Omeomorfismi
Dovrei dimostrare che il disco e il quadrato in $RR^2$ sono omeomorfi e che il disco e $RR^2$ sono omeomorfi.
Il problema è che non so proprio come muovermi per costruire una funzione di questo tipo anche guardando esempi su vari libri: mi sembra che si tratti sempre di trovare funzioni stranissime che miracolosamente sono continue e dotate di inversa continua. Quindi se avete suggerimenti, sono molto ben accetti!!
Il problema è che non so proprio come muovermi per costruire una funzione di questo tipo anche guardando esempi su vari libri: mi sembra che si tratti sempre di trovare funzioni stranissime che miracolosamente sono continue e dotate di inversa continua. Quindi se avete suggerimenti, sono molto ben accetti!!
Risposte
Ti descrivo la costruzione geometrica dell'applicazione di $RR^2$ sul disco unitario $B^2:=\{(xi,eta) \in RR^2: xi^2+eta^2<1\}$ e lascio a te fare i conti.
Immergiamo $RR^2$ in $RR^3$ identificandolo col piano d'equazione $z=0$: in tal modo ogni punto $(xi ,eta) \in RR^2$ viene identificato col punto $P=(xi,eta,0) \in RR^3$.
Costruiamo la sfera di centro $C=(0,0,1)$ e raggio $1$, ossia $S:=\{ (x,y,z)\in RR^3: x^2+y^2+(z-1)^2=1\}$, e consideriamone solamente la calotta aperta inferiore $S_(-):=S\cap \{ (x,y,z)\in RR^3: z<1\}$. Evidentemente la proiezione di $S_-$ sul piano $z=0$ coincide con l'insieme corrispondente a $B^2$, cioè $\{ (x,y,z) \in RR^3: x^2+y^2<1 " e " z=0\}$.
Fissato un punto $(xi ,eta) \in RR^2$, per il corrispondente punto in $RR^3$, cioè $P=(xi ,eta,0)$, passa un'unica semiretta avente origine in $C$ che chiamiamo $r_P$. La semiretta $r_P$ interseca un'unica volta la semisfera $S_-$ in un punto $Q_P$: proiettando $Q_P$ sul piano $z=0$ si ottiene un unico punto $R_P=(x(xi, eta),y(xi,eta),0)$.
La funzione $f(xi,eta):= (x(xi,eta),y(xi,eta))$ è evidentemente biiettiva; facendo i conti in coordinate si vede che le sue componenti sono continue e così pure le componenti della sua inversa.
Pertanto $f$ è un isomorfismo tra $RR^2$ e $B^2$.
Immergiamo $RR^2$ in $RR^3$ identificandolo col piano d'equazione $z=0$: in tal modo ogni punto $(xi ,eta) \in RR^2$ viene identificato col punto $P=(xi,eta,0) \in RR^3$.
Costruiamo la sfera di centro $C=(0,0,1)$ e raggio $1$, ossia $S:=\{ (x,y,z)\in RR^3: x^2+y^2+(z-1)^2=1\}$, e consideriamone solamente la calotta aperta inferiore $S_(-):=S\cap \{ (x,y,z)\in RR^3: z<1\}$. Evidentemente la proiezione di $S_-$ sul piano $z=0$ coincide con l'insieme corrispondente a $B^2$, cioè $\{ (x,y,z) \in RR^3: x^2+y^2<1 " e " z=0\}$.
Fissato un punto $(xi ,eta) \in RR^2$, per il corrispondente punto in $RR^3$, cioè $P=(xi ,eta,0)$, passa un'unica semiretta avente origine in $C$ che chiamiamo $r_P$. La semiretta $r_P$ interseca un'unica volta la semisfera $S_-$ in un punto $Q_P$: proiettando $Q_P$ sul piano $z=0$ si ottiene un unico punto $R_P=(x(xi, eta),y(xi,eta),0)$.
La funzione $f(xi,eta):= (x(xi,eta),y(xi,eta))$ è evidentemente biiettiva; facendo i conti in coordinate si vede che le sue componenti sono continue e così pure le componenti della sua inversa.
