema lineare corrispondente. Ricordati che il sistema associato alla forma a gradini è equivalente a quello originale (Perché?). Se la matrice è in forma a gradini, capirai subito come risolvere.
Nota: Se ci sono più soluzioni, per esempio se ce ne sono $infty^k$, cambia nome alle ultime(*) $k$ indeterminate (per esempio chiamale $t_1, ..., t_k$) e trattale come se fossero termini noti. In questa maniera ottieni le soluzioni in forma parametrica.
P.S.:Al punto (*) ho detto di cambiare nome alle ultime $k$ indeterminate perché stai usando la riduzione in forma a gradini. Con altri metodi di risoluzione la situazione potrebbe essere diversa: dovrai sempre considerare $k$ incognite come parametri, ma non è detto che saranno proprio le ultime $k$. Vedi https://www.matematicamente.it/forum/sce ... eri-t32731 .
Nota: Se ci sono più soluzioni, per esempio se ce ne sono $infty^k$, cambia nome alle ultime(*) $k$ indeterminate (per esempio chiamale $t_1, ..., t_k$) e trattale come se fossero termini noti. In questa maniera ottieni le soluzioni in forma parametrica.
P.S.:Al punto (*) ho detto di cambiare nome alle ultime $k$ indeterminate perché stai usando la riduzione in forma a gradini. Con altri metodi di risoluzione la situazione potrebbe essere diversa: dovrai sempre considerare $k$ incognite come parametri, ma non è detto che saranno proprio le ultime $k$. Vedi https://www.matematicamente.it/forum/sce ... eri-t32731 .
ok......
$\{(2x + ky + z+t =0),((-8+k)y (-2k+1)z -3t= 0),((k-2)z = 0):}$
ma ora devo dare a k un valore arbitrario che sia $!=$2,8??
e per il caso in cui ho infinite soluzioni? mi fai un esempio??? grazie 6 gentilissimo!!!
$\{(2x + ky + z+t =0),((-8+k)y (-2k+1)z -3t= 0),((k-2)z = 0):}$
ma ora devo dare a k un valore arbitrario che sia $!=$2,8??
e per il caso in cui ho infinite soluzioni? mi fai un esempio??? grazie 6 gentilissimo!!!
Quando andavi a scuola superiore, hai mai risolto i sistemi di equazioni per sostituzione? (mi pare che si dicesse così). L'algoritmo di riduzione a gradini ti mette nelle condizioni di applicare questo metodo nel caso generale.
Detto questo, stai attento che nel sistema che hai scritto hai combinato un casino. La matrice che hai ridotto in forma a gradini era quella orlata, solo che tu adesso la stai trattando come se fosse quella dei coefficienti. Altrimenti da dove ti esce quella $t$? Ricordati che quando riduci a gradini, stai trasformando un sistema di equazioni in un altro equivalente.
Detto questo, stai attento che nel sistema che hai scritto hai combinato un casino. La matrice che hai ridotto in forma a gradini era quella orlata, solo che tu adesso la stai trattando come se fosse quella dei coefficienti. Altrimenti da dove ti esce quella $t$? Ricordati che quando riduci a gradini, stai trasformando un sistema di equazioni in un altro equivalente.
$\{(2x + ky + z+ =1),((-8+k)y (-2k+1)z = -3),((k-2)z = 0):}$
è questa la matrice che devo scrivere???
e con k come mi devo comportare?
è questa la matrice che devo scrivere???
e con k come mi devo comportare?
Con $k$ devi distinguere i vari casi. Semplice. Se $k!=2, 8$, a quanto deve essere uguale $z$? E quindi, a quanto deve essere uguale $y$? Non ci credo se mi dici che non lo sai fare, è che non ci stai riflettendo abbastanza.
forse è così.................dammi l'input!!!
Se ti avessi detto:
risolvere la seguente equazione
$(k-2)z=0$, per $k!=2$, tu che avresti fatto?
risolvere la seguente equazione
$(k-2)z=0$, per $k!=2$, tu che avresti fatto?
avrei dato a k un valore a mia scelta diverso da 2???
avrei dato a k un valore a mia scelta diverso da 2???
No, bius, non ti puoi incartare così su questa fesseria. Se ti dico: risolvi l'equazione $ax=b$, dove $a$ e $b$ sono parametri fissati e $x$ è l'incognita, tu che fai?
$x=b/a$
manca una condizione importantissima che deve essere verificata dalla $a$.
cosa manca?
bius, se ti avessi detto $0x=b$, come avresti risolto?
ah ho capito.......la $a!=0$!!!
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