Risolvere il sistema parametrico al variare di k.
salve a tutti......come si evince dalla traccia devo risolvere e discutere questo sistema...........la discussione credo di averla fatta, ma la risoluzione no.....potete darmi una mano? grazie
$\{(x+4y+2z=2),(x+4y+kz=2),(2x +ky+z = 1):}$
$A= ((1,4,2),(1,4,k),(2,k,1))$ dopo la riduzione a scala $A= ((2,k,1),(0,-8+k,-2k+1),(0,0,k-2))$
$\bar{A}=((1,4,2,2),(1,4,k,2),(2,k,1,1))$ dopo la riduzione $\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
$A$: per k=2 rango=2
per k $!=$2 rango 3
$\bar{A}$= per k=2 rango=2
per K $!=$2 rango 3
Discussione:
se $k=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=2$ il sistema ha $oo^(3-2)$=$oo$ soluzioni
se $k!=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=3$ il sistema ha $oo^(3-3)$=$oo^0$ soluzioni= 1 soluzione
la discussione è giusta? come si risolve............grazie a tutti!!!
$\{(x+4y+2z=2),(x+4y+kz=2),(2x +ky+z = 1):}$
$A= ((1,4,2),(1,4,k),(2,k,1))$ dopo la riduzione a scala $A= ((2,k,1),(0,-8+k,-2k+1),(0,0,k-2))$
$\bar{A}=((1,4,2,2),(1,4,k,2),(2,k,1,1))$ dopo la riduzione $\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
$A$: per k=2 rango=2
per k $!=$2 rango 3
$\bar{A}$= per k=2 rango=2
per K $!=$2 rango 3
Discussione:
se $k=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=2$ il sistema ha $oo^(3-2)$=$oo$ soluzioni
se $k!=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=3$ il sistema ha $oo^(3-3)$=$oo^0$ soluzioni= 1 soluzione
la discussione è giusta? come si risolve............grazie a tutti!!!
Risposte
aaahh...finalmente!!!! Tanto difficile era? Adesso risolvi $(k-2)z=0$.
$z=0$
quindi....
$\{(2x + ky + z+ =1),((-8+k)y +(-2k+1)z = -3),((k-2)z = 0):}$
$\{(2x + ky + z+ =1),((-8+k)y = -3),(z = 0):}$
$\{(2x + k (-3/(-8+k)) =1),(y = -3/(-8+k)),(z = 0):}$ ???????
$\{(2x + ky + z+ =1),((-8+k)y +(-2k+1)z = -3),((k-2)z = 0):}$
$\{(2x + ky + z+ =1),((-8+k)y = -3),(z = 0):}$
$\{(2x + k (-3/(-8+k)) =1),(y = -3/(-8+k)),(z = 0):}$ ???????
beh? che c'è che non va? ti manca da risolvere solo la $x$.
diventa $(-16x+2kx+2k+8)/(-8+k)=0$ e poi numeratore $=0$
$-16x+2kx+2k+8=0$ da cui $x(-16+2k)+2k+8=0$ .......... $x=(-2k-8)/(-16 + 2k)$
e ora???
$-16x+2kx+2k+8=0$ da cui $x(-16+2k)+2k+8=0$ .......... $x=(-2k-8)/(-16 + 2k)$
e ora???
E questa è la soluzione nel caso generale, ovvero per $k!=2, 8$. Come vedi il fatto di avere tre pivot ti ha permesso di fare tutte le divisioni che ti servivano senza dividere per zero. Per i casi particolari, secondo te può esserci un modo diverso di procedere dal porre $k=2$, $k=8$, sostituire, e risolvere il sistema? 
procediamo un passo alla volta...........la soluzione è quella che ho trovato? io pensavo che la k nn dovesse comparire nella soluzione!
Ascolta, bius, io penso che dovresti riflettere un po' da solo sui vari passaggi del problema prima di postare una domanda. Altrimenti facciamo prima a fare così: io risolvo il sistema, ti scrivo la soluzione e tanti saluti.
Detto questo, provo a mettere le cose in una maniera più semplice. Se volessi risolvere l'equazione $kx=b$, hai detto prima che faresti così: per $k!=0$, la soluzione è $x=b/k$. Quindi $k$ è comparso nella soluzione. Come fa a sembrarti strano che $k$ compaia nella soluzione del tuo sistema di equazioni? Sarebbe strano se non comparisse!!!!
Significherebbe dire: indipendentemente dalla scelta di $k$, il sistema ha sempre la stessa soluzione.