Pertanto $f$ è un isomorfismo tra $RR^2$ e $B^2$.
Che libro stai usando? Questo risultato è (secondo me) spiegato molto bene sul Sernesi 2.
Ti consiglio di ragionare in termini geometrici. La sensazione che hai di funzioni uscite dall'uovo di Pasqua (se posso riassumere così
) è dovuta al fatto che non vedi il senso geometrico delle cose.
Ad esempio, dimostriamo che il disco aperto di raggio 1 e $RR^2$ sono omeomorfi. L'idea è partire dalle omotetie: se prendiamo un altro disco, di raggio $M>0$, l'omotetia di fattore $M$ trasformerà il primo disco nel secondo. E che l'omotetia sia omeomorfismo non ci piove (*).
Però, per quanto prendiamo $M$ grande, non riusciamo mai ad arrivare a coprire tutto $RR^2$. Allora fabbrichiamo una sorta di "omotetia di fattore variabile":
[asvg]xmin=-4.5; xmax=1; ymin=-1; ymax=4; axes(); circle ([0,0], 1); dot([0.3, 0.3]); marker="arrow"; line([0.3, 0.3], [1,1]);dot([-0.55, 0.55]); line([-0.55, 0.55], [-3, 3]);marker="none"; line([0,0], [0.3, 0.3]); line([0,0], [-0.55, 0.55]);[/asvg]
La nostra applicazione dovrà espandere il cerchio in modo tale da investire tutto il piano. Quindi il punto a destra, che è lontano dal bordo, verrà spostato di poco. Invece il punto a sinistra, prossimo al bordo, verrà "sparato" lontano. E più ci avviciniamo al bordo, più lontano verranno sparati i punti. Quanto lontano? Di una distanza che tende a $+infty$ all'avvicinarsi del punto al bordo.
Questa è l'idea geometrica. Formalmente, che ne dici dell'applicazione che manda un punto $x$ interno al cerchio (quindi $||x||<1$) in $x/(1-||x||)$? Mi pare che catturi l'idea del disegno di sopra. Fai tutti i controlli del caso però (io non li ho fatti).
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Gugo.
Ti consiglio di ragionare in termini geometrici. La sensazione che hai di funzioni uscite dall'uovo di Pasqua (se posso riassumere così
) è dovuta al fatto che non vedi il senso geometrico delle cose.Ad esempio, dimostriamo che il disco aperto di raggio 1 e $RR^2$ sono omeomorfi. L'idea è partire dalle omotetie: se prendiamo un altro disco, di raggio $M>0$, l'omotetia di fattore $M$ trasformerà il primo disco nel secondo. E che l'omotetia sia omeomorfismo non ci piove (*).
Però, per quanto prendiamo $M$ grande, non riusciamo mai ad arrivare a coprire tutto $RR^2$. Allora fabbrichiamo una sorta di "omotetia di fattore variabile":
[asvg]xmin=-4.5; xmax=1; ymin=-1; ymax=4; axes(); circle ([0,0], 1); dot([0.3, 0.3]); marker="arrow"; line([0.3, 0.3], [1,1]);dot([-0.55, 0.55]); line([-0.55, 0.55], [-3, 3]);marker="none"; line([0,0], [0.3, 0.3]); line([0,0], [-0.55, 0.55]);[/asvg]
La nostra applicazione dovrà espandere il cerchio in modo tale da investire tutto il piano. Quindi il punto a destra, che è lontano dal bordo, verrà spostato di poco. Invece il punto a sinistra, prossimo al bordo, verrà "sparato" lontano. E più ci avviciniamo al bordo, più lontano verranno sparati i punti. Quanto lontano? Di una distanza che tende a $+infty$ all'avvicinarsi del punto al bordo.
Questa è l'idea geometrica. Formalmente, che ne dici dell'applicazione che manda un punto $x$ interno al cerchio (quindi $||x||<1$) in $x/(1-||x||)$? Mi pare che catturi l'idea del disegno di sopra. Fai tutti i controlli del caso però (io non li ho fatti).
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Gugo.
"dissonance":
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Gugo.
E l'idea è la stessa, anche se realizzata con mezzi diversi.
