Riduzione di una matrice a scalini....
buona sera a tutti ho un esercizio e devo ridurla a scalini solo che arrivato ad un punto non riesco a procedere con la riduzione, la matrice è:
$V=((1, -1, 1, -1),(1, 3, 1, -2),(2, 2, 2, -3),(x, y, z, t))$ scrivo la matrice a ascalini annullando prima tutta la prima colonna:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 4, 0, -1),(0, x+y, z-x, x+t))$ la matrice non è ancora a scalini devo ripetere il procedimento alla sottomatrice $((4, 0, -1),(4, 0, -1),( x+y, z-x, x+t))$;
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, x+y, z-x, x+t))$ ora devo annullare $x+y$ sostituendo alla quarta riga se stessa più il miltiplo $-((x+y)/4)$ della riga due e cioè:
$(0, x+y, z-x, x+t)-((x+y)/4)*(0, 4, 0, -1)= (0, x+y, z-x, x+t)+(0, -x-y, 0, (x+y)/4) rarr (0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4)$
e si ha:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4))$ tuttavia la matrice non è ancora a scalini si deve annullare elemento $z-x$ ma non si può fare... dove ho sbagliato?
$V=((1, -1, 1, -1),(1, 3, 1, -2),(2, 2, 2, -3),(x, y, z, t))$ scrivo la matrice a ascalini annullando prima tutta la prima colonna:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 4, 0, -1),(0, x+y, z-x, x+t))$ la matrice non è ancora a scalini devo ripetere il procedimento alla sottomatrice $((4, 0, -1),(4, 0, -1),( x+y, z-x, x+t))$;
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, x+y, z-x, x+t))$ ora devo annullare $x+y$ sostituendo alla quarta riga se stessa più il miltiplo $-((x+y)/4)$ della riga due e cioè:
$(0, x+y, z-x, x+t)-((x+y)/4)*(0, 4, 0, -1)= (0, x+y, z-x, x+t)+(0, -x-y, 0, (x+y)/4) rarr (0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4)$
e si ha:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4))$ tuttavia la matrice non è ancora a scalini si deve annullare elemento $z-x$ ma non si può fare... dove ho sbagliato?
Risposte
Hai ragione ti chiedo scusa......
Allora riscrivo la matrice se no contringe ad entrambi a ritornare alle pagine precedenti:
$V=((0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1))$ per non fare calcoli con la regola del determinante, calcolo la matrice a scalini visto che conserva lo stesso rango che è dato dal numero delle righe linearmente indipendenti...
$V_s=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1))$ dunque la dimensione di $V$ è pari a $3$...
Allora riscrivo la matrice se no contringe ad entrambi a ritornare alle pagine precedenti:
$V=((0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1))$ per non fare calcoli con la regola del determinante, calcolo la matrice a scalini visto che conserva lo stesso rango che è dato dal numero delle righe linearmente indipendenti...
$V_s=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1))$ dunque la dimensione di $V$ è pari a $3$...
Per dimensione intendi il rango vero? Se si è corretto, lo avevamo già detto prima
si si intendo il rango...
ora però per trovare il sitema lineare omogeneo che rappresenta $V$ devo mettere a matrice i 3 vettori di $V$ insieme ad un generico vettore linearmente dipendente $V=((0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1),(x,y,z,t))$ e la riduco a scalini; ora procedo con l'annullamento di x;
$V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1),(0,y-x,z,t-x))$, annullo il termine $y-x$; $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1),(0,0,-x+y+z,-2x+2y+t-x))$ scambio la riga tre con la riga quattro e la matrice risulta a scalini $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,-x+y+z,-3x+2y+t),(0,0,0,1))$ ma comunque non si trova perchè dato che il rango è tre e le incognite sono quattro allora le equazioni finali sono date $n-h$ equazioni linearmente dipendenti e quindi 4-3=1 eq lin. dipendente..... dove ho sbagliato?
ora però per trovare il sitema lineare omogeneo che rappresenta $V$ devo mettere a matrice i 3 vettori di $V$ insieme ad un generico vettore linearmente dipendente $V=((0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1),(x,y,z,t))$ e la riduco a scalini; ora procedo con l'annullamento di x;
$V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1),(0,y-x,z,t-x))$, annullo il termine $y-x$; $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,0,1),(0,0,-x+y+z,-2x+2y+t-x))$ scambio la riga tre con la riga quattro e la matrice risulta a scalini $V=((1,1,0,1),(0,-1,1,2),(0,0,-x+y+z,-3x+2y+t),(0,0,0,1))$ ma comunque non si trova perchè dato che il rango è tre e le incognite sono quattro allora le equazioni finali sono date $n-h$ equazioni linearmente dipendenti e quindi 4-3=1 eq lin. dipendente..... dove ho sbagliato?
Hai provato a vedere cosa succede se rappresenti un sottospazio di $\RR^4$ con l' equazione $-x+y+z=0$?