Ma queste sono cose a cui tu potevi benissimo arrivare da solo, e sono proprio questi ragionamenti, e non i conticini, la parte importante della risoluzione di un esercizio. (Per inciso, un sistema di equazioni come questo lo puoi risolvere con un sistema di calcolo simbolico (Mathematica, Maple, Derive, ecc...) mettendoci molto meno di un secondo).
Detto questo, provo a mettere le cose in una maniera più semplice. Se volessi risolvere l'equazione $kx=b$, hai detto prima che faresti così: per $k!=0$, la soluzione è $x=b/k$. Quindi $k$ è comparso nella soluzione. Come fa a sembrarti strano che $k$ compaia nella soluzione del tuo sistema di equazioni? Sarebbe strano se non comparisse!!!!
Significherebbe dire: indipendentemente dalla scelta di $k$, il sistema ha sempre la stessa soluzione.
Ma queste sono cose a cui tu potevi benissimo arrivare da solo, e sono proprio questi ragionamenti, e non i conticini, la parte importante della risoluzione di un esercizio. (Per inciso, un sistema di equazioni come questo lo puoi risolvere con un sistema di calcolo simbolico (Mathematica, Maple, Derive, ecc...) mettendoci molto meno di un secondo).
ok dissonance.... quindi l'esercizio è concluso?? e nel caso in cui ho infinite soluzioni come mi devo comportare? ne devo trovare almeno una???
L'esercizio non è concluso. E' concluso il caso $k!=2, 8$. Restano da risolvere i casi $k=2, k=8$, che vanno fatti uno alla volta. Prima di cominciare, ricordati che hai già tutte le informazioni che ti servono per stabilire il genere di soluzioni che ti aspetti di trovare. Mi spiego?
In parole più povere: vatti a studiare il teorema di Rouché-Capelli. E' molto semplice e davvero indispensabile per chi vuole risolvere sistemi di equazioni lineari.
In parole più povere: vatti a studiare il teorema di Rouché-Capelli. E' molto semplice e davvero indispensabile per chi vuole risolvere sistemi di equazioni lineari.
"dissonance":
E questa è la soluzione nel caso generale, ovvero per $k!=2, 8$. Come vedi il fatto di avere tre pivot ti ha permesso di fare tutte le divisioni che ti servivano senza dividere per zero. Per i casi particolari, secondo te può esserci un modo diverso di procedere dal porre $k=2$, $k=8$, sostituire, e risolvere il sistema?
prima mi hai fatto questa domanda che riguarda quello che dovrei fare ora cioè studiare i casi in cui $k=2$ e $k=8$.........bè .....nn so rispondere!! potresti dirmi cm devo comportarmi (anche se ci sono più modi, poi io scelgo quello più facile per me!)??
P.S. Rouché Capelli l'ho letto........l'ho applicato prima!!
GRAZIE TANTE!!!!
bius, che significa "porre $k=2$"? Semplice: quel simbolo $k$, che ti sei portato appresso per 6 pagine di discussione, adesso diventa un 2. All'inizio tu hai già calcolato la matrice ridotta a gradini nel caso $k=2$ (è in una delle prime pagine). Ti conviene quindi riprendere quella matrice e scrivere il sistema lineare associato. Poi ti devi chiedere: quante soluzioni mi aspetto? Se sono più di una, saranno una cosa tipo $infty^(p)$: che significa questa scrittura?
$\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
per $k=2$
$\bar{A}=((2,2,1,1),(0,-6,-3,-3),(0,0,0,0))$
$\{(2x + 2y + z = 1),(-6y -3 z = -3):}$ $\Rightarrow$ $\{(2x + 2y + z = 1),((y=-3z+3)/6):}$
abbiamo $oo$ soluzioni che dipendono da $z$
per $k=8$
$\bar{A}=((2,8,1,1),(0,0,-15,-3),(0,0,6,0))$ ......la continuiamo a ridurre..... ridotta:$\bar{A}=((1,4,1/2,1/2),(0,0,1,1/5),(0,0,0,1))$
$\{(x + 4y + 1/2z = 1/2),(z = 1/5):}$ alla matrice alla III riga c'è 1........devo scrivere t=0???? ma nella IV colonna non sono solo coefficienti???
aiuto!!! grazie..........
per $k=2$
$\bar{A}=((2,2,1,1),(0,-6,-3,-3),(0,0,0,0))$
$\{(2x + 2y + z = 1),(-6y -3 z = -3):}$ $\Rightarrow$ $\{(2x + 2y + z = 1),((y=-3z+3)/6):}$
abbiamo $oo$ soluzioni che dipendono da $z$
per $k=8$
$\bar{A}=((2,8,1,1),(0,0,-15,-3),(0,0,6,0))$ ......la continuiamo a ridurre..... ridotta:$\bar{A}=((1,4,1/2,1/2),(0,0,1,1/5),(0,0,0,1))$
$\{(x + 4y + 1/2z = 1/2),(z = 1/5):}$ alla matrice alla III riga c'è 1........devo scrivere t=0???? ma nella IV colonna non sono solo coefficienti???
aiuto!!! grazie..........
