Operatore di chiusura
Ciao!
sono alle prese con questo esercizio che mi sta dando dei grattacapi: intanto definisco cosa si intende sul Manetti 'Operatore di chiusura'
Si chiede di dimostrare che per ogni struttura topologica l'applicazione $C:A|-> overline(A)$ sia un operatore di chiusura. Viceversa si chiede di dimostrare che per ogni operatore di chiusura $C$ su $X$ esiste un'unica struttura topologica rispetto alla quale $C(A)=overline(A)$.
La prima parte è banale, basta ricordare qualche proprietà della chiusura. L'altra parte mi sta dando un po' di fastidio: non so se l'idea di fondo sia giusta.
Pensavo di estrapolare una topologia definendo i chiusi. Ossia dato l'operatore di chiusura $C:P(X)->P(X)$ definire l'insieme dei chiusi come $tau_c={C(A) in P(X)| A in P(X)}$
Ho dimostrato che valgono due proprietà dei chiusi ossia che $emptyset, X$ stanno in $tau_c$ e la chiusura per unioni di famiglie finite di elementi. Mi resterebbe da dimostrare che intersezioni arbitrarie di quegli elementi stiano ancora lì dentro, ma ci sto perdendo un po' di tempo quindi vorrei dapprima sapere se quantomeno si tratti della strada giusta.
sono alle prese con questo esercizio che mi sta dando dei grattacapi: intanto definisco cosa si intende sul Manetti 'Operatore di chiusura'
Si chiede di dimostrare che per ogni struttura topologica l'applicazione $C:A|-> overline(A)$ sia un operatore di chiusura. Viceversa si chiede di dimostrare che per ogni operatore di chiusura $C$ su $X$ esiste un'unica struttura topologica rispetto alla quale $C(A)=overline(A)$.
La prima parte è banale, basta ricordare qualche proprietà della chiusura. L'altra parte mi sta dando un po' di fastidio: non so se l'idea di fondo sia giusta.
Pensavo di estrapolare una topologia definendo i chiusi. Ossia dato l'operatore di chiusura $C:P(X)->P(X)$ definire l'insieme dei chiusi come $tau_c={C(A) in P(X)| A in P(X)}$
Ho dimostrato che valgono due proprietà dei chiusi ossia che $emptyset, X$ stanno in $tau_c$ e la chiusura per unioni di famiglie finite di elementi. Mi resterebbe da dimostrare che intersezioni arbitrarie di quegli elementi stiano ancora lì dentro, ma ci sto perdendo un po' di tempo quindi vorrei dapprima sapere se quantomeno si tratti della strada giusta.
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