Risolvere il sistema parametrico al variare di k.

[bius88]

salve a tutti......come si evince dalla traccia devo risolvere e discutere questo sistema...........la discussione credo di averla fatta, ma la risoluzione no.....potete darmi una mano? grazie

$\{(x+4y+2z=2),(x+4y+kz=2),(2x +ky+z = 1):}$


$A= ((1,4,2),(1,4,k),(2,k,1))$ dopo la riduzione a scala $A= ((2,k,1),(0,-8+k,-2k+1),(0,0,k-2))$

$\bar{A}=((1,4,2,2),(1,4,k,2),(2,k,1,1))$ dopo la riduzione $\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$

$A$: per k=2 rango=2
per k $!=$2 rango 3

$\bar{A}$= per k=2 rango=2
per K $!=$2 rango 3

Discussione:

se $k=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=2$ il sistema ha $oo^(3-2)$=$oo$ soluzioni

se $k!=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=3$ il sistema ha $oo^(3-3)$=$oo^0$ soluzioni= 1 soluzione

la discussione è giusta? come si risolve............grazie a tutti!!!

[dissonance]

Ti faccio notare una cosa. Hai dimostrato due volte che il sistema è incompatibile per $k=8$. Lo fai prima verso la metà dello svolgimento, dopo aver applicato il teorema di Rouché-Capelli. Allora che bisogno c'è di ridimostrarlo alla fine (mi riferisco al punto in cui dici: 0=1 è impossibile $=>$ il sistema è incompatibile)? Se Rouché-Capelli ti dice che il sistema è incompatibile, allora per forza alla fine ti deve uscire qualcosa di impossibile. Altrimenti significa che hai sbagliato qualcosa. Mi segui?

Occhio perché un professore (specialmente se studi matematica) queste cose le vede subito e pensa immediatamente: "questo qua ha non ha capito che cos'è il teorema di Rouché-Capelli" che è una cosa abbastanza grave se si parla di equazioni lineari.

Tuttalpiù puoi dire, alla fine: "facendo i conti blablabla ci esce $0=1$, come ci aspettavamo dato che abbiamo già dimostrato l'incompatibilità del sistema".