Risoluzione di un sistema di eqauzioni lineari
Salve ho provato a risolvere questo sistema in due modi. Solo che escono due risultati diversi.
Riuscite ad aiutarmi?
kx + 2y + 2kz = 1
kx + (3 - k)y + 3kz = 1
kx + (k + 1)y + 2kz = 2
Nel trovarmi il determinante ho provato con Gauss-Jordan e Laplace, ma escono due risultati diversi!
Riuscite ad aiutarmi?
kx + 2y + 2kz = 1
kx + (3 - k)y + 3kz = 1
kx + (k + 1)y + 2kz = 2
Nel trovarmi il determinante ho provato con Gauss-Jordan e Laplace, ma escono due risultati diversi!
Risposte
Spiega cosa hai fatto e che risultati ti escono, così ti aiutiamo
Con il metodo di Gauss- Jordan (risoluzione a gradini) faccio questi calcoli:
k 2 2k | 1
k 3-k 3k | 1
k k+1 2k | 2
k 2 2k | 1
k 3-k 3k | 1
0 k-1 0 | 1
k 2 2k | 1
0 -k+1 k | 0
0 k-1 0 | 0
k 2 2k | 1
0 1-k k | 0
0 0 k | 0
Quindi ha una soluzione se k diverso da 0
Con Laplace viene un equazione di 3° grado
k 2 2k | 1
k 3-k 3k | 1
k k+1 2k | 2
k 2 2k | 1
k 3-k 3k | 1
0 k-1 0 | 1
k 2 2k | 1
0 -k+1 k | 0
0 k-1 0 | 0
k 2 2k | 1
0 1-k k | 0
0 0 k | 0
Quindi ha una soluzione se k diverso da 0
Con Laplace viene un equazione di 3° grado
"max_power":
Quindi ha una soluzione se k diverso da 0
Con Laplace viene un equazione di 3° grado
Bene.
Hai fatto tutto giusto per quanto riguarda il metodo di gauss jordan.
Ora se vuoi metti anche ciò che hai fatto con laplace
"misanino":
[quote="max_power"]
Quindi ha una soluzione se k diverso da 0
Con Laplace viene un equazione di 3° grado
Bene.
Hai fatto tutto giusto per quanto riguarda il metodo di gauss jordan.
Ora se vuoi metti anche ciò che hai fatto con laplace[/quote]
(k) 3-k 3k
k+1 2k = - 5k^2 + 3k
-(2) k 3k
k 2k = - k^2
(2k) k 3-k
k k+1 = 2k^2 - 2k
-5k^3 + 3k^2 + 2k^2 + 4k^3 - 4k ^2 = 0
-k^3 + k^2
Bene.
E qual'è il problema?
E qual'è il problema?
"misanino":
Bene.
E qual'è il problema?
che son venuti due risultati diversi
Ma tu hai calcolato 2 determinanti diversi.
Quello della matrice a gradini (con Gauss-Jordan)
e quello della matrice di partenza (con Laplace)
Quello della matrice a gradini (con Gauss-Jordan)
e quello della matrice di partenza (con Laplace)
"misanino":
Ma tu hai calcolato 2 determinanti diversi.
Quello della matrice a gradini (con Gauss-Jordan)
e quello della matrice di partenza (con Laplace)
ma quindi le soluzioni del sistema?
Scusa con Gauss Jordan non mi son calcolato il determinante della matrice incompleta del sistema?
E con laplace non ho fatto lo stesso?
Scrivi qui quanto ti è uscito il determinante della matrice incompleta del sistema con Gauss-Jordan.
Così poi ti spiego
Così poi ti spiego
"misanino":
Scrivi qui quanto ti è uscito il determinante della matrice incompleta del sistema con Gauss-Jordan.
Così poi ti spiego
Non l'ho trovato già con il la matrice di prima risolta con gauss?
Va bene che l'hai trovato.
Ma dimmi quant'è.
Ma dimmi quant'è.
"misanino":
Va bene che l'hai trovato.
Ma dimmi quant'è.
k 2 2k | 1
k 3-k 3k | 1
k k+1 2k | 2
k 2 2k | 1
k 3-k 3k | 1
0 k-1 0 | 1
k 2 2k | 1
0 -k+1 k | 0
0 k-1 0 | 0
k 2 2k | 1
0 1-k k | 0
0 0 k | 0
Forse non ci siamo capiti, il determinante da quanto ho capito e da quanto dice il mio libro si può trovare o riducendo a scalini (con gauss) o con il metodo il Laplace.
