Risolvere il sistema parametrico al variare di k.
salve a tutti......come si evince dalla traccia devo risolvere e discutere questo sistema...........la discussione credo di averla fatta, ma la risoluzione no.....potete darmi una mano? grazie
$\{(x+4y+2z=2),(x+4y+kz=2),(2x +ky+z = 1):}$
$A= ((1,4,2),(1,4,k),(2,k,1))$ dopo la riduzione a scala $A= ((2,k,1),(0,-8+k,-2k+1),(0,0,k-2))$
$\bar{A}=((1,4,2,2),(1,4,k,2),(2,k,1,1))$ dopo la riduzione $\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
$A$: per k=2 rango=2
per k $!=$2 rango 3
$\bar{A}$= per k=2 rango=2
per K $!=$2 rango 3
Discussione:
se $k=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=2$ il sistema ha $oo^(3-2)$=$oo$ soluzioni
se $k!=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=3$ il sistema ha $oo^(3-3)$=$oo^0$ soluzioni= 1 soluzione
la discussione è giusta? come si risolve............grazie a tutti!!!
$\{(x+4y+2z=2),(x+4y+kz=2),(2x +ky+z = 1):}$
$A= ((1,4,2),(1,4,k),(2,k,1))$ dopo la riduzione a scala $A= ((2,k,1),(0,-8+k,-2k+1),(0,0,k-2))$
$\bar{A}=((1,4,2,2),(1,4,k,2),(2,k,1,1))$ dopo la riduzione $\bar{A}=((2,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
$A$: per k=2 rango=2
per k $!=$2 rango 3
$\bar{A}$= per k=2 rango=2
per K $!=$2 rango 3
Discussione:
se $k=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=2$ il sistema ha $oo^(3-2)$=$oo$ soluzioni
se $k!=2$
rango $A$= rango$\bar{A}=3$ il sistema ha $oo^(3-3)$=$oo^0$ soluzioni= 1 soluzione
la discussione è giusta? come si risolve............grazie a tutti!!!
Risposte
Dato che $A$ è quadrata calcolo il determinante (regola di Laplace sulla prima colonna):
$det[(1,4,2),(1,4,k),(2,k,1)] = 4-k^2 -(4-2k) +2(4k-8)= -k^2 +2k+8k-16 = - (k^2 -10k +16) = - (k-8)(k-2)$
Quindi se $k \ne 8 $ e $k \ne 2$ rank(A)=rank($\bar{A}$) =3= numero incognite -> sistema determinato
se $k=2$ ...
se $k=8$...
Per le soluzioni le trovi con Cramer ecco qui.
Paola
$det[(1,4,2),(1,4,k),(2,k,1)] = 4-k^2 -(4-2k) +2(4k-8)= -k^2 +2k+8k-16 = - (k^2 -10k +16) = - (k-8)(k-2)$
Quindi se $k \ne 8 $ e $k \ne 2$ rank(A)=rank($\bar{A}$) =3= numero incognite -> sistema determinato
se $k=2$ ...
se $k=8$...
Per le soluzioni le trovi con Cramer ecco qui.
Paola
ma seguendo la mia impostazione (riducendo a gradini) che cosa manca........perchè devo guardare anche se $K!=8$???
Col tuo metodo hai perso dei casi per strada, come vedi.
Prima di ridurre a gradini, se noti che A o che $\bar{A}$ è quadrata, fanne subito il determinante e lo poni =0, così già vedi in quali casi il rango è massimale.
Oppure, prendiamo la tua matrice ridotta a gradini... non basta mica vedere che per $k=2$ viene una riga nulla!
Il determinante è 0 anche se, ad esempio, una riga è combinazione lineare delle altre.. e questo non sempre si vede ad occhio!
Se ora vai a calcolarti il determinante della tua matrice ridotta a gradini, vedrai che ti verrà un polinomio di 2° grado, che ha come soluzioni per l'appunto 2 e 8.
Più chiaro? Vuoi che ti faccia un altro esempio?
Fammi sapere, bye!
Paola
Prima di ridurre a gradini, se noti che A o che $\bar{A}$ è quadrata, fanne subito il determinante e lo poni =0, così già vedi in quali casi il rango è massimale.
Oppure, prendiamo la tua matrice ridotta a gradini... non basta mica vedere che per $k=2$ viene una riga nulla!
