Piccola domanda di algebra lineare..
Esiste un metodo veloce per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice senza svolgere tutto il determinante di $ tI - A$ ( sul mio libro è scritto cosi. comunque è la stessa cosa di $ A - tI $)?
Risposte
Che io sappia no... (anche se non vuol dire molto 
)
)
"lishi":
Esiste un metodo veloce per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice senza svolgere tutto il determinante di $ tI - A$ ( sul mio libro è scritto cosi. comunque è la stessa cosa di $ A - tI $)?
Supponi che la matrice sia diagonalizzabile.
Allora, trovando le approssimazioni degli autovalori
$\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n$, il polinomio caratteristico sarà
$(t-\lambda_1) \cdot (t-\lambda_2) \cdot ... \cdot (t-\lambda_n)$.
Francesco Daddi
Che io sappia.
Per una matrice A di grado n
$t^n$ ha coefficiente 1
$t^(n-1)$ ha coefficiente traccia(A)
$t^0$ ha coefficiente det(a)
che pero è utile solo per matrice 2x2
Per una matrice A di grado n
$t^n$ ha coefficiente 1
$t^(n-1)$ ha coefficiente traccia(A)
$t^0$ ha coefficiente det(a)
che pero è utile solo per matrice 2x2
"franced":
[quote="lishi"]Esiste un metodo veloce per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice senza svolgere tutto il determinante di $ tI - A$ ( sul mio libro è scritto cosi. comunque è la stessa cosa di $ A - tI $)?
Supponi che la matrice sia diagonalizzabile.
Allora, trovando le approssimazioni degli autovalori
$\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n$, il polinomio caratteristico sarà
$(t-\lambda_1) \cdot (t-\lambda_2) \cdot ... \cdot (t-\lambda_n)$.
Francesco Daddi[/quote]
Questo presuppone la conoscenza degli autovettori. Che è il motivo per cui di solito si calcola il polinomio.
Oppure mi sono perso qualcosa ed si può calcolare i autovettori in un altro modo?
"lishi":
[quote="franced"][quote="lishi"]Esiste un metodo veloce per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice senza svolgere tutto il determinante di $ tI - A$ ( sul mio libro è scritto cosi. comunque è la stessa cosa di $ A - tI $)?
Supponi che la matrice sia diagonalizzabile.
Allora, trovando le approssimazioni degli autovalori
$\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n$, il polinomio caratteristico sarà
$(t-\lambda_1) \cdot (t-\lambda_2) \cdot ... \cdot (t-\lambda_n)$.
Francesco Daddi[/quote]
Questo presuppone la conoscenza degli autovettori. Che è il motivo per cui di solito si calcola il polinomio.
Oppure mi sono perso qualcosa ed si può calcolare i autovettori in un altro modo?[/quote]
Non facciamo confusione.
Gli autovettori sono una cosa e gli autovalori un'altra..
Te mi chiedi se c'è un modo per calcolare il polinomio caratteristico;
io ti ho detto quello che non sarà di certo il metodo migliore, ma fa
proprio quello che chiedi te!
Per calcolare gli autovalori ci sono tantissimi metodi numerici, e tutti
non passano di certo per il polinomio caratteristico.
Francesco Daddi
Puoi ad esempio trovare approx degli autovalori con il metodo $QR$ e poi
calcolarti il polinomio caratteristico, anch'esso approx (ovviamente).
Non so se sono chiaro..
Francesco Daddi
calcolarti il polinomio caratteristico, anch'esso approx (ovviamente).
Non so se sono chiaro..
Francesco Daddi
"franced":
[quote="lishi"][quote="franced"][quote="lishi"]Esiste un metodo veloce per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice senza svolgere tutto il determinante di $ tI - A$ ( sul mio libro è scritto cosi. comunque è la stessa cosa di $ A - tI $)?
Supponi che la matrice sia diagonalizzabile.
Allora, trovando le approssimazioni degli autovalori
$\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n$, il polinomio caratteristico sarà
$(t-\lambda_1) \cdot (t-\lambda_2) \cdot ... \cdot (t-\lambda_n)$.
Francesco Daddi[/quote]
Questo presuppone la conoscenza degli autovettori. Che è il motivo per cui di solito si calcola il polinomio.
Oppure mi sono perso qualcosa ed si può calcolare i autovettori in un altro modo?[/quote]
Non facciamo confusione.
Gli autovettori sono una cosa e gli autovalori un'altra..
Te mi chiedi se c'è un modo per calcolare il polinomio caratteristico;
io ti ho detto quello che non sarà di certo il metodo migliore, ma fa
proprio quello che chiedi te!
Per calcolare gli autovalori ci sono tantissimi metodi numerici, e tutti
non passano di certo per il polinomio caratteristico.
Francesco Daddi[/quote]
Ho fatto confusione. Intendevo autovalori.
Comunque grazie per le risposte.
Penso che almeno per adesso andrò avanti a calcolare il determinante.
Considera che se hai già una matrice $20 \times 20$ non ti conviene tanto calcolarti il polinomio
caratteristico con i determinanti..
Francesco Daddi
caratteristico con i determinanti..
Francesco Daddi
Ci sono algoritmi specifici per lo sviluppo del polinomio caratteristico:
metodo di Danilevskij
metodo di Krylov
metodo di Leverrier
metodo dei coefficienti indeterminati
Quest'ultimo è il metodo forse più "naturale".