Sempre da quanto ne ho capito ho postato prima i calcoli con il metodo di Gauss ed è venuto K
E poi con Laplace ed è venuto -k^3 + k^2.
Ora o sono io che sto completamente fuso oppure non so!
Sempre da quanto ne ho capito ho postato prima i calcoli con il metodo di Gauss ed è venuto K
E poi con Laplace ed è venuto -k^3 + k^2.
Ora o sono io che sto completamente fuso oppure non so!
E questo sarebbe un determinante???
Il determinante è un numero (o un polinomio se c'è un incognita).
Ad esempio con Laplace hai trovato che il determinante della matrice di partenza è $-k^3+k^2$
Qui invece non mi hai scritto il determinante, ma un insieme di matrici.
Il determinante è un numero (o un polinomio se c'è un incognita).
Ad esempio con Laplace hai trovato che il determinante della matrice di partenza è $-k^3+k^2$
Qui invece non mi hai scritto il determinante, ma un insieme di matrici.
"max_power":
Sempre da quanto ne ho capito ho postato prima i calcoli con il metodo di Gauss ed è venuto K
Ma non è venuto $k$.
Perchè dici che è venuto $k$?
"misanino":
E questo sarebbe un determinante???
Il determinante è un numero (o un polinomio se c'è un incognita).
Ad esempio con Laplace hai trovato che il determinante della matrice di partenza è $-k^3+k^2$
Qui invece non mi hai scritto il determinante, ma un insieme di matrici.
Ma allora Gauss a cosa mi serve?
"misanino":
[quote="max_power"]
Sempre da quanto ne ho capito ho postato prima i calcoli con il metodo di Gauss ed è venuto K
Ma non è venuto $k$.
Perchè dici che è venuto $k$?[/quote]
No ho scritto la matrice a gradini. Quello che non capisco é: con Gauss Jordan trovo il determinante o no?
A me sembra che tu abbia le idee molto confuse.
Provo a spiegarti.
Ci possono essere 2 tipi di problemi:
1. calcolare il determinante di una matrice
2. dire quando un sistema lineare ammette soluzioni.
Per il primo problema ci sono vari modi per farlo:
- usare la formula di Laplace
- se hai una 3x3 usare la regola di Sarrus
Per il secondo problema invece si deve usare Gauss-Jordan.
Per usare questo metodo devi:
- considerare la matrice incompleta del sistema barra il vettore dei termini noti (come hai fatto tu)
- procedere con la riduzione a gradini
Una volta che hai determinato la matrice a gradini però non è finita!
Infatti il sistema ammette soluzioni se e solo se il rango (mi auguro che tu sappia cosa sia) della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa.
Inoltre il sistema ammette un'unica soluzione se e solo se le matrici hanno rango massimo.
Ora la matrice incompleta è una 3x3 e quella completa è una 3x4, perciò per entrambe il rango massimo è 3.
Una matrice quadrata ha rango massimo se il determinante è diverso da 0.
Ecco perchè ora calcoli il determinante della matrice incompleta (che è l'unica quadrata delle 2) e lo fai con una delle regole che ti ho detto all'inizio.
Se $k$ è tale che il determinante è diverso da 0, allora hai un'unica soluzione e hai finito.
Se invece $k$ è tale che il determinante viene 0, allora devi calcolare il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa e:
se sono uguali il sistema ha infinite soluzioni
se sono diversi il sistema non ha soluzioni.
E' più chiaro ora?
Provo a spiegarti.
Ci possono essere 2 tipi di problemi:
1. calcolare il determinante di una matrice
2. dire quando un sistema lineare ammette soluzioni.
Per il primo problema ci sono vari modi per farlo:
- usare la formula di Laplace
- se hai una 3x3 usare la regola di Sarrus
Per il secondo problema invece si deve usare Gauss-Jordan.
Per usare questo metodo devi:
- considerare la matrice incompleta del sistema barra il vettore dei termini noti (come hai fatto tu)
- procedere con la riduzione a gradini
Una volta che hai determinato la matrice a gradini però non è finita!
Infatti il sistema ammette soluzioni se e solo se il rango (mi auguro che tu sappia cosa sia) della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa.