Il determinante è 0 anche se, ad esempio, una riga è combinazione lineare delle altre.. e questo non sempre si vede ad occhio!
Se ora vai a calcolarti il determinante della tua matrice ridotta a gradini, vedrai che ti verrà un polinomio di 2° grado, che ha come soluzioni per l'appunto 2 e 8.
Più chiaro? Vuoi che ti faccia un altro esempio?
Fammi sapere, bye!
Paola
si per piacere fammi un altro esempio grazie!!!!
Guarda, ti faccio un esempio numerico, senza parametro.
Secondo il tuo ragionamento questa matrice ha rango 3:
$[(1,2,5),(0,4,3),(1,6,8)]$
dato che non c'è nessuna riga nulla.
Invece se fai il determinante viene 0 (infatti la terza riga è la somma della prima e della seconda).
Altro esempio, con un parametro:
$[(1,5,a),(-1,-5,a),(0,0,2a)]$
secondo il tuo ragionamento la matrice ha rango 3 se e solo se $a \ne 0$ (se $a=0$ l'ultima riga sarebbe nulla). Invece ti dico che il rango della matrice è sempre strettamente minore di 3. Vedi che di nuovo la terza riga è la somma delle due precedenti? Quindi non dipende nemmeno da $a$ la cosa!
Se provi a fare il determinante otterrai conferma.
In generale il procedimento corretto non è andare ad occhio come hai fatto tu... ma calcolarsi il determinante come ho fatto io, altrimenti si rischia di perdere delle soluzioni per strada.
Se ancora non ti è chiaro ti consiglio di fare altri esercizi e se hai difficoltà posta qui, così ti mostro il procedimento tipo passo a passo.
Paola
Secondo il tuo ragionamento questa matrice ha rango 3:
$[(1,2,5),(0,4,3),(1,6,8)]$
dato che non c'è nessuna riga nulla.
Invece se fai il determinante viene 0 (infatti la terza riga è la somma della prima e della seconda).
Altro esempio, con un parametro:
$[(1,5,a),(-1,-5,a),(0,0,2a)]$
secondo il tuo ragionamento la matrice ha rango 3 se e solo se $a \ne 0$ (se $a=0$ l'ultima riga sarebbe nulla). Invece ti dico che il rango della matrice è sempre strettamente minore di 3. Vedi che di nuovo la terza riga è la somma delle due precedenti? Quindi non dipende nemmeno da $a$ la cosa!
Se provi a fare il determinante otterrai conferma.
In generale il procedimento corretto non è andare ad occhio come hai fatto tu... ma calcolarsi il determinante come ho fatto io, altrimenti si rischia di perdere delle soluzioni per strada.
Se ancora non ti è chiaro ti consiglio di fare altri esercizi e se hai difficoltà posta qui, così ti mostro il procedimento tipo passo a passo.
Paola
Grazie mille...Sei stata gentilissima...
Però secondo me non è sbagliato usare la riduzione a gradini come ha fatto bius88. Mi pare che si chiami metodo dei pivot per calcolare il rango. Funziona così: una volta ridotta la matrice in forma a gradini, si studiano i pivot (ovvero gli elementi di testa di ogni riga): il numero di pivot non nulli è il rango. Nel tuo caso, $A$ ridotta in forma a gradini(*) è:
$((2,k,1),(0,k-8,1-2k),(0,0,k-2))$. I pivot sono $2, k-8, k-2$. Se $k!=2,8$ $A$ ha rango 3. Se $k=2$ oppure $k=8$ $A$ ha rango 2.
Questo perché per $k=8$ la matrice diventa $((2,8,1),(0,0,-15),(0,0,6))$ che non è ridotta a gradini. Puoi fare un altro passo e annullare la terza riga. Invece per $k=2$ la terza riga è nulla e vabbé.
[edit] non sono stato molto chiaro! Al punto (*) A è ridotta a gradini solo se $k!=8$. Altrimenti si può fare un'altra operazione sulle righe per annullare la riga $(0,0,8-2)$. Comunque se non mi sono spiegato chiedi pure.
$((2,k,1),(0,k-8,1-2k),(0,0,k-2))$. I pivot sono $2, k-8, k-2$. Se $k!=2,8$ $A$ ha rango 3. Se $k=2$ oppure $k=8$ $A$ ha rango 2.
