Riduzione di una matrice a scalini....
buona sera a tutti ho un esercizio e devo ridurla a scalini solo che arrivato ad un punto non riesco a procedere con la riduzione, la matrice è:
$V=((1, -1, 1, -1),(1, 3, 1, -2),(2, 2, 2, -3),(x, y, z, t))$ scrivo la matrice a ascalini annullando prima tutta la prima colonna:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 4, 0, -1),(0, x+y, z-x, x+t))$ la matrice non è ancora a scalini devo ripetere il procedimento alla sottomatrice $((4, 0, -1),(4, 0, -1),( x+y, z-x, x+t))$;
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, x+y, z-x, x+t))$ ora devo annullare $x+y$ sostituendo alla quarta riga se stessa più il miltiplo $-((x+y)/4)$ della riga due e cioè:
$(0, x+y, z-x, x+t)-((x+y)/4)*(0, 4, 0, -1)= (0, x+y, z-x, x+t)+(0, -x-y, 0, (x+y)/4) rarr (0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4)$
e si ha:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4))$ tuttavia la matrice non è ancora a scalini si deve annullare elemento $z-x$ ma non si può fare... dove ho sbagliato?
$V=((1, -1, 1, -1),(1, 3, 1, -2),(2, 2, 2, -3),(x, y, z, t))$ scrivo la matrice a ascalini annullando prima tutta la prima colonna:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 4, 0, -1),(0, x+y, z-x, x+t))$ la matrice non è ancora a scalini devo ripetere il procedimento alla sottomatrice $((4, 0, -1),(4, 0, -1),( x+y, z-x, x+t))$;
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, x+y, z-x, x+t))$ ora devo annullare $x+y$ sostituendo alla quarta riga se stessa più il miltiplo $-((x+y)/4)$ della riga due e cioè:
$(0, x+y, z-x, x+t)-((x+y)/4)*(0, 4, 0, -1)= (0, x+y, z-x, x+t)+(0, -x-y, 0, (x+y)/4) rarr (0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4)$
e si ha:
$((1, -1, 1, -1),(0, 4, 0, -1),(0, 0, 0, 0),(0, 0, z-x, x+t+(x+y)/4))$ tuttavia la matrice non è ancora a scalini si deve annullare elemento $z-x$ ma non si può fare... dove ho sbagliato?
Risposte
in poche parole non ci serve, e non si mette come soluzione nel vettore finale $(a,b,c)$, capito quindi il vettore finale è $(a,b,c)=(0,1,-1)$ poi faccio lo stesso procedimento con i vettori $v_2$ e $v_3$:
$(1,0,1,0)=v_2$
$(0,0,0,1)=v_3$
$v_2=(1,0,1,0)=a(0,-1,1,2)+b(1,1,0,1)+c(0,0,0,1)$ vado a fare le operazioni:
$v_2=(b, -a+b, a, 2a+b+c)$ metto a sistema: ${(b=1),(b-a=0),(a=1), (2a+b+c=0):}$ le soluzioni sono: $(a,b,c)= (1,1,-3)$
faccio lo stesso con il terzo vettore e abbiamo:
$v_3=(0,0,0,1)=a(0,-1,1,2)+b(1,1,0,1)+c(0,0,0,1)$ vado a fare le operazioni:
$v_3=(b, -a+b, a, 2a+b+c)$ metto a sistema: ${(b=0),(b-a=0),(a=0), (2a+b+c=1):}$ e le soluzioni sono: $(a,b,c)=(0,0,1)$
e se non mi sbaglio questo ci dice che la sola equazione: $-x+y+z=0$ non ci basta a rappresentare il sotto spazio generato dalle righe di $V$.. vero?
$(1,0,1,0)=v_2$
$(0,0,0,1)=v_3$
$v_2=(1,0,1,0)=a(0,-1,1,2)+b(1,1,0,1)+c(0,0,0,1)$ vado a fare le operazioni:
$v_2=(b, -a+b, a, 2a+b+c)$ metto a sistema: ${(b=1),(b-a=0),(a=1), (2a+b+c=0):}$ le soluzioni sono: $(a,b,c)= (1,1,-3)$
faccio lo stesso con il terzo vettore e abbiamo:
$v_3=(0,0,0,1)=a(0,-1,1,2)+b(1,1,0,1)+c(0,0,0,1)$ vado a fare le operazioni:
$v_3=(b, -a+b, a, 2a+b+c)$ metto a sistema: ${(b=0),(b-a=0),(a=0), (2a+b+c=1):}$ e le soluzioni sono: $(a,b,c)=(0,0,1)$
e se non mi sbaglio questo ci dice che la sola equazione: $-x+y+z=0$ non ci basta a rappresentare il sotto spazio generato dalle righe di $V$.. vero?
