Riduzione di una matrice a scalini....
buona sera a tutti ho un esercizio e devo ridurla a scalini solo che arrivato ad un punto non riesco a procedere con la riduzione, la matrice è:
$V=((1, -1, 1, -1),(1, 3, 1, -2),(2, 2, 2, -3),(x, y, z, t))$ scrivo la matrice a ascalini annullando prima tutta la prima colonna:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 4, 0, -1),(0, x+y, z-x, x+t))$ la matrice non è ancora a scalini devo ripetere il procedimento alla sottomatrice $((4, 0, -1),(4, 0, -1),( x+y, z-x, x+t))$;
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, x+y, z-x, x+t))$ ora devo annullare $x+y$ sostituendo alla quarta riga se stessa più il miltiplo $-((x+y)/4)$ della riga due e cioè:
$(0, x+y, z-x, x+t)-((x+y)/4)*(0, 4, 0, -1)= (0, x+y, z-x, x+t)+(0, -x-y, 0, (x+y)/4) rarr (0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4)$
e si ha:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4))$ tuttavia la matrice non è ancora a scalini si deve annullare elemento $z-x$ ma non si può fare... dove ho sbagliato?
$V=((1, -1, 1, -1),(1, 3, 1, -2),(2, 2, 2, -3),(x, y, z, t))$ scrivo la matrice a ascalini annullando prima tutta la prima colonna:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 4, 0, -1),(0, x+y, z-x, x+t))$ la matrice non è ancora a scalini devo ripetere il procedimento alla sottomatrice $((4, 0, -1),(4, 0, -1),( x+y, z-x, x+t))$;
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, x+y, z-x, x+t))$ ora devo annullare $x+y$ sostituendo alla quarta riga se stessa più il miltiplo $-((x+y)/4)$ della riga due e cioè:
$(0, x+y, z-x, x+t)-((x+y)/4)*(0, 4, 0, -1)= (0, x+y, z-x, x+t)+(0, -x-y, 0, (x+y)/4) rarr (0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4)$
e si ha:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4))$ tuttavia la matrice non è ancora a scalini si deve annullare elemento $z-x$ ma non si può fare... dove ho sbagliato?
Risposte
Perchè dovrebbe annullarsi [tex]z-x[/tex]?
Secondo me la matrice è a gradini (o a scala) se [tex]z-x \ne 0[/tex], non ne sono sicuro però.
Secondo me la matrice è a gradini (o a scala) se [tex]z-x \ne 0[/tex], non ne sono sicuro però.
Ma una delle sue proprietà non dice che se una riga è nulla allora tutte le altre al di sotto di essa devono essere nulle.....
secondo me devo verificare prima l' indipendenza dei tre vettori che tra l'altro ho appena verificato e sono indipendenti...
secondo me devo verificare prima l' indipendenza dei tre vettori che tra l'altro ho appena verificato e sono indipendenti...
"domy90":
Ma una delle sue proprietà non dice che se una riga è nulla allora tutte le altre al di sotto di essa devono essere nulle....
Non mi risulta, forse ti stai confondendo con qualche altra proprietà?
Per il resto ti riferisci ai vettori riga dell' ultima matrice che hai ottenuto? Questo si può dedurre dal fatto che il rango di una matrice a gradini è dato dal numero di righe non nulle.
quindi il rango è due? si la proprietà che ho scritto è citata così sul mio libro:
Una matrice $A\in M_{m,n}(R)$ non nulla si dice a scalini (relativamente alle righe) se ha le seguenti proprietà:
-1). se una riga è nulla, tutte le righe successive sono nulle;
-2). il primo elemento non nullo di una riga, detto pivot, è sempre più a sinistra del primo elemento non nullo delle righe successive.
Una matrice $A\in M_{m,n}(R)$ non nulla si dice a scalini (relativamente alle righe) se ha le seguenti proprietà:
-1). se una riga è nulla, tutte le righe successive sono nulle;
-2). il primo elemento non nullo di una riga, detto pivot, è sempre più a sinistra del primo elemento non nullo delle righe successive.
Ok, nel tuo caso comunque scambiando tra loro 3a e 4a riga ottieni
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4),(0, 0, 0, 0))$
E in questo modo le due condizioni sono soddisfatte se [tex]$z-x \ne 0$[/tex]
E il rango sarà 3 perchè hai 3 righe non nulle.