Questo perché per $k=8$ la matrice diventa $((2,8,1),(0,0,-15),(0,0,6))$ che non è ridotta a gradini. Puoi fare un altro passo e annullare la terza riga. Invece per $k=2$ la terza riga è nulla e vabbé.
[edit] non sono stato molto chiaro! Al punto (*) A è ridotta a gradini solo se $k!=8$. Altrimenti si può fare un'altra operazione sulle righe per annullare la riga $(0,0,8-2)$. Comunque se non mi sono spiegato chiedi pure.
Non ho mai usato questo metodo del pivot che dici tu (io riducevo a gradini solo per risolvere il sistema).
Non dico che sia sbagliato, ma secondo me si perde più tempo a ridurre, quando con il rango te la cavi in un attimo!
Paola
Non dico che sia sbagliato, ma secondo me si perde più tempo a ridurre, quando con il rango te la cavi in un attimo!
Paola
Sicuramente a mano è meglio usare il determinante...per matrici piccole però. Quando le matrici diventano più grandi il determinante diventa impraticabile. Pure Maple (che è un sistema di calcolo simbolico) per il calcolo del rango di matrici non in floating-point (quindi non approssimate numericamente) usa esattamente questo algoritmo.
Ed in effetti se ci pensi richiede meno operazioni. Per ridurre una matrice quadrata in forma a gradini servono, mi pare, qualcosa come $n^3$ operazioni, per il determinante ne servono $n*n!$. Quindi per $n$ fino a 3 conviene usare il determinante, dopodiché l'altro metodo è mooolto più veloce.
Ed in effetti se ci pensi richiede meno operazioni. Per ridurre una matrice quadrata in forma a gradini servono, mi pare, qualcosa come $n^3$ operazioni, per il determinante ne servono $n*n!$. Quindi per $n$ fino a 3 conviene usare il determinante, dopodiché l'altro metodo è mooolto più veloce.
scusa dissonance.......quindi dopo la riduzione a gradini devo vedere gli elementi che ho sulla diagonale?
Se vuoi usare il metodo dei pivot si.
ringrazio tantissimo quelli che hanno risposto!!!!!!!!!!! ora finisco l'esercizio e credo che stasera possa già postarlo.............speriamo che lo faccia bene!
purtroppo mi sono già bloccato alla discussione............
in pratica il metodo di prime_number l'ho capito ma io vorrei farla con la riduzione a gradini perchè con matrici complesse è più conveniente....il problema è che con questo nn so quanto sia il rango..........devo vedere solo la diagonale????
purtroppo mi sono già bloccato alla discussione............
in pratica il metodo di prime_number l'ho capito ma io vorrei farla con la riduzione a gradini perchè con matrici complesse è più conveniente....il problema è che con questo nn so quanto sia il rango..........devo vedere solo la diagonale????
cioè se la matrice ridotta fosse :
$\bar{A}=((k-3,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
per $k!=3$, $k!=8$ e $k!=2 $ il rango è 3??
per $K=3$ il rango è 2
per $K=8$ il rango è 2
per $K=2$ il rango è 2
il rango è, nella matrice ridotta, il numero di pivot (i numeri sulla diagonale) non nulli.........ho fatto bene sopra???
grazie
$\bar{A}=((k-3,k,1,1),(0,-8+k,-2k+1,-3),(0,0,k-2,0))$
per $k!=3$, $k!=8$ e $k!=2 $ il rango è 3??
per $K=3$ il rango è 2
per $K=8$ il rango è 2
per $K=2$ il rango è 2
il rango è, nella matrice ridotta, il numero di pivot (i numeri sulla diagonale) non nulli.........ho fatto bene sopra???
grazie
Stavo cercando di scriverti per bene l'enunciato del teorema, ma purtroppo mi imbroglio nello scrivere le matrici 
... Guarda qui a pagina 87, paragrafo 2.2.
... Guarda qui a pagina 87, paragrafo 2.2.
Per quanto riguarda il tuo esercizio:
Siamo d'accordissimo sul fatto che per $k!=3, 8, 2$ il rango è massimo. Perché in quel caso hai tre pivot non nulli.