Perfetto, così hai verificato che i vettori [tex]\vec v_1[/tex],[tex]\vec v_2[/tex], [tex]\vec v_3[/tex] appartengono al sottospazio
[tex]S_V[/tex]. Perchè non dovrebbe bastare quell' equazione?
Ricorda che se il sottospazio è rappresentato da un' equazione in più, la sua dimensione vale 2.
[tex]S_V[/tex]. Perchè non dovrebbe bastare quell' equazione?
Ricorda che se il sottospazio è rappresentato da un' equazione in più, la sua dimensione vale 2.
ma quindi la dimensione di $V$ è tre mentre la dimensione della base è $2$????
ma quindi per verificare se i vettori appertengo ad un sottospazio si deve verificare che la combinazione di essi con gli scalari $a,b,c$
non ci restituiscano gli stessi vettori?
ma quindi per verificare se i vettori appertengo ad un sottospazio si deve verificare che la combinazione di essi con gli scalari $a,b,c$
non ci restituiscano gli stessi vettori?
"domy90":
ma quindi la dimensione di $V$ è tre mentre la dimensione della base è $2$????
A cosa ti riferisci con $V$? Intendevi il sottospazio $S_V$?
"domy90":
ma quindi per verificare se i vettori appertengo ad un sottospazio si deve verificare che la combinazione di essi con gli scalari $a,b,c$
non ci restituiscano gli stessi vettori?
In precedenza abbiamo preso le righe della matrice $V$ (ridotta a gradini, o a scala se preferisci) per formare una base per $S_V$
$\vec b_1=(0,-1,1,2)$
$\vec b_2=(1,1,0,1)$
$\vec b_3=(0,0,0,1)$
quindi $ B=\{ vec b_1,vec b_2,vec b_3 \} $ è la base scelta per $S_V$.
A questo punto, come dovresti sapere, si può scrivere $S_V=
l' insieme delle combinazioni lineari dei vettori $vec b_1$,$vec b_2$,$vec b_3$, chiaro fin qui?
Di conseguenza ognuno dei vettori $vec v_1,vec v_2,vec v_3$ appartiene ad $S_V$ se può essere scritto come combinazione
lineare di $vec b_1$,$vec b_2$,$vec b_3$
quando abbiamo ridotto la matrice a scalini abbiamo visto che la matrice $V$ ha dimensione $3$ poi abbiamo detto che se $V$ è rappresentata da un'equazione in più allora ha dimensione due.....è quindi non ho capito chi ha dimensione 2 e chi ha dimensione tre....per il resto ho capito tutto....
"domy90":
quando abbiamo ridotto la matrice a scalini abbiamo visto che la matrice $V$ ha dimensione $3$ poi abbiamo detto che se $V$ è rappresentata da un'equazione in più allora ha dimensione due.....
Un' equazione in più nel senso che, se un sottospazio (di $\RR^4$) è rappresentato da due equazioni, allora questo ha dimensione due (ammesso che le due equazioni non siano proporzionali), e quindi non coincide con $S_V$.
$S_V$ si può indicare così $\{ (x,y,z,t)\in \RR^4 | -x+y+z=0 \} $ e la sua dimensione coincide con il rango della matrice $V$
forse grazie a questo ho capito il perchè di un dubbio in un altro esercizio, l'esercizio dice che
$U={(x,y,z,t)in RR^4 | x+3y=2z+t=0}$, $V=<(0,-2,1,1),(1,1,0,1)>$ io ora non capisco perchè l'equazione è scritta $x+3y=2z+t=0$ quindi $U$ è un sottospazio rappresentato da due equazioni e ha dimensione $2$ però non devono essere proporzionali...e la base di $U$ è data dal sistema di quelle due equazioni....
