Risoluzione di un sistema di eqauzioni lineari
Salve ho provato a risolvere questo sistema in due modi. Solo che escono due risultati diversi.
Riuscite ad aiutarmi?
kx + 2y + 2kz = 1
kx + (3 - k)y + 3kz = 1
kx + (k + 1)y + 2kz = 2
Nel trovarmi il determinante ho provato con Gauss-Jordan e Laplace, ma escono due risultati diversi!
Riuscite ad aiutarmi?
kx + 2y + 2kz = 1
kx + (3 - k)y + 3kz = 1
kx + (k + 1)y + 2kz = 2
Nel trovarmi il determinante ho provato con Gauss-Jordan e Laplace, ma escono due risultati diversi!
Risposte
"misanino":
[quote="max_power"]
E' un pò più chiaro ma qualcosa non mi torna.
Inizialmente calcolo il determinante della matrice incompleta con Laplace, Sarrus o quello che vogliamo. Nel nostro caso il determinante è (se ho fatto bene i calcoli) -k^3 + k^2.
E' diverso da 0, quindi ha rango 3 ed il sistema ammette 1 soluzione, che posso trovare con il teorema di Cramer.
A questo punto devo dire quando il sistema ammette soluzioni e posso farlo con Gauss-Jordan. Quindi nel nostro caso ammette soluzioni per k diverso da 0 ?
No. Scusa, mi sono espresso male prima io.
Per trovare le soluzioni di un sistema devi usare Gauss-Jordan.
Per dire invece se un sistema ammette soluzioni o no devi calcolare il rango della matrice completa e di quella incompleta del sistema e vedere se tale rango coincide.
E il primo passo per stabilire il rango è calcolare il determinante della matrice incompleta perchè se esso è diverso da 0 allora il rango è massimo e quindi è massimo anche il rango di quella completa e quindi il sistema ammette un'unica soluzione.
Se invece k è tale che il determinante viene 0, allora devi calcolare il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa e:
se sono uguali il sistema ha infinite soluzioni
se sono diversi il sistema non ha soluzioni.[/quote]
Ma per trovare le soluzioni non si usa Cramer?
Comunque prendendo il nostro caso potresti dirmi quali sono le soluzioni del sistema usando il metodo di Gauss così magari chiariamo meglio...
Cramer lo usi solo se hai un sistema quadrato, ma non in generale. Capito?
Ti guido ora passo passo alla soluzione dell'esercizio.
In questo caso hai calcolato il determinante della matrice incompleta ed è $-k^3+k^2$
Perciò quando tale determinante è diverso da 0 e quando vale 0?
Ti guido ora passo passo alla soluzione dell'esercizio.
In questo caso hai calcolato il determinante della matrice incompleta ed è $-k^3+k^2$
Perciò quando tale determinante è diverso da 0 e quando vale 0?
"misanino":
Cramer lo usi solo se hai un sistema quadrato, ma non in generale. Capito?
Ti guido ora passo passo alla soluzione dell'esercizio.
In questo caso hai calcolato il determinante della matrice incompleta ed è $-k^3+k^2$
Perciò quando tale determinante è diverso da 0 e quando vale 0?
Quando è diverso da zero ammette 1 soluzione... Perchè il rango è 3?
Quindi in questo caso è diverso da 0
Non è che in questo caso è diverso da 0 e basta.
Infatti $-k^3+k^2=k^2(-k+1)$ e quindi se $k=0$ o se $k=1$ è uguale a 0!!
Certo però possiamo dire che se $k!=0,1$ allora il sistema ammette un'unica soluzione.
Il problema è ora analizzare cosa succede se $k=0$ oppure se $k=1$
D'accordo?
Infatti $-k^3+k^2=k^2(-k+1)$ e quindi se $k=0$ o se $k=1$ è uguale a 0!!
Certo però possiamo dire che se $k!=0,1$ allora il sistema ammette un'unica soluzione.