Siamo altrettanto d'accordo sul fatto che per $k=2$ il rango è 2. Infatti in quel caso la matrice diventa $((-1, 2, 1, 1), (0, -6, -3, -3), (0,0,0,0))$, che è in forma a gradini, e ha 2 pivot non nulli.
Non siamo tanto d'accordo sugli altri casi.
Prendiamo $k=8$. La matrice diventa $((5,8,1,1), (0,0,-15, -3), (0,0,6,0))$ che non è in forma a scalini, lo diventa se sommiamo alla terza riga la seconda moltiplicata per $6/15$:
$((5,8,1,1), (0,0,-15, -3), (0,0,0,-18/15))$, che è in forma a scalini e come vedi ha tre pivot non nulli. Quindi il rango è 3.
Lo stesso nel caso $k=3$.
E' chiaro come si procede?
Siamo d'accordissimo sul fatto che per $k!=3, 8, 2$ il rango è massimo. Perché in quel caso hai tre pivot non nulli.
Siamo altrettanto d'accordo sul fatto che per $k=2$ il rango è 2. Infatti in quel caso la matrice diventa $((-1, 2, 1, 1), (0, -6, -3, -3), (0,0,0,0))$, che è in forma a gradini, e ha 2 pivot non nulli.
Non siamo tanto d'accordo sugli altri casi.
Prendiamo $k=8$. La matrice diventa $((5,8,1,1), (0,0,-15, -3), (0,0,6,0))$ che non è in forma a scalini, lo diventa se sommiamo alla terza riga la seconda moltiplicata per $6/15$:
$((5,8,1,1), (0,0,-15, -3), (0,0,0,-18/15))$, che è in forma a scalini e come vedi ha tre pivot non nulli. Quindi il rango è 3.
Lo stesso nel caso $k=3$.
E' chiaro come si procede?
perchè ha 3 pivot non nulli? solo uno non è nullo perchè c'è il 5!!!
e perchè qella matrice nn è ridotta a scalini?? sotto la diagonale ci sono tutti 0!!
No, leggi bene la definizione di matrice ridotta a scalini e di pivot. (Vedilo quel pdf, in mezza pagina spiega tutto molto bene).
In effetti non ha senso dire "pivot non nullo", i pivot sono le entrate di testa delle righe non nulle. Quindi se un pivot c'è, non è nullo.
Quindi i pivot dell'ultima matrice sono $5, -15, -18/15$.
In effetti non ha senso dire "pivot non nullo", i pivot sono le entrate di testa delle righe non nulle. Quindi se un pivot c'è, non è nullo.
Quindi i pivot dell'ultima matrice sono $5, -15, -18/15$.
2.2. Definizione (Matrici a scalini (per riga)). Una matrice $A = (a_{i,j})\in M_{m,n}(K)$ si
dice in forma a scalini (per righe) se gode della seguente proprietà: per ogni riga, se $a_{r,j_r}$ è il primo
elemento non nullo della riga, allora $a_{i,j} = 0$ ogni volta che $i >= r$ e $j \leq j_r$, a parte $i = r$ e $j = j_r$
(significa che tutti i termini “a sinistra e in basso” rispetto ad $a_{r,j_r}$ sono nulli, o ancora che $a_{r,j_r}$ è
l’unico elemento non nullo della sottomatrice di A che si ottiene cancellando le righe soprastanti e
le colonne a destra) . I primi termini non nulli di ciascuna riga si dicono allora i pivot o i termini
direttori della matrice. La matrice si dice in forma speciale a scalini (per righe) se è in forma speciale
e tutti i pivot sono uguali ad 1.
Tratto dal pdf di cui sopra alla famosa pagina 87.
non ho capito.......fammi un esempio:
perchè la matrice $\bar{A}=((5,8,1,1),(0,0,-15,-3),(0,0,6,0))$ nn è ridotta a scala?
e se continuo a ridurla come dici tu $\bar{A}=((5,8,1,1),(0,0,-15,-3),(0,0,0,-18/15))$ il pivot nn nullo è 1!!??
perchè la matrice $\bar{A}=((5,8,1,1),(0,0,-15,-3),(0,0,6,0))$ nn è ridotta a scala?
e se continuo a ridurla come dici tu $\bar{A}=((5,8,1,1),(0,0,-15,-3),(0,0,0,-18/15))$ il pivot nn nullo è 1!!??
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