In che forma si possono scrivere i vettori di questo sottospazio?
In che forma si possono scrivere i vettori di questo sottospazio?
no non ho provato.... si possono scrivere, penso, ${(y+z, y, z, t}$... e quindi i vettori, assegnando dei valori diversi fra di loro, sono $(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1)$....giusto? però comunque non ho capito se ho sbagliato o no....
Ok, quei 3 vettori sono linearmente indipendenti e sono una base per lo spazio vettoriale
rappresentato dall' equazione $-x+y+z=0$. Ora verifica se quest' equazione può bastare
per rappresentare il sottospazio generato dalle righe di $V$. Hai qualche idea su come procedere?
rappresentato dall' equazione $-x+y+z=0$. Ora verifica se quest' equazione può bastare
per rappresentare il sottospazio generato dalle righe di $V$. Hai qualche idea su come procedere?
non saprei penso che si devono mettere a matrice i vettori trovati ....però il passo successivo per la verifica non ne ho idea io ho messo a matrice ma non mi esce niente ....
Allora iniziamo a indicare così i 3 vettori che dicevi prima:
[tex]$\vec v_1=(1,1,0,0)$[/tex]
[tex]$\vec v_2=(1,0,1,0)$[/tex]
[tex]$\vec v_3=(0,0,0,1)$[/tex]
devi verificare se esistono dei vettori $\vec b \in <\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3>$ che non appartengono al
sottospazio generato dalle righe di [tex]$V$[/tex](che chiamo [tex]S_V[/tex] per brevità).
[tex]$\vec v_1=(1,1,0,0)$[/tex]
[tex]$\vec v_2=(1,0,1,0)$[/tex]
[tex]$\vec v_3=(0,0,0,1)$[/tex]
devi verificare se esistono dei vettori $\vec b \in <\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3>$ che non appartengono al
sottospazio generato dalle righe di [tex]$V$[/tex](che chiamo [tex]S_V[/tex] per brevità).
allora se $S_V$ è linearmente dipendente, ovvero se esistono degli scalari non tutti nulli: $EE lambda_1,...,lambda_n$ tale che $lambda_1v_1+,...,+lambda_nv_n=0$ e quindi $v_1$ può essere scritto come la combinazione lineare dei vettori della base secondo opportuni scalari:
$v_1=a_11V_1+a_12V_2+,...,a_(n1)V_n$
$v_2=a_21V_1+a_22V_2+,...,a_(n2)V_n$
$v_n=a_(n1)V_1+a_(n2)V_2+,...,a_(nm)V_n$
quindi $lambda_1(a_11V_1+a_12V_2+,...,a_(n1)V_n)+lambda_2(v_2=a_21V_1+a_22V_2+,...,a_(n2)V_n)+lambda_n(a_(n1)V_1+a_(n2)V_2+,...,a_(nm)V_n)=0$
$(lambda_1a_11+lambda_2a_12+,...,lambda_na_(n1))V_1+(lambda_1a_21+lambda_2a_22+,...,lambda_na_(n2))V_2+(lambda_1a_(n1)+lambda_2a_(n2)+,...,lambda_na_(nm))V_n=0$
però ora questi opportuni scalari quali sono????
$v_1=a_11V_1+a_12V_2+,...,a_(n1)V_n$
$v_2=a_21V_1+a_22V_2+,...,a_(n2)V_n$
$v_n=a_(n1)V_1+a_(n2)V_2+,...,a_(nm)V_n$
quindi $lambda_1(a_11V_1+a_12V_2+,...,a_(n1)V_n)+lambda_2(v_2=a_21V_1+a_22V_2+,...,a_(n2)V_n)+lambda_n(a_(n1)V_1+a_(n2)V_2+,...,a_(nm)V_n)=0$
$(lambda_1a_11+lambda_2a_12+,...,lambda_na_(n1))V_1+(lambda_1a_21+lambda_2a_22+,...,lambda_na_(n2))V_2+(lambda_1a_(n1)+lambda_2a_(n2)+,...,lambda_na_(nm))V_n=0$
però ora questi opportuni scalari quali sono????
Prima di svolgere questi esercizi ti consiglio di ripassare la teoria, riguardo a sottospazi, basi e sistema di generatori.
Ho l' impressione (che può anche essere sbagliata) che ci siano un pò di lacune/incertezze.
Se $S_V$ è un sottospazio, come fa ad essere linearmente dipendente?
Ho l' impressione (che può anche essere sbagliata) che ci siano un pò di lacune/incertezze.