Il problema è ora analizzare cosa succede se $k=0$ oppure se $k=1$
D'accordo?
"misanino":
Non è che in questo caso è diverso da 0 e basta.
Infatti $-k^3+k^2=k^2(-k+1)$ e quindi se $k=0$ o se $k=1$ è uguale a 0!!
Certo però possiamo dire che se $k!=0,1$ allora il sistema ammette un'unica soluzione.
Il problema è ora analizzare cosa succede se $k=0$ oppure se $k=1$
D'accordo?
Aaaaaaaaah scusami non avevo capito cosa intendevi. Si ci sono... sono d'accordo
Bene.
Cominciamo a considerare il caso k=0.
Riscrivi qui la matrice incompleta e, separatamente, la matrice completa mettendo 0 al posto di k
Cominciamo a considerare il caso k=0.
Riscrivi qui la matrice incompleta e, separatamente, la matrice completa mettendo 0 al posto di k
"misanino":
Bene.
Cominciamo a considerare il caso k=0.
Riscrivi qui la matrice incompleta e, separatamente, la matrice completa mettendo 0 al posto di k
Incompleta:
k 2 2k
k 3-k 3k
k k+1 2k
Completa con k=0
0 2 0 | 1
0 3 0 | 1
0 1 0 | 2
0 al posto di k anche in quella incompleta e togli le sbarrette da quella completa, grazie
"misanino":
0 al posto di k anche in quella incompleta e togli le sbarrette da quella completa, grazie
0 2 0
0 3 0
0 1 0
0 al posto di K a quella incompleta
Ora devo andar via.
Stasera verso le 19.15 ti posto il resto della spiegazione di come si fa l'esercizio
Stasera verso le 19.15 ti posto il resto della spiegazione di come si fa l'esercizio
"misanino":
Ora devo andar via.
Stasera verso le 19.15 ti posto il resto della spiegazione di come si fa l'esercizio
Ok grazie mille. Ci conto a dopo
Considero il caso $k=0$.
La matrice incompleta è $((0,2,0),(0,3,0),(0,1,0))$.
So che il determinante è nullo e quindi non può avere rango 3.
Dobbiamo vedere se ha rango 2, cioè se esiste una sottomatrice 2x2 con determinante diverso da 0.
Tuttavia tale matrice ha 2 colonne nulle e quindi qualunque sottomatrice 2x2 avrà una colonna nulla e quindi determinante 0.
Perciò la matrice incompleta non ha rango 2.
Tuttavia esiste almeno un elemento non nullo (ne esistono addirittura 3) e quindi la matrice ha rango 1.
Guardo ora la matrice completa che è:
$((0,2,0,1),(0,3,0,1),(0,1,0,2))$
Devo vedere se ha rango 3 cioè se esiste una matrice 3x3 con determinante non nullo.
Esistono però 2 colonne nulle, quindi una qualunque matrice 3x3 avrà una colonna nulla e quindi determinante nullo.
Perciò il rango è minore di 3.
Ora se considero la sottomatrice 2x2 data da $((2,1),(3,1))$ ho che essa ha determinante $2-3=-1!=0$
Quindi la matrice completa ha rango 2.
Allora la matrice incompleta ha rango 1; quella completa ha rango 2
e quindi il sistema non ha soluzioni per $k=0$.
Prova ora tu a fare il caso $k=1$
La matrice incompleta è $((0,2,0),(0,3,0),(0,1,0))$.
So che il determinante è nullo e quindi non può avere rango 3.
Dobbiamo vedere se ha rango 2, cioè se esiste una sottomatrice 2x2 con determinante diverso da 0.
Tuttavia tale matrice ha 2 colonne nulle e quindi qualunque sottomatrice 2x2 avrà una colonna nulla e quindi determinante 0.
Perciò la matrice incompleta non ha rango 2.
Tuttavia esiste almeno un elemento non nullo (ne esistono addirittura 3) e quindi la matrice ha rango 1.