$U={(x,y,z,t)in RR^4 | x+3y=2z+t=0}$, $V=<(0,-2,1,1),(1,1,0,1)>$ io ora non capisco perchè l'equazione è scritta $x+3y=2z+t=0$ quindi $U$ è un sottospazio rappresentato da due equazioni e ha dimensione $2$ però non devono essere proporzionali...e la base di $U$ è data dal sistema di quelle due equazioni....
Infatti non sono proporzionali.
Sono due equazioni omogenee e quindi si possono scrivere in quel modo
Sono due equazioni omogenee e quindi si possono scrivere in quel modo
una domanda però visto che $S_V$ è rappresentato da un equazione in più allora può anche essere scritta come $S_V={(x,y,z,t) in RR^4| -3x+2y+t=0}$?
Si va bene anche così. Se invece prendi l' insieme di $\RR^4$ tale che siano soddisfatte contemporaneamente entrambe, allora non è più $S_V$, ok?
ok è soltanto $V$...
un ultimo chiarimento, o conferma...
Ma se invece rappresentassimo $S_V$ con entrambe le equazioni non proporzionali tra di loro allora la dimensione di $V$ non è più $3$ ma è due...????
Ma se invece rappresentassimo $S_V$ con entrambe le equazioni non proporzionali tra di loro allora la dimensione di $V$ non è più $3$ ma è due...????
esatto, comunque se controlli nelle altre pagine, ti accorgi che l' avevo già scritto
si si volevo una riconferma.....grazie mi sei stato di grane aiuto!!!!!! 
scusami un ultimo dubbio... se devo scrivere un sistema lineare omogeneo che rappresenta $V$ che ha dimensione $4$ e rango $4$ dunque le equazioni del sistema sono $0$, e in questo caso come si procede?
Ma come fai a confondondere ancora [tex]S_V[/tex] con [tex]V[/tex]? Guarda che c' è una bella differenza 
Comunque se [tex]S_V[/tex] ha dimensione 4, e [tex]V[/tex] è una matrice 4x4 con [tex]r(V)=4[/tex], allora [tex]S_V = \mathbb{R}^4[/tex]
Comunque se [tex]S_V[/tex] ha dimensione 4, e [tex]V[/tex] è una matrice 4x4 con [tex]r(V)=4[/tex], allora [tex]S_V = \mathbb{R}^4[/tex]
Un attimo, allora $S_V$ è un sottospazio che è generato dalle rigne di $V$....però io non lo conosco $S_V$, conosco soltanto $V=<(vec v_1),(vec v_2),(vec v_3),(vec v_4)>$ che sono tutti linearmente dipendenti....
io adesso voglio trovare $S_V$ ma andanto a mettere a matrice tutti e 4 questi vettori con il vettore generico $(x,y,z,t)$, e riducendo la matrice a scalini mi trovo che $S_V$ non è rappresentato da nessuna equazione....
io adesso voglio trovare $S_V$ ma andanto a mettere a matrice tutti e 4 questi vettori con il vettore generico $(x,y,z,t)$, e riducendo la matrice a scalini mi trovo che $S_V$ non è rappresentato da nessuna equazione....
"domy90":
$V=<(vec v_1),(vec v_2),(vec v_3),(vec v_4)>$
ti consiglio di indicare con una lettera diversa questo sottospazio, dato che [tex]V[/tex] rappresenta già la matrice le cui righe generano [tex]S_V[/tex]
Comunque non c' è bisogno di ridurre a scalini la matrice a cui ti riferivi.
Considera questa matrice
$ M = ( ( 1 , 0, 0, 0),( 0, 1, 0, 0),( 0, 0, 1, 0),( 0, 0, 0, 1) ) $
qual' è il sottospazio generato dalle sue righe?
E secondo te si può rappresentare con qualche equazione?
il sottospazio con la sua equazione è: $S_V={(x,y,z,t) inRR^4 |x+y+z+t=0}$??? la basè sara quella canonica....
Per la base ok, sarà quella canonica e da questo dovresti dire (senza pensarci due volte ) che lo spazio vettoriale è [tex]\mathbb{R}^4[/tex],
che non è rappresentato da equazioni.
) che lo spazio vettoriale è [tex]\mathbb{R}^4[/tex],che non è rappresentato da equazioni.
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