Se $S_V$ è un sottospazio, come fa ad essere linearmente dipendente?
si hai ragione scusami, sul quaderno effettivamente c'è scritto così, solo che io per errore ho letto indipendenti e l'ho scritto, scusami.....
comunque se non sbaglio di nuovo dovrebbe essere così:
abbiamo i vettori linearmente indipendenti che sono una base per il sottospazione vettoriale rappresentato dall'equazione $-x+y+z=0$:
$(1,1,0,0)=v_1$
$(1,0,1,0)=v_2$
$(0,0,0,1)=v_3$
ora per verificare che l'equazione basta a rappresentare il sottospazio generato dalle righe di $V$, devo fare in questa maniera:
scrivo $v_1$ come combinazione degli scalari $a, b, c$:
$v_1=(1,1,0,0)=a(0,-1,1,2)+b(1,1,0,1)+c(0,0,0,1)$ dove i vettori $(0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1)$ sono i vettori della base di $V$ detto questo vado a fare le operazioni:
$v_1=(b, -a+b, a, 2a+b+c)$ metto a sistema: ${(b=1),(b-a=1),(a=0), (2a+b+c=0):}$ va bene così? però mi sembra strano questo sitstema....
comunque se non sbaglio di nuovo dovrebbe essere così:
abbiamo i vettori linearmente indipendenti che sono una base per il sottospazione vettoriale rappresentato dall'equazione $-x+y+z=0$:
$(1,1,0,0)=v_1$
$(1,0,1,0)=v_2$
$(0,0,0,1)=v_3$
ora per verificare che l'equazione basta a rappresentare il sottospazio generato dalle righe di $V$, devo fare in questa maniera:
scrivo $v_1$ come combinazione degli scalari $a, b, c$:
$v_1=(1,1,0,0)=a(0,-1,1,2)+b(1,1,0,1)+c(0,0,0,1)$ dove i vettori $(0,-1,1,2),(1,1,0,1),(0,0,0,1)$ sono i vettori della base di $V$ detto questo vado a fare le operazioni:
$v_1=(b, -a+b, a, 2a+b+c)$ metto a sistema: ${(b=1),(b-a=1),(a=0), (2a+b+c=0):}$ va bene così? però mi sembra strano questo sitstema....
Perchè ti sembra strano?
Il procedimento è corretto, ma così hai verificato solo che $\vec v_1$ si può esprimere come combinazione lineare dei vettori della base di $S_V$ (ovvero lo spazio generato dalle righe di $V$)
Il procedimento è corretto, ma così hai verificato solo che $\vec v_1$ si può esprimere come combinazione lineare dei vettori della base di $S_V$ (ovvero lo spazio generato dalle righe di $V$)
cioè mi sembra strano perchè adesso non riesco a capire quale sia $a$, $b$, $c$ e quindi l'ordine dei componenti del vettori non li so scrivere perchè se seguo le lettere allora mi viene $(0, 1, 1, 1)$ se seguo l'ordine in con cui sono scritte viene $(1,1,0,1)$....
"domy90":
cioè mi sembra strano perchè adesso non riesco a capire quale sia $a$, $b$, $c$ e quindi l'ordine dei componenti del vettori non li so scrivere
Non ho capito a quale vettore ti riferisci qui.
Comunque a te interessa sapere se i vettori [tex]\vec v_1[/tex],[tex]\vec v_2[/tex] e [tex]\vec v_3[/tex] appartengono ad [tex]S_V[/tex].
Il fatto che quel sistema abbia un' unica soluzione significa che esiste un' unica tripla [tex](a,b,c)[/tex] tale che:
[tex]\vec v_1=(1,1,0,0)=a(0,-1,1,2)+b(1,1,0,1)+c(0,0,0,1)[/tex].
mi riferisco proprio alla soluzione del sistema...qual'è? non riesco a trovarla...è $(1,1,0,1)$
"domy90":
mi riferisco proprio alla soluzione del sistema...qual'è? non riesco a trovarla...è $(1,1,0,1)$
Come non riesci a trovarla?
La trovi facilmente per sostituzione ed è $(a,b,c)=(0,1,-1)$.
Se c' è qualcosa che ti fa confondere le idee, chiedi pure

nel sistema abbiamo $a=0$, $b=1$ e poi ci sono altre due equazioni una $b-a=1$ e $2a+b+c=0$ ora la $c$ da cove la devo ricavare?
"domy90":
nel sistema abbiamo $a=0$, $b=1$ e poi ci sono altre due equazioni una $b-a=1$ e $2a+b+c=0$ ora la $c$ da cove la devo ricavare?
Mah, l' incognita [tex]c[/tex] compare in una sola equazione , quindi palesemente da lì.
e quell'altra equazione dove abbiamo $b-a=0$ a che ci serve?
"domy90":
e quell'altra equazione dove abbiamo $b-a=0$ a che ci serve?
$b-a=1$
E' un equazione ridondante, ottenuta tramite l' operazione: 1a riga - 3a riga
considerando l' ordine delle equazioni del sistema che avevi scritto in precedenza, ovvero
1a riga: [tex]b=1[/tex]
3a riga: [tex]a=0[/tex]