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4),(0, 0, 0, 0))$
E in questo modo le due condizioni sono soddisfatte se [tex]$z-x \ne 0$[/tex]
E il rango sarà 3 perchè hai 3 righe non nulle.
ah giusto, non avevo considerato la possibilità di scambiare le righe....Però una cosa non mi convince nel rango; la riga $(x,y,z,t)$ è un vettore linearmente dipendente, quindi non modifica il rango della matrice $V=((1,-1,1,-1),(1, 3, 1, -2),(2, 2, 2, -3))$ ora se calcolo con la regola dei minori ottengo che il determinate è 3....
So che la matrice una scalini ricavata da matrice $V$ conserva lo stesso rango che è pari al numero di righe non nulle...
Dunque in questo caso deve risultare che le tre righe devono essere non nulle invece a me risulta che l'ultima riga è nulla e quindi il rango della matrice a scalini è 2....come si spiega questo fatto?
So che la matrice una scalini ricavata da matrice $V$ conserva lo stesso rango che è pari al numero di righe non nulle...
Dunque in questo caso deve risultare che le tre righe devono essere non nulle invece a me risulta che l'ultima riga è nulla e quindi il rango della matrice a scalini è 2....come si spiega questo fatto?
Avrai sbagliato qualche passaggio nell' applicazione della regola dei minori orlati.
Prova a controllare i calcoli
Prova a controllare i calcoli
giusto c'era un meno in più.....
però non mi trovo con le equazioni di un esercizio simile, ho la matrice $V=((0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1))$ allora in questo caso basta che scambio la riga due con la riga uno e ottengo una matrice a scalini rappresentata da $V_s=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1))$ dunque il rango di $V$ è tre... $V=((0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1),(x,y,z,t))$ la riduco a scalini scambiando la riga due con la riga uno e poi scambio la riga tre con la riga quattro:
$V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(x,y,z,t),(0,0,0,1))$ ora procedo con l'annullamento di x; $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,y-x,z,t-x),(0,0,0,1))$ annullo il termine $y-x$; $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,-x+y+z,-2x+2y+t-x),(0,0,0,1)) rarr V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,-x+y+z,-3x+2y+t),(0,0,0,1))$
e non si trova perchè dato che il rango è tre e le incognite sono quattro allora le equazioni finali sono date $n-h$ equazioni linearmente dipendenti dove $n$ sono le incognite e $h$ è il rango o la dimensione e quindi 4-3=1 eq lin. dipendente..... ho ricontrollato tutto forse in questo caso è impossibile, ma non mi risulta....
però non mi trovo con le equazioni di un esercizio simile, ho la matrice $V=((0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1))$ allora in questo caso basta che scambio la riga due con la riga uno e ottengo una matrice a scalini rappresentata da $V_s=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1))$ dunque il rango di $V$ è tre... $V=((0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1),(x,y,z,t))$ la riduco a scalini scambiando la riga due con la riga uno e poi scambio la riga tre con la riga quattro:
$V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(x,y,z,t),(0,0,0,1))$ ora procedo con l'annullamento di x; $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,y-x,z,t-x),(0,0,0,1))$ annullo il termine $y-x$; $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,-x+y+z,-2x+2y+t-x),(0,0,0,1)) rarr V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,-x+y+z,-3x+2y+t),(0,0,0,1))$
e non si trova perchè dato che il rango è tre e le incognite sono quattro allora le equazioni finali sono date $n-h$ equazioni linearmente dipendenti dove $n$ sono le incognite e $h$ è il rango o la dimensione e quindi 4-3=1 eq lin. dipendente..... ho ricontrollato tutto forse in questo caso è impossibile, ma non mi risulta....
Se il vettore riga $(x,y,z,t)$ è linearmente indipendente dalle altre righe, hai questo:
il rango della matrice $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(x,y,z,t),(0,0,0,1))$ è diverso dal rango di $((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1))$
il rango della matrice $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(x,y,z,t),(0,0,0,1))$ è diverso dal rango di $((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1))$
mentre se il vettore $(x,y,z,t)$ è dipendente è uguale... io nel mio caso ho preso un generico vettore che ho supposto fosse dipendente in modo da non modificare il rango....
però non si trova deve uscire una sola equazione da uguagliare a zero....a me ne escono due che sono ${(-x+y+z=0),(-3x+2y+t=0):}$.... il procedimento per l'annullamento è quello, ma non si trova....
però non si trova deve uscire una sola equazione da uguagliare a zero....a me ne escono due che sono ${(-x+y+z=0),(-3x+2y+t=0):}$.... il procedimento per l'annullamento è quello, ma non si trova....