Guardo ora la matrice completa che è:
$((0,2,0,1),(0,3,0,1),(0,1,0,2))$
Devo vedere se ha rango 3 cioè se esiste una matrice 3x3 con determinante non nullo.
Esistono però 2 colonne nulle, quindi una qualunque matrice 3x3 avrà una colonna nulla e quindi determinante nullo.
Perciò il rango è minore di 3.
Ora se considero la sottomatrice 2x2 data da $((2,1),(3,1))$ ho che essa ha determinante $2-3=-1!=0$
Quindi la matrice completa ha rango 2.
Allora la matrice incompleta ha rango 1; quella completa ha rango 2
e quindi il sistema non ha soluzioni per $k=0$.
Prova ora tu a fare il caso $k=1$
"misanino":
Considero il caso $k=0$.
La matrice incompleta è $((0,2,0),(0,3,0),(0,1,0))$.
So che il determinante è nullo e quindi non può avere rango 3.
Dobbiamo vedere se ha rango 2, cioè se esiste una sottomatrice 2x2 con determinante diverso da 0.
Tuttavia tale matrice ha 2 colonne nulle e quindi qualunque sottomatrice 2x2 avrà una colonna nulla e quindi determinante 0.
Perciò la matrice incompleta non ha rango 2.
Tuttavia esiste almeno un elemento non nullo (ne esistono addirittura 3) e quindi la matrice ha rango 1.
Guardo ora la matrice completa che è:
$((0,2,0,1),(0,3,0,1),(0,1,0,2))$
Devo vedere se ha rango 3 cioè se esiste una matrice 3x3 con determinante non nullo.
Esistono però 2 colonne nulle, quindi una qualunque matrice 3x3 avrà una colonna nulla e quindi determinante nullo.
Perciò il rango è minore di 3.
Ora se considero la sottomatrice 2x2 data da $((2,1),(3,1))$ ho che essa ha determinante $2-3=-1!=0$
Quindi la matrice completa ha rango 2.
Allora la matrice incompleta ha rango 1; quella completa ha rango 2
e quindi il sistema non ha soluzioni per $k=0$.
Prova ora tu a fare il caso $k=1$
per k = 1 la matrice incompleta diventa:
1 2 2
1 2 3
1 2 2
Il cui determinante è nullo. Quindi il rango non è 3.
La sottomatrice:
2 3
2 2
Ha determinante diverso da 0, quindi il rango è 2
Prendo una matrice 3x3 della matrice completa:
1 1 2
1 1 3
1 2 2
Ha il determinante diverso da 0. Quindi ha rango 3
Per K=1 il sistema non ha soluzioni perchè il rango della matrice incompleta è 2, quello della completa è 3
"max_power":
Prendo una matrice 3x3 della matrice completa:
1 1 2
1 1 3
2 2 2
Da dove hai preso questa matrice?
"misanino":
[quote="max_power"]
Prendo una matrice 3x3 della matrice completa:
1 1 2
1 1 3
2 2 2
Da dove hai preso questa matrice?[/quote]
La matrice completa con k = 1 è:
1 2 2 1
1 2 3 1
1 2 2 2
Una sua sottomatrice è:
1 1 2
1 1 3
1 2 2
Che è diversa da quella che hai scritto prima!
"misanino":
Che è diversa da quella che hai scritto prima!
si...
è stata una giornata stressante... a sto punto abbiamo finito?
Sì.
Abbiamo finito.
Bene
Abbiamo finito.
Bene
"misanino":
Sì.
Abbiamo finito.
Bene
In tutto ciò non abbiamo usato Gauss Jordan però...
No.
Lo puoi usare per trovare le soluzioni (e non soltanto determinare se ce ne sono)
Perchè una volta che fai la riduzione a gradini, allora poi è facile ricavare le soluzioni
Lo puoi usare per trovare le soluzioni (e non soltanto determinare se ce ne sono)
Perchè una volta che fai la riduzione a gradini, allora poi è facile ricavare le soluzioni
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