Matrici simili
Chi mi può dare una mano?
Date le 2 matrici A e B, provare che sono simili.
A=$((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ B=$((1,0,0),(2,1,0),(3,2,1))$
So che per essere simili deve esistere una matrice M tale che A=(M^-1)BM ma nella pratica non lo so fare.
Date le 2 matrici A e B, provare che sono simili.
A=$((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ B=$((1,0,0),(2,1,0),(3,2,1))$
So che per essere simili deve esistere una matrice M tale che A=(M^-1)BM ma nella pratica non lo so fare.
Risposte
Non sono riuscito a scriverle meglio di così A è la rossa B è la verde
Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Ciao
Ciao
$A=((100),(110),(011))$ si ottiene racchiudendo tra i simboli di dollaro questa stringa:
A=((100),(110),(011))
Direi che (e qusto vale solo in dimensione minore od uguale a 3...) quando hai verificato che $A$ e $B$ hanno lo stesso polinomio caratteristico e minimo, hai finito l'esercizio...
Fissando i 2 polinomi, si determina univocamente (ad esempio) la forma di Jordan associata. E' quindi chiaro che, presa una matrice con la stessa coppia di polinomi, sarà simile a quella di partenza (la similitudine tra matrici è una relazione d'equivalenza, dunque transitiva...)
A=((100),(110),(011))
Direi che (e qusto vale solo in dimensione minore od uguale a 3...) quando hai verificato che $A$ e $B$ hanno lo stesso polinomio caratteristico e minimo, hai finito l'esercizio...
Fissando i 2 polinomi, si determina univocamente (ad esempio) la forma di Jordan associata. E' quindi chiaro che, presa una matrice con la stessa coppia di polinomi, sarà simile a quella di partenza (la similitudine tra matrici è una relazione d'equivalenza, dunque transitiva...)
Quoto. In generale il metodo più semplice per quello che chiedi è quello di risolvere il sistema MA=BM, dove le entrate della matrice M sono incognite.
Finchè sei in dimensione 3 o 4 lo puoi ancora fare (sistema di 9 equazioni o 16 incognite).
Se cominci a salire di dimensione il sistema cresce ovviamente e non ti conviene più a meno che tu non voglia scrivere papiri e papiri di conti.
Allora si usano altre strade. Ad esempio usi una forma canonica. Una forma canonica è un "tipo di matrice" con una determinata struttura.
L'esempio pratico è la forma di Jordan. Ogni matrice è simile alla sua forma di Jordan. E c'è un modo per costruirla. Dato che la similitudine è un'equivalenza se trovi che due matrici hanno la stessa forma di Jordan allora sono simili tra loro.
Nel caso delle matrici che hai postato la prima è già in forma di Jordan. Se porti la seconda in forma di Jordan ottieni la prima.
Finchè sei in dimensione 3 o 4 lo puoi ancora fare (sistema di 9 equazioni o 16 incognite).
Se cominci a salire di dimensione il sistema cresce ovviamente e non ti conviene più a meno che tu non voglia scrivere papiri e papiri di conti.
Allora si usano altre strade. Ad esempio usi una forma canonica. Una forma canonica è un "tipo di matrice" con una determinata struttura.
L'esempio pratico è la forma di Jordan. Ogni matrice è simile alla sua forma di Jordan. E c'è un modo per costruirla. Dato che la similitudine è un'equivalenza se trovi che due matrici hanno la stessa forma di Jordan allora sono simili tra loro.
Nel caso delle matrici che hai postato la prima è già in forma di Jordan. Se porti la seconda in forma di Jordan ottieni la prima.
"frodo4":
Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Ciao
Condizione necessaria, non certo sufficiente!
Si pensi a $C=((11),(01))$ e $D=((10),(01))$ il loro polinomio caratteristico è $P_C(x)=P_D(x)=(x-1)^2$ ma non sono simili (ad esempio $C$ non è diagonalizzabile...)
"Megan00b":
Ogni matrice è simile alla sua forma di Jordan. E c'è un modo per costruirla
Come si fa??