Perdonami, non dovrebbe essere $x/(1+|x|)$?
Perdonatemi se intervengo, solo per una questione di pignoleria.
Quello che dite è quasi giusto, ma bisogna fare una osservazione. Da quello che dice Gugo, sembra che egli non faccia distinzione tra proiezione ortogonale sul piano z=0 e proiezione lungo le rette $r_P$ da lui indicate. In relatà la funzione "giusta" è la composizione di queste due proiezioni. In pratica se chiamiamo
$\pi_z:S_{-} \rightarrow R^2$ e $\phi:S_{-} \rightarrow R^2$
poiché $\pi_z(S_-)=B^2$ e tale proiezione risulta biunivoca tra gli insiemi $S_-$ e $B^2$, così come risulta biunivoca la funzione $\phi$ (proiezione stereografica) allora risulta biunivoca anche la composta $\Phi=\phi\circ\pi_z^{-1}:B^2\rightarrow R^2$ (la continuità di questa funzione e della sua inversa è facile da verificare). L'omeomorfismo è allora la funzione $\Phi$ (Gugo aveva considerato solo la proiezione stereografica, anche se sottindendeva di comporla con la proiezione ortogonale).
Quello che dite è quasi giusto, ma bisogna fare una osservazione. Da quello che dice Gugo, sembra che egli non faccia distinzione tra proiezione ortogonale sul piano z=0 e proiezione lungo le rette $r_P$ da lui indicate. In relatà la funzione "giusta" è la composizione di queste due proiezioni. In pratica se chiamiamo
$\pi_z:S_{-} \rightarrow R^2$ e $\phi:S_{-} \rightarrow R^2$
poiché $\pi_z(S_-)=B^2$ e tale proiezione risulta biunivoca tra gli insiemi $S_-$ e $B^2$, così come risulta biunivoca la funzione $\phi$ (proiezione stereografica) allora risulta biunivoca anche la composta $\Phi=\phi\circ\pi_z^{-1}:B^2\rightarrow R^2$ (la continuità di questa funzione e della sua inversa è facile da verificare). L'omeomorfismo è allora la funzione $\Phi$ (Gugo aveva considerato solo la proiezione stereografica, anche se sottindendeva di comporla con la proiezione ortogonale).
Non ho sottointeso molto.
Se osservi la $f$ ti accorgi che è fatta con le prime due coordinate della proiezione stereografica; quindi è in sostanza la proiezione ortogonale di questa.
Il discorso era volutamente dimesso e meno formale possibile.
Se osservi la $f$ ti accorgi che è fatta con le prime due coordinate della proiezione stereografica; quindi è in sostanza la proiezione ortogonale di questa.
Il discorso era volutamente dimesso e meno formale possibile.
Ok Gugo, ma se le cose uno le dimostra, lo deve fare nella maniera più formale possibile. Parliamo di matematica, non di filosofia da bar il lunedì mattina! 
"ciampax":
Ok Gugo, ma se le cose uno le dimostra, lo deve fare nella maniera più formale possibile. Parliamo di matematica, non di filosofia da bar il lunedì mattina!
Ecco, un altro niubbo* che mi accusa di non essere formale. Ma che succede negli ultimi tempi?
Ti direi di controllare come procedo di solito nei miei post, ma sono troppi.
Vabbè, lasciamo perdere... Amici come prima.
__________
* Bene inteso, qui sul forum.
@ Gugo:
Non so, mi stai facendo venire il dubbio di avere sbagliato. Forse abbiamo in mente due cose diverse... Io metterei $1-||x||$ a denominatore, così quando $x$ si avvicina al bordo del cerchio (i.e. quando $||x||\to1$), il denominatore tende a 0 restando positivo. E così la norma di $x/(1-||x||)$ diventa arbitrariamente grande.
Ripeto, per GreenLink: a questo punto l'esercizio non è comunque finito. Ci sono da fare alcune verifiche: c'è da mostrare che $x/(1-||x||)$ è continua (e questo è immediato), invertibile e con l'inversa continua.
In casi come questo di solito la maniera migliore di procedere è anche quella più brutale: trova l'applicazione inversa (sempre con lo stesso ragionamento geometrico, se vuoi ti aiuto) e stabilisci se è continua o meno.
