Operazioni tra matrici

[Nik232]

Sia $A=((-2,2),(3,-1)) in M^2(R)$ e siano $U$ e $W$ due sottospazi tali che : in $U$ = {$X in M^2(R) t.c. XA$ è simmetrica}
e $W$={$x in M^2(R) t.c. XA$ è diagonale}.

Sono nel pallone.. come posso procedere?? Io so che una matrice è simmetrica se sono simmetrici gli elementi rispetto alla diagonale principale e una matrice è diagonale se tutti gli elementi della che non sono appartenenti alla diagonale principale sono uguali a zero. Ora io avevo pensato di porre $X=((a,b),(c,d))$ fare il prodotto riga per colonna con la matrice $A$ ... e poi??? Nel caso di matrice simmetrica devo porre gli elementi di posto $a12$ e $a21$ uguali e risolvere il sistema? Solo che non saprei a cosa porre uguali gli elementi della diagonale principale... Grazie in anticipo a chi risponderà.

[Trilogy]

Ma l'immagine e il nucleo di cosa, scusa?

[Nik232]

Quando viene richiesta la dimensione di un sottospazio viene richiesta la dimensione del suo nucleo (numero di colonne meno il rango) , mentre se viene richiesta la dimensione dell'immagine quest'ultima è uguale al Rango.

[Trilogy]

Io so cosa sono il nucleo e l'immagine di un'applicazione.. Se poi non mi hanno insegnato qualcosa di fondamentale, allora chiedo scusa per l'ignoranza

[giuscri]

"Nik23":Quando viene richiesta la dimensione di un sottospazio viene richiesta la dimensione del suo nucleo (numero di colonne meno il rango) , mentre se viene richiesta la dimensione dell'immagine quest'ultima è uguale al Rango.

Falso.
Quando viene chiesta la dimensione di uno spazio vettoriale viene chiesta la cardinalita' del set di vettori che puo' funzionare da base. Ora, tu sai che di certo mettendo insieme le basi di \( U \) e quelle di \( W \) ottieni almeno un set di generatori di \( U + W \) --fatto piuttosto elementare-- ma dato che vuoi conoscerne la dimensione devi prendere una manciata dal set di partenza di modo che sia libera.
Come puoi sapere se un set di vettori e' libero o meno? Per esempio puoi accostarli uno in fila all'altro, ottenere una matrice nuova fiammante e calcolarne il suo rango.

Piccolo pit-stop sul rango di una matrice. Il rango e' lo status sociale di una matrice nel mondo delle matrici. Piu' le matrici hanno fra le loro viscere colonne linearmente indipendenti le une dalle altre, piu' sono fiche. Un modo molto in voga per il calcolo del rango di una matrice e' affidarsi alla procedura di Kronecker (ti prendi un minore; e' singolare? No? Tutti gli altri orlati sono singolari? Si? No? Forse? ...).

In questo caso, il calcolo del rango dovrebbe (non ho controllato i conti, ad essere onesto) essere \( 3 \), il che ti dice che la matrice ha solo \( 3 \) colonne linearmente indipendenti. ...ehy!, ma la matrice l'hai costruita tu: ogni colonna era un vettore nel sistema di generatori. Quindi significa che se prendi i \( 3 \) grammi giusti di vettori dal set di generatori hai trovato una base. *

Ti faccio notare che puoi convertire facilmente il sesso della discussione, dimostrando che il rango per righe di una matrice corrisponde al rango per colonne di una matrice.
In sostanza, mostrare che il rango della tua matrice e' \( 3 \) non solo ti dice che esistono \( 3 \) colonne linearmente indipendenti li dentro, ma anche che ci sono \( 3 \) righe linearmente indipendenti --che per come hai impostato tu il problema, e' piu' adatto.

Le ultime due cose (che in realta' andavano seriamente sottilineate all'inizio della discussione): (1) probabilmente il problema non ti chiede di studiare \( U \cup W \) --dato che in generale l'unione di due spazi vettoriali smette di essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto per un elemento del campo su cui e' costruito-- ma piuttosto \( U + W \); (2) dopo l'ultimo messaggio che hai mandato ti invito ad approfondire l'argomento con cattiveria e severita' perche' e' un vero casino.

Sempre a proposito del punto (2): quando dici che il rango di una matrice e' la dimensione dello spazio immagine, hai un'idea di chi sia lo spazio immagine?, di quale applicazione?...

___
* Come prendere quelli giusti? Vedi Kronecker. Se hai calcolato il rango comunque dovresti sapere quali sono i tre vettori linearmente indipendenti.

[Nik232]

Allora per quanto riguarda la dimensione.. hai pienamente ragione sono entrato in confusione, perchè la dimensione di un sottospazio vettoriale è uguale al numero di vettori L.I. Mentre per quanto riguarda $UuuW$ ho sbagliato io a scrivere perché chiedeva proprio $U+W$ , ma comunque quando ho svolto l'esercizio ero consapevole di ciò chiedeva e ho eseguito i calcoli per la somma di sottospazi e no come unione.
Sorry...