"Flabia":
[quote="Megan00b"] Ogni matrice è simile alla sua forma di Jordan. E c'è un modo per costruirla
Come si fa??[/quote]
E' una storia lunga... Prova a guardare qui:
http://www.math.unipd.it/%7Ecandiler/didafiles/pdf-files/Autoval.pdf
Vuoi sapere come si fa praticamente (la ricetta insomma) o perchè e cosa c'è dietro?
Mi serve proprio la "ricetta"...sulla teoria che ci sta dietro ho trovato un sacco di materiale!
Il fatto è che sto preparando un esame di automatica che tra le varie cose "contiene" anche questa, non viene richiesto nessun formalismo ma solo di "saper fare" le cose...il problema è che applicando il metodo spiegato dal prof nessuna matrice viene in forma di Jordan,neanche quella che ha usato lui come esempio!Immagino che abbia fatto qualche errore o io prendendo appunti o lui spiegando....
Ho a che fare solo con matrici di numeri reali
Il fatto è che sto preparando un esame di automatica che tra le varie cose "contiene" anche questa, non viene richiesto nessun formalismo ma solo di "saper fare" le cose...il problema è che applicando il metodo spiegato dal prof nessuna matrice viene in forma di Jordan,neanche quella che ha usato lui come esempio!Immagino che abbia fatto qualche errore o io prendendo appunti o lui spiegando....
Ho a che fare solo con matrici di numeri reali
Innanzitutto per trovare la forma di Jordan è necessario che tu sappia calcolare il polinomio caratteristico e il polinomio minimo di una matrice. Dal polinomio caratteristico come sai calcoli gli autovalori che sono le sue radici. Se p(t) e m(t) sono questi due polinomi e $sp(A)={t1,...tn}$ sono gli autovalori contati con le relative molteplicità allora un teorema ti dice che: A è simile ad una matrice J diagonale a blocchi con tanti blocchi quanti sono gli autovalori distinti di A. Chimiamo $J_i$ il blocco relativo all'autovalore $t_i$ ed esso ha ordine pari alla molteplicità algebrica dell'autovalore.
Ogni blocco $J_i$ è a sua volta diagonale a blocchi con tanti blocchi $C_i^j$ quant'è la molteplicità geometrica dell'autovalore che stai considerando.
Ognuno dei blocchi è della forma $((t_i,1,,),(,ddots,ddots,),(,,t_i,1),(,,,t_i))$, cioè ha l'autovalore su tutti gli elementi della diagonale e tutti 1 sulla sopradiagonale (occhio in quello che hai postato tu gli uni erano sulla sottodiagonale ma è la stessa cosa, basta che decidi quale ti piace di più e usi sempre la stessa scelta).
Nel caso della tua matrice B ad esempio:
$p(t)=(1-t)^3$ e quindi B ha il solo autovalore 3 con molteplicità algebrica 3.
La sua forma di Jordan è quindi composta da un blocco $J_1$ di ordine 3.
Poichè $(A-I)!=0$ e $(A-I^2)!=0$ necessariamente $m(t)=p(t)$.
Allora l'autovalore 1 ha molteplicità geometrica 1. Quindi $J_1$ è costituita da un solo blocco del tipo che ti ho scritto sopra (o il suo trasposto) che è proprio la matrice A (o la sua trasposta).
Vedi un po' se sono stato abbastanza chiaro. Altrimenti dimmi cosa non ti torna.
Ciao.
Ogni blocco $J_i$ è a sua volta diagonale a blocchi con tanti blocchi $C_i^j$ quant'è la molteplicità geometrica dell'autovalore che stai considerando.
Ognuno dei blocchi è della forma $((t_i,1,,),(,ddots,ddots,),(,,t_i,1),(,,,t_i))$, cioè ha l'autovalore su tutti gli elementi della diagonale e tutti 1 sulla sopradiagonale (occhio in quello che hai postato tu gli uni erano sulla sottodiagonale ma è la stessa cosa, basta che decidi quale ti piace di più e usi sempre la stessa scelta).