Perdonami, non dovrebbe essere $x/(1+|x|)$?
Non so, mi stai facendo venire il dubbio di avere sbagliato. Forse abbiamo in mente due cose diverse... Io metterei $1-||x||$ a denominatore, così quando $x$ si avvicina al bordo del cerchio (i.e. quando $||x||\to1$), il denominatore tende a 0 restando positivo. E così la norma di $x/(1-||x||)$ diventa arbitrariamente grande.
Ripeto, per GreenLink: a questo punto l'esercizio non è comunque finito. Ci sono da fare alcune verifiche: c'è da mostrare che $x/(1-||x||)$ è continua (e questo è immediato), invertibile e con l'inversa continua.
In casi come questo di solito la maniera migliore di procedere è anche quella più brutale: trova l'applicazione inversa (sempre con lo stesso ragionamento geometrico, se vuoi ti aiuto) e stabilisci se è continua o meno.
Scusa dissonance, avevo letto male.
Tu parti da $B^2$ e vai a finire in $RR^2$; io avevo capito che tu procedessi all'inverso, da $RR^2$ in $B^2$.
Infatti $f(x)=1/(1+|x|)x$ porta $RR^2$ su $B^2$ (si verifica facendo un po' di conti; ad esempio ogni retta $r$ condotta per l'origine si trasforma nel diametro $r\cap B^2$ da essa individuato, mentre ogni circonferenza $rho S^1$ avente centro nell'origine si trasforma nella circonferenza $rho/(1+rho)S^1$ evidentemente contenuta in $B^2$).
Tu parti da $B^2$ e vai a finire in $RR^2$; io avevo capito che tu procedessi all'inverso, da $RR^2$ in $B^2$.
Infatti $f(x)=1/(1+|x|)x$ porta $RR^2$ su $B^2$ (si verifica facendo un po' di conti; ad esempio ogni retta $r$ condotta per l'origine si trasforma nel diametro $r\cap B^2$ da essa individuato, mentre ogni circonferenza $rho S^1$ avente centro nell'origine si trasforma nella circonferenza $rho/(1+rho)S^1$ evidentemente contenuta in $B^2$).
E questo è un ottimo suggerimento per GreenLink. Vuoi vedere che le due applicazioni di cui parliamo io e Gugo sono una l'inversa dell'altra?
"Gugo82":
Ecco, un altro niubbo* che mi accusa di non essere formale. Ma che succede negli ultimi tempi?
Ti direi di controllare come procedo di solito nei miei post, ma sono troppi.
Vabbè, lasciamo perdere... Amici come prima.
__________
* Bene inteso, qui sul forum.
Niubbo? Che cavolo significa niubbo? E poi io mica ti stavo criticando! Sto solo dicendo che in matematica si parla matematichese. Non puoi dire le cose a spizzichi e mozzichi! Se facessi così con i miei studenti o mi accontentassi di accettare mezze risposte quando gli esamino o, peggio ancora, mi accontentassi di scrivere "Si vede" quando faccio una dimostrazione in qualche articolo, sai che casini verrebbero fuori?
Mi dispiace se ti sei offeso (cosa che non era nelle mie intenzioni), ma se devi dimostrare qualcosa devi farlo! Punto.
Inoltre le applicazioni di cui parlate tu (Gugo) e Dissonance sono una l'inversa dell'altra!
Ringrazio tutti per le risposte, anche se rimango dell'idea che partire dall'intuizione geometrica di deformare le figure per portare una nell'altra per trovare l'omeomorfismo esplicitamente sia tutt'altro che semplice; mi sbaglierò ma è l'impressione che ho vedendo questo tipo di esercizi per la prima volta.
Ti abituerai all'idea facendo esercizi e studiando la teoria.
In effetti la Topologia è lo studio delle deformazioni continue e dei loro invarianti.