Francesco Daddi
metodo di Danilevskij
metodo di Krylov
metodo di Leverrier
metodo dei coefficienti indeterminati
Quest'ultimo è il metodo forse più "naturale".
Francesco Daddi
"franced":
Ci sono algoritmi specifici per lo sviluppo del polinomio caratteristico:
metodo di Danilevskij
Francesco Daddi
Scusate se mi intrometto. Si scrive proprio cosi il nome di questo matematico? io non riesco a trovarlo su nessun libro!
E sto studiando proprio l'algoritmo che hai menzionato
"Danilevskij" pare che sia un asteroide...
http://it.wikipedia.org/wiki/3964_Danilevskij
"raff5184":
[quote="franced"]Ci sono algoritmi specifici per lo sviluppo del polinomio caratteristico:
metodo di Danilevskij
Francesco Daddi
Scusate se mi intrometto. Si scrive proprio cosi il nome di questo matematico? io non riesco a trovarlo su nessun libro!
E sto studiando proprio l'algoritmo che hai menzionato
"Danilevskij" pare che sia un asteroide...
http://it.wikipedia.org/wiki/3964_Danilevskij[/quote]Così l'ho trovato scritto sul libro di Demidovic (spero che almeno questo si scriva così..)
sul calcolo numerico.
Francesco Daddi
scusa non è che ricorderesti l'enunciato del teorema? o della regola?
"raff5184":
scusa non è che ricorderesti l'enunciato del teorema? o della regola?
Non è che sia tanto corto questo metodo di Danilevskij;
è un metodo per trovare la forma di Frobenius di una matrice.
Francesco Daddi
Secondo me il metodo piu' veloce e' ...usare Matlab (se uno ce l'ha e non sta agli esami !!!)
Nella finestra di comando di Matlab ,si scrive ad esempio:
A=[1,-3;4,9]
Poi nella stessa finestra scrive:
p=poly(A) ed avra' come risposta : 1,-10,21.
Il polinomio caratteristico e' allora:
$p=lambda^2-10*lambda+21$
E se uno vuole "sboronare" puo' anche scrivere nella stessa finestra:
roots(p)
ed avra' come risposta :3,7 che sono gli autovalori della matrice A.
karl
Nella finestra di comando di Matlab ,si scrive ad esempio:
A=[1,-3;4,9]
Poi nella stessa finestra scrive:
p=poly(A) ed avra' come risposta : 1,-10,21.
Il polinomio caratteristico e' allora:
$p=lambda^2-10*lambda+21$
E se uno vuole "sboronare" puo' anche scrivere nella stessa finestra:
roots(p)
ed avra' come risposta :3,7 che sono gli autovalori della matrice A.
karl
"franced":
[quote="raff5184"]scusa non è che ricorderesti l'enunciato del teorema? o della regola?
Non è che sia tanto corto questo metodo di Danilevskij;
è un metodo per trovare la forma di Frobenius di una matrice.
Francesco Daddi[/quote]
forse sotto la voce Frobenius trovo qlc in +.
grazie
"karl":
Secondo me il metodo piu' veloce e' ...usare Matlab (se uno ce l'ha e non sta agli esami !!!)
Nella finestra di comando di Matlab ,si scrive ad esempio:
A=[1,-3;4,9]
Poi nella stessa finestra scrive:
p=poly(A) ed avra' come risposta : 1,-10,21.
Il polinomio caratteristico e' allora:
$p=lambda^2-10*lambda+21$
E se uno vuole "sboronare" puo' anche scrivere nella stessa finestra:
roots(p)
ed avra' come risposta :3,7 che sono gli autovalori della matrice A.
karl
Vabbè, ma così uno non impara nulla!
Io a mio tempo facevo a casa tutti i programmi in Turbo Pascal, il Fortran c'era solo
all'università. C'è più soddisfazione ad utilizzare un programma fatto da soli.
Francesco Daddi
Era solo una battuta:sono anch'io della stessa opinione.
Personalmemte uso i software matematici solo per programmare,
...finche' mi riesce.
Adesso sto usando Matlab e Maple in simbiosi tra loro:un vero spasso!!!
karl
Personalmemte uso i software matematici solo per programmare,
...finche' mi riesce.
Adesso sto usando Matlab e Maple in simbiosi tra loro:un vero spasso!!!
karl
"karl":
Era solo una battuta:sono anch'io della stessa opinione.
Personalmemte uso i software matematici solo per programmare,
...finche' mi riesce.
Adesso sto usando Matlab e Maple in simbiosi tra loro:un vero spasso!!!
karl
Anche io; Matlab per i calcoli numerici, Maple per quelli simbolici.
Mi piace fare le simulazioni, e da queste costruire dei modelli.
Mi dà il senso della scoperta, e poi è facile inventarsi problemi
difficili. Un matematico fa questo, no?!
Francesco Daddi
"franced":
Mi dà il senso della scoperta, e poi è facile inventarsi problemi
difficili. Un matematico fa questo, no?!
ecco perché la gente non sopporta i matematici
il bravo matematico cerca di rendere facile ciò che sembra difficile, scoprendo strade nascoste
semmai una cosa è importante: non nascondere le difficoltà come la polvere sotto il tappeto
Vorrei chiedere a Franced se adopera Matlab e Maple separati tra loro.
Penso che egli sappia che e' possibile usare Maple all'interno di Matlab e senza
nemmeno avere Maple...
karl
Penso che egli sappia che e' possibile usare Maple all'interno di Matlab e senza
nemmeno avere Maple...
karl
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