Inoltre il sistema ammette un'unica soluzione se e solo se le matrici hanno rango massimo.
Ora la matrice incompleta è una 3x3 e quella completa è una 3x4, perciò per entrambe il rango massimo è 3.
Una matrice quadrata ha rango massimo se il determinante è diverso da 0.
Ecco perchè ora calcoli il determinante della matrice incompleta (che è l'unica quadrata delle 2) e lo fai con una delle regole che ti ho detto all'inizio.
Se $k$ è tale che il determinante è diverso da 0, allora hai un'unica soluzione e hai finito.
Se invece $k$ è tale che il determinante viene 0, allora devi calcolare il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa e:
se sono uguali il sistema ha infinite soluzioni
se sono diversi il sistema non ha soluzioni.
E' più chiaro ora?
"misanino":
A me sembra che tu abbia le idee molto confuse.
Provo a spiegarti.
Ci possono essere 2 tipi di problemi:
1. calcolare il determinante di una matrice
2. dire quando un sistema lineare ammette soluzioni.
Per il primo problema ci sono vari modi per farlo:
- usare la formula di Laplace
- se hai una 3x3 usare la regola di Sarrus
Per il secondo problema invece si deve usare Gauss-Jordan.
Per usare questo metodo devi:
- considerare la matrice incompleta del sistema barra il vettore dei termini noti (come hai fatto tu)
- procedere con la riduzione a gradini
Una volta che hai determinato la matrice a gradini però non è finita!
Infatti il sistema ammette soluzioni se e solo se il rango (mi auguro che tu sappia cosa sia) della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa.
Inoltre il sistema ammette un'unica soluzione se e solo se le matrici hanno rango massimo.
Ora la matrice incompleta è una 3x3 e quella completa è una 3x4, perciò per entrambe il rango massimo è 3.
Una matrice quadrata ha rango massimo se il determinante è diverso da 0.
Ecco perchè ora calcoli il determinante della matrice incompleta (che è l'unica quadrata delle 2) e lo fai con una delle regole che ti ho detto all'inizio.
Se $k$ è tale che il determinante è diverso da 0, allora hai un'unica soluzione e hai finito.
Se invece $k$ è tale che il determinante viene 0, allora devi calcolare il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa e:
se sono uguali il sistema ha infinite soluzioni
se sono diversi il sistema non ha soluzioni.
E' più chiaro ora?
E' un pò più chiaro ma qualcosa non mi torna.
Inizialmente calcolo il determinante della matrice incompleta con Laplace, Sarrus o quello che vogliamo. Nel nostro caso il determinante è (se ho fatto bene i calcoli) -k^3 + k^2.
E' diverso da 0, quindi ha rango 3 ed il sistema ammette 1 soluzione, che posso trovare con il teorema di Cramer.
A questo punto devo dire quando il sistema ammette soluzioni e posso farlo con Gauss-Jordan. Quindi nel nostro caso ammette soluzioni per k diverso da 0 ?
"max_power":
E' un pò più chiaro ma qualcosa non mi torna.
Inizialmente calcolo il determinante della matrice incompleta con Laplace, Sarrus o quello che vogliamo. Nel nostro caso il determinante è (se ho fatto bene i calcoli) -k^3 + k^2.
E' diverso da 0, quindi ha rango 3 ed il sistema ammette 1 soluzione, che posso trovare con il teorema di Cramer.
A questo punto devo dire quando il sistema ammette soluzioni e posso farlo con Gauss-Jordan. Quindi nel nostro caso ammette soluzioni per k diverso da 0 ?
No. Scusa, mi sono espresso male prima io.
Per trovare le soluzioni di un sistema devi usare Gauss-Jordan.
Per dire invece se un sistema ammette soluzioni o no devi calcolare il rango della matrice completa e di quella incompleta del sistema e vedere se tale rango coincide.
E il primo passo per stabilire il rango è calcolare il determinante della matrice incompleta perchè se esso è diverso da 0 allora il rango è massimo e quindi è massimo anche il rango di quella completa e quindi il sistema ammette un'unica soluzione.
Se invece k è tale che il determinante viene 0, allora devi calcolare il rango della matrice incompleta e quello della matrice completa e:
se sono uguali il sistema ha infinite soluzioni
se sono diversi il sistema non ha soluzioni.
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