Un esempio semplice di invariante topologica è il "numero di buchi" su una superficie: immagina di avere un foglio di plastica, tipo lattice, e di forarlo un certo numero $n$ di volte; ora se deformi il foglio facendo attenzione a non strapparlo ed a non piegarlo su se stesso (quello che stai facendo, matematicamente, è applicare al foglio una funzione biiettiva e bicontinua, ossia un isomorfismo) trovi che alla fine il numero di buchi del foglio deformato è proprio $n$.
Analogamente, se il foglio iniziale era fatto tutto d'un pezzo, allora dopo la suddetta deformazione continui ad avere un unico pezzo (dire che la connessione è un invariante topologico significa proprio questo).
Insomma, i concetti topologici sono astrazioni da esperienze quotidiane molto più immediate di quanto non sembrino.
Pensa solamente a quando hai cominciato a disegnare: se ti dicevano di fare un omino dentro una casetta, tu mica lo mettevi fuori, oppure su una parete?
Scommetto che l'omino lo disegnavi proprio dentro... Ed applicavi la definizione di punto interno senza saperlo.
In effetti la Topologia è lo studio delle deformazioni continue e dei loro invarianti.
Un esempio semplice di invariante topologica è il "numero di buchi" su una superficie: immagina di avere un foglio di plastica, tipo lattice, e di forarlo un certo numero $n$ di volte; ora se deformi il foglio facendo attenzione a non strapparlo ed a non piegarlo su se stesso (quello che stai facendo, matematicamente, è applicare al foglio una funzione biiettiva e bicontinua, ossia un isomorfismo) trovi che alla fine il numero di buchi del foglio deformato è proprio $n$.
Analogamente, se il foglio iniziale era fatto tutto d'un pezzo, allora dopo la suddetta deformazione continui ad avere un unico pezzo (dire che la connessione è un invariante topologico significa proprio questo).
Insomma, i concetti topologici sono astrazioni da esperienze quotidiane molto più immediate di quanto non sembrino.
Pensa solamente a quando hai cominciato a disegnare: se ti dicevano di fare un omino dentro una casetta, tu mica lo mettevi fuori, oppure su una parete?
Scommetto che l'omino lo disegnavi proprio dentro... Ed applicavi la definizione di punto interno senza saperlo.
"Gugo82":
un altro ... che mi accusa di non essere formale. Ma che succede negli ultimi tempi?
Oddio, il mondo arrovescio! Ma sai che ti dico? Ben ti sta!
Oddio, ma io non volevo mica offenderlo!
Semplicemente mi era piaciuto quello che aveva detto, ma mi dava l'idea di non aver sottolineato il fatto che non basta una applicazione per costruire l'omeomorfismo, ma due (ed è una cosa che al tipo che aveva postato la richiesta non era risultata molto evidente!). Ecco tutto!
Ok, sorry, faccio ammenda, ma purtroppo le critiche mi escono così, che ci posso fare? La prossima volta riempio i post di smiles!
Semplicemente mi era piaciuto quello che aveva detto, ma mi dava l'idea di non aver sottolineato il fatto che non basta una applicazione per costruire l'omeomorfismo, ma due (ed è una cosa che al tipo che aveva postato la richiesta non era risultata molto evidente!). Ecco tutto!
Ok, sorry, faccio ammenda, ma purtroppo le critiche mi escono così, che ci posso fare? La prossima volta riempio i post di smiles!
Ma no, è che non conosci bene Gugo!
E' un formalista fastidiosissimo.
E' un formalista fastidiosissimo.
Ok lo terrò a mente!
[OT]
Fioravante, arrivi tardi... Ciampax ed io ci eravamo già scannati via PM!
P.S.: Fastidiosissimo a chi???
[/OT]
Fioravante, arrivi tardi... Ciampax ed io ci eravamo già scannati via PM!
P.S.: Fastidiosissimo a chi???
[/OT]
"Gugo82":
P.S.: Fastidiosissimo a chi???
[/OT]
agli uomini di panza
"Fioravante Patrone":
[quote="Gugo82"]P.S.: Fastidiosissimo a chi???
[/OT]
agli uomini di panza
[/quote]Ha parlato il tirchio genovese...
Io sono magro! (Anche se un po' di pancetta l'ho messa durante la stesura della tesi...
)E poi Panza sta a Ischia, io sono di Napoli!!!
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