Guarda secondo me ti ammazzi a cercare di portare tutti i termini sotto la diagonale principale a zero!
Guarda per k = 8
tu hai la tua bella matrice
$\((2, 8, 1, 1), (0, 0 ,-15, -3), (0, 0, 6, 0))$
associ quei valori a dei coefficienti $\((x), (y), (z), (w))$
quindi ti diventa un semplice sistema
$\{(2x + 8y + z + w = 0), (-15z - 3w = 0), (6z = 0):}$
be ma allora qui è fatta $\6z = 0$, se quindi $\z = 0$ allora la seconda riga diventa $\-3w = 0$! Ma allora possiamo eliminare dalla prima riga sia $\w$ che $\z$!
quindi il mio sistema si semplifica a
$\{(2x + 8y = 0), (w = 0), (z = 0):}$
e quindi una possibile soluzione potrebbe essere $\((-4), (1), (0), (0))$
Scusate ragazzi ho letto solo l'ultimo post non avevo visto che era a tre incognite
nel caso prendiamo $\k = 8$ il sistema è impossibile
Guarda per k = 8
tu hai la tua bella matrice
$\((2, 8, 1, 1), (0, 0 ,-15, -3), (0, 0, 6, 0))$
associ quei valori a dei coefficienti $\((x), (y), (z), (w))$
quindi ti diventa un semplice sistema
$\{(2x + 8y + z + w = 0), (-15z - 3w = 0), (6z = 0):}$
be ma allora qui è fatta $\6z = 0$, se quindi $\z = 0$ allora la seconda riga diventa $\-3w = 0$! Ma allora possiamo eliminare dalla prima riga sia $\w$ che $\z$!
quindi il mio sistema si semplifica a
$\{(2x + 8y = 0), (w = 0), (z = 0):}$
e quindi una possibile soluzione potrebbe essere $\((-4), (1), (0), (0))$
Scusate ragazzi ho letto solo l'ultimo post non avevo visto che era a tre incognite
nel caso prendiamo $\k = 8$ il sistema è impossibile
Dai bius che ce l'hai quasi fatta!!! Il caso $k=2$ l'hai risolto. Rimane il caso $k=8$. Guarda bene la matrice orlata $\bar{A}$, specialmente guarda molto bene l'ultima riga... Prova a tradurla in un'equazione.
P.S.: Ovviamente mi riferisco alla matrice orlata dopo aver ridotto a gradini. Per intenderci $\bar{A}=((1,4,1/2, 1/2),(0,0,1,1/5),(0,0,0,1))$
P.S.: Ovviamente mi riferisco alla matrice orlata dopo aver ridotto a gradini. Per intenderci $\bar{A}=((1,4,1/2, 1/2),(0,0,1,1/5),(0,0,0,1))$
l'equazione è $0=1$ il che è impossibile!!!
......dunque il sistema è incompatibile!!!!!!!!!!!!!!!!
......dunque il sistema è incompatibile!!!!!!!!!!!!!!!!
ora l'esercizio è finito????
Aleeeeèèè!!! Finalmente ci sei riuscito!!! Ma stai preparando un esame?
finalmente è concluso........... speriamo nn ci siano errori!!!
cmq si sto preparando un esame.....algebra lineare e geometria........gli esercizi dove vado peggio erano questo (che facevo in modo diverso ... e sagliato) e quello sulla geometria...........e mi sa che aprirò un altro topic (riguarda le rette e i piani nello spazio tridimensionale..)
cmq ti ringrazio dissonance...............anzi..........prof. dissonance!!!!!
cmq si sto preparando un esame.....algebra lineare e geometria........gli esercizi dove vado peggio erano questo (che facevo in modo diverso ... e sagliato) e quello sulla geometria...........e mi sa che aprirò un altro topic (riguarda le rette e i piani nello spazio tridimensionale..)
cmq ti ringrazio dissonance...............anzi..........prof. dissonance!!!!!
Se ci sono errori, tuttalpiù sarà qualche conto. Il procedimento è giusto, almeno, per me lo è. In bocca al lupo!
siii... buonanotte!!
prof. dissonance
siii... buonanotte!!
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