Nel caso della tua matrice B ad esempio:
$p(t)=(1-t)^3$ e quindi B ha il solo autovalore 3 con molteplicità algebrica 3.
La sua forma di Jordan è quindi composta da un blocco $J_1$ di ordine 3.
Poichè $(A-I)!=0$ e $(A-I^2)!=0$ necessariamente $m(t)=p(t)$.
Allora l'autovalore 1 ha molteplicità geometrica 1. Quindi $J_1$ è costituita da un solo blocco del tipo che ti ho scritto sopra (o il suo trasposto) che è proprio la matrice A (o la sua trasposta).
Vedi un po' se sono stato abbastanza chiaro. Altrimenti dimmi cosa non ti torna.
Ciao.
Ecco delle osservazioni utili per decidere se due matrici $A,B$ sono simili :
-calcolare $det A; det B $ : se $det A ne det B $ le matrici NON sono simili, altrimenti
- calcolare i polinomi caratteristici di $ A$ e $B $ : se sono diversi le matrici $A,B $ NON sono simili, altrimenti
-decidere se $A, B$ sono diagonalizzabili :
--------- se $A$ e $B $ sono entrambe diagonalizzabili , avendo gli stessi autovalori , sono simili alla stessa matrice diagonale e quindi simili tra loro
--------- se una delle due matrici è diagonalizzabile e l'altra no , le due matrici $ A, B $ NON sono simili,
--------- se $A$ e $B$ non sono diagonalizzabili, bisogna vedere direttamente se esiste una matrice $P$ non singolare (dello stesso ordine di $A$ e $B$ ) tale che $ AP=PB $. Se tale matrice esiste $A,B $ sono simili ( infatti essendo $P$ non singolare si ha subito che $P^(-1)AP = B $ ) , altrimenti NON sono simili.
-calcolare $det A; det B $ : se $det A ne det B $ le matrici NON sono simili, altrimenti
- calcolare i polinomi caratteristici di $ A$ e $B $ : se sono diversi le matrici $A,B $ NON sono simili, altrimenti
-decidere se $A, B$ sono diagonalizzabili :
--------- se $A$ e $B $ sono entrambe diagonalizzabili , avendo gli stessi autovalori , sono simili alla stessa matrice diagonale e quindi simili tra loro
--------- se una delle due matrici è diagonalizzabile e l'altra no , le due matrici $ A, B $ NON sono simili,
--------- se $A$ e $B$ non sono diagonalizzabili, bisogna vedere direttamente se esiste una matrice $P$ non singolare (dello stesso ordine di $A$ e $B$ ) tale che $ AP=PB $. Se tale matrice esiste $A,B $ sono simili ( infatti essendo $P$ non singolare si ha subito che $P^(-1)AP = B $ ) , altrimenti NON sono simili.
"Camillo":
Ecco delle osservazioni utili per decidere se due matrici $A,B$ sono simili :
-calcolare $det A; det B $ : se $det A ne det B $ le matrici NON sono simili, altrimenti
- calcolare i polinomi caratteristici di $ A$ e $B $ : se sono diversi le matrici $A,B $ NON sono simili, altrimenti
-decidere se $A, B$ sono diagonalizzabili :
--------- se $A$ e $B $ sono entrambe diagonalizzabili , avendo gli stessi autovalori , sono simili alla stessa matrice diagonale e quindi simili tra loro
--------- se una delle due matrici è diagonalizzabile e l'altra no , le due matrici $ A, B $ NON sono simili,
--------- se $A$ e $B$ non sono diagonalizzabili, bisogna vedere direttamente se esiste una matrice $P$ non singolare (dello stesso ordine di $A$ e $B$ ) tale che $ AP=PB $. Se tale matrice esiste $A,B $ sono simili ( infatti essendo $P$ non singolare si ha subito che $P^(-1)AP = B $ ) , altrimenti NON sono simili.
Se posso aggiungere un'osservazione...
