Matrici simili

[salsa88]

Chi mi può dare una mano?
Date le 2 matrici A e B, provare che sono simili.

A=$((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ B=$((1,0,0),(2,1,0),(3,2,1))$


So che per essere simili deve esistere una matrice M tale che A=(M^-1)BM ma nella pratica non lo so fare.

[franced]

"Martino":@franced: aah ora ho capito! Scusa ancora, hai ragione, ho proprio interpretato male
Anche a me piacciono gli esercizi stile "trabocchetto".

Lo studente medio crede che il professore sia "cattivo" e "spietato", ma non è così.
Non dico che questo sia l'unico modo per valutare, ma di certo è una parte
a mio avviso importantissima.
Questi "trabocchetti" stimolano spesso ulteriori approfondimenti e aiutano
a fissare le idee.

[Camillo]

"salsa88":[quote="salsa88"]Chi mi può dare una mano?
Date le 2 matrici A e B, provare che sono simili.

A=$((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ B=$((1,0,0),(2,1,0),(3,2,1))$

Tornando a questo esercizio...dal sistema ricavo le seguenti soluzioni:
[a - 4·i = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0 ∧ d - 2·h - 3·i = 0 ∧ e - 2·i = 0 ∧ f = 0]
quindi non riesco a trovare i valori reali di a,b,c,d,e,f,g,h,i... questo vuol dire ke le matrici A e B non sono simili??
P.s. l'esercizio però diceva di provare ke lo fossero...quindi forse devono essere simili, o no?[/quote]

Le due matrici hanno la stessa traccia e lo stesso determinante.
Entrambe non sono diagonalizzabili.
Allora bisogna cercare se esiste la matrice di passaggio P ( non singolare).
Facendo i conti ( speriamo bene !!!) ottengo che

$ a= 2e ; b=0 ;c=0 ; d=2h+3e/2; e=e ; f=0; g=g; h=h $, avedno espresso le incognite in funzione dei parametri $ e,g,h $.
Quindi ho $oo^3$ matrici di passaggio.

Pertanto $P = ((2e,0,0),((2h+3e/2),e,0),(g,h,e/2))$ .
Perchè $P$ sia veramente una matrice di passaggio bisogna abbia determinante $ne 0 $ .
Chiaramente $det P =e^3 $. Quindi se $ e ne 0 $ allora $P$ è matrice di passaggio.
Ne scrivo una tra le $oo^3 $ possibili scegliendo valori comodi $ e=1, h=g=0 $ .
Ecco alla fine

$ P= ((2,0,0),(3/2,1,0),(0,0,1/2)) $ .
Si potrebbe fare la prova che tutti i conti son giusti verificando che si ha veramente $AP=PB $ !!! Derive dice che i conti son corretti e quindi le due matrici sono simili.

[franced]

"Camillo":
A=$((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ B=$((1,0,0),(2,1,0),(3,2,1))$

....

Le due matrici hanno la stessa traccia e lo stesso determinante.
Entrambe non sono diagonalizzabili.
Allora bisogna cercare se esiste la matrice di passaggio P ( non singolare).

Ma non si fa prima a calcolare la forma di Jordan?
Mi calcolo le matrici di passaggio e poi è un gioco da ragazzi mettere tutto insieme.

Esempio, con 2 matrici simili $M$ e $N$:

$M = P J_M P^(-1)$

$N = Q J_N Q^(-1)$

visto che $M$ e $N$ sono simili risulta

$J_M = J_N = J$

ricaviamoci ora $J$ dalla relazione che riguarda la matrice $N$:

$J = Q^(-1) N Q$

ed otteniamo infine

$M = P (Q^(-1) N Q) P^(-1)$

che possiamo riscrivere così:

$M = (PQ^(-1)) N (PQ^(-1))^(-1)$ .

[Camillo]

Che sappia io la forma di Jordan non fa parte dei programmi di Algebra lineare in tutti i CdL.
Se vuoi farlo vedere son sicuro sarà cosa gradita a molti.!

[franced]

"Camillo":Che sappia io la forma di Jordan non fa parte dei programmi di Algebra lineare in tutti i CdL.
Se vuoi farlo vedere son sicuro sarà cosa gradita a molti.!

Mesi fa feci un esempio di risoluzione con Jordan, ora lo cerco..

[franced]

"franced":[quote="Camillo"]Che sappia io la forma di Jordan non fa parte dei programmi di Algebra lineare in tutti i CdL.
Se vuoi farlo vedere son sicuro sarà cosa gradita a molti.!

Mesi fa feci un esempio di risoluzione con Jordan, ora lo cerco..[/quote]

Ecco, la ricerca ha dato i suoi frutti:


https://www.matematicamente.it/forum/aiu ... tml#204448


Dovete guardare il mio intervento più lungo, dove c'è un esempio
numerico con la forma di Jordan.

[salsa88]

"Camillo":[quote="salsa88"][quote="salsa88"]Chi mi può dare una mano?
Date le 2 matrici A e B, provare che sono simili.

A=$((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ B=$((1,0,0),(2,1,0),(3,2,1))$

Tornando a questo esercizio...dal sistema ricavo le seguenti soluzioni:
[a - 4·i = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0 ∧ d - 2·h - 3·i = 0 ∧ e - 2·i = 0 ∧ f = 0]
quindi non riesco a trovare i valori reali di a,b,c,d,e,f,g,h,i... questo vuol dire ke le matrici A e B non sono simili??
P.s. l'esercizio però diceva di provare ke lo fossero...quindi forse devono essere simili, o no?[/quote]

Le due matrici hanno la stessa traccia e lo stesso determinante.
Entrambe non sono diagonalizzabili.
Allora bisogna cercare se esiste la matrice di passaggio P ( non singolare).
Facendo i conti ( speriamo bene !!!) ottengo che

$ a= 2e ; b=0 ;c=0 ; d=2h+3e/2; e=e ; f=0; g=g; h=h $, avedno espresso le incognite in funzione dei parametri $ e,g,h $.
Quindi ho $oo^3$ matrici di passaggio.

Pertanto $P = ((2e,0,0),((2h+3e/2),e,0),(g,h,e/2))$ .
Perchè $P$ sia veramente una matrice di passaggio bisogna abbia determinante $ne 0 $ .
Chiaramente $det P =e^3 $. Quindi se $ e ne 0 $ allora $P$ è matrice di passaggio.
Ne scrivo una tra le $oo^3 $ possibili scegliendo valori comodi $ e=1, h=g=0 $ .
Ecco alla fine

$ P= ((2,0,0),(3/2,1,0),(0,0,1/2)) $ .
Si potrebbe fare la prova che tutti i conti son giusti verificando che si ha veramente $AP=PB $ !!! Derive dice che i conti son corretti e quindi le due matrici sono simili.[/quote]

Grazie Camillo x l'aiuto...è tutto chiaro.