Non ho capito che passaggi hai fatto per arrivare a quel sistema
una volta arrivati qua $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,-x+y+z,-3x+2y+t),(0,0,0,1))$ per far si che il vettore $(x,y,z,t)$ non aggiunga valore al rango devo imporre che la terza riga sia uguale a zero, ovvero che gli elementi in funzione delle coordinate cartesiane siano zero e cioè fare quel sistema....
però non si trova, il sistema non è quello perchè le equazioni che in questo caso rappresentano $V$ devo essere pari a $1$ perchè se il rango è tre e incognite sono quattro allora le equazioni sono $4-3=1$...
però non si trova, il sistema non è quello perchè le equazioni che in questo caso rappresentano $V$ devo essere pari a $1$ perchè se il rango è tre e incognite sono quattro allora le equazioni sono $4-3=1$...
"domy90":
una volta arrivati qua $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,-x+y+z,-3x+2y+t),(0,0,0,1))$ per far si che il vettore $(x,y,z,t)$ non aggiunga valore al rango devo imporre che la terza riga sia uguale a zero
non obbligatoriamente. Il rango rimane 3 anche se è proporzionale a una delle altre righe oppure
se è una combinazione lineare delle altre righe.
Cosa intendi per 'equazioni che rappresentano la matrice V'?
"Alxxx28":
non obbligatoriamente. Il rango rimane 3 anche se è proporzionale a una delle altre righe oppure
se è una combinazione lineare delle altre righe.
giusto però per scrivere il sistema lineare omogeneo che rappesenta $V$ la regola impone che si devono avere $n-h$ eq. linearmente indipendenti e in questo caso allora non so se si può fare perche il sistema ammette due equazioni linearmente dipendenti invece ne doveva ammettere una...
"Alxxx28":
Cosa intendi per 'equazioni che rappresentano la matrice V'?
cioè rappresentare $V$ in forma cartesiana...
Mi sa che non ti è chiaro il concetto di rango. Ti è chiaro che il rango di una matrice è il numero di righe liìnearmente indipendenti?
Se hai [tex]n[/tex] righe linearmente indipendenti, allora il sistema a cui è associata la matrice sarà rappresentato da [tex]n[/tex]
righe non proporzionali tra loro.
Se hai [tex]n[/tex] righe linearmente indipendenti, allora il sistema a cui è associata la matrice sarà rappresentato da [tex]n[/tex]
righe non proporzionali tra loro.
Si si so che il rango è dato dal numero di righe linearmente indipendenti, però sul libro c'è scritto che il sistema associato ad una matrice è dato da $n-h$ equazioni linearmente indipendenti, dove $n$ è il numero di incognite o della dimensione di $RR^n$ e $h$ è il numero del rango....
Mi sembra molto strano, non ho mai sentito questa cosa.
Non è che ti stai confondendo con le soluzione ammesse dal sistema?
Nel senso che il sistema ammette $\infty^N$ soluzioni, dove N>=n-h
Non è che ti stai confondendo con le soluzione ammesse dal sistema?
Nel senso che il sistema ammette $\infty^N$ soluzioni, dove N>=n-h
Credo di aver sbagliato io a formulare la domanda cioè volevo fare la rappresentare cartesiana di un sottospazio vettoriale che nel mio caso è $V$ che è sottospazio di $RR^4 (poichè abbiamo quattro componenti del vettore)$...
Credo di aver sbagliato io a formulare la domanda cioè volevo fare la rappresentare cartesiana di un sottospazio vettoriale che nel mio caso è $V$ che è sottospazio di $RR^4$ (poichè abbiamo quattro componenti del vettore)...
Ah ecco, comunque $V$ è solo una matrice, al massimo si può parlare di sottospazio generato dalle colonne (o dalle righe ) della matrice $V$. Quindi quale sarà la dimensione di questo sottospazio?
Scusa ma se ti esprimi in questo modo non è facile aiutarti.
Scusa ma se ti esprimi in questo modo non è facile aiutarti.
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