2 matrici simili hanno la stessa traccia (la traccia è la somma dei termini in diagonale...). Quindi se 2 matrici hanno traccia diversa non sono simili...
"Dorian":
Se posso aggiungere un'osservazione...
2 matrici simili hanno la stessa traccia (la traccia è la somma dei termini in diagonale...). Quindi se 2 matrici hanno traccia diversa non sono simili...
Ma questo controllo lo fai già quando confronti i polinomi caratteristici...o sbaglio?
"Camillo":
Ecco delle osservazioni utili per decidere se due matrici $A,B$ sono simili :
-calcolare $det A; det B $ : se $det A ne det B $ le matrici NON sono simili, altrimenti
- calcolare i polinomi caratteristici di $ A$ e $B $ : se sono diversi le matrici $A,B $ NON sono simili, altrimenti
-decidere se $A, B$ sono diagonalizzabili :
--------- se $A$ e $B $ sono entrambe diagonalizzabili , avendo gli stessi autovalori , sono simili alla stessa matrice diagonale e quindi simili tra loro
--------- se una delle due matrici è diagonalizzabile e l'altra no , le due matrici $ A, B $ NON sono simili,
--------- se $A$ e $B$ non sono diagonalizzabili, bisogna vedere direttamente se esiste una matrice $P$ non singolare (dello stesso ordine di $A$ e $B$ ) tale che $ AP=PB $. Se tale matrice esiste $A,B $ sono simili ( infatti essendo $P$ non singolare si ha subito che $P^(-1)AP = B $ ) , altrimenti NON sono simili.
La prima verifica da fare è la traccia..
è un calcolo semplice, poi magari si fa il det.
"Megan00b":
[quote="Dorian"]
Se posso aggiungere un'osservazione...
2 matrici simili hanno la stessa traccia (la traccia è la somma dei termini in diagonale...). Quindi se 2 matrici hanno traccia diversa non sono simili...
Ma questo controllo lo fai già quando confronti i polinomi caratteristici...o sbaglio?[/quote]
Sì, ma si fa prima a calcolare la traccia rispetto al pol. caratteristico!
"franced":
[quote="Megan00b"][quote="Dorian"]
Se posso aggiungere un'osservazione...
2 matrici simili hanno la stessa traccia (la traccia è la somma dei termini in diagonale...). Quindi se 2 matrici hanno traccia diversa non sono simili...
Ma questo controllo lo fai già quando confronti i polinomi caratteristici...o sbaglio?[/quote]
Sì, ma si fa prima a calcolare la traccia rispetto al pol. caratteristico![/quote]
Sono d'accordo con franced , volevo aggiungere la verifica sulla traccia , assai semplice e immediata, ma poi l'ho dimenticata...
ok. i give up.
"Megan00b":
[quote="Dorian"]
Se posso aggiungere un'osservazione...
2 matrici simili hanno la stessa traccia (la traccia è la somma dei termini in diagonale...). Quindi se 2 matrici hanno traccia diversa non sono simili...
Ma questo controllo lo fai già quando confronti i polinomi caratteristici...o sbaglio?[/quote]Si, perchè la traccia è uguale all'opposto del coefficiente di grado $n-1$ (il polinomio caratteristico s'intende di grado $n$)...
Il senso della mia affermazione è questo: date 2 matrici dello stesso ordine, si fa la somma dei termini in diagonale... Se i numeri ottenuti sono diversi, le matrici non sono simili...
"Dorian":
[quote="frodo4"]Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Ciao
Condizione necessaria, non certo sufficiente!
Si pensi a $C=((11),(01))$ e $D=((10),(01))$ il loro polinomio caratteristico è $P_C(x)=P_D(x)=(x-1)^2$ ma non sono simili (ad esempio $D$ non è diagonalizzabile...)[/quote]
Uhm.... D è già diagonale....
"Lord K":
[quote="Dorian"][quote="frodo4"]Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Ciao
Condizione necessaria, non certo sufficiente!
Si pensi a $C=((11),(01))$ e $D=((10),(01))$ il loro polinomio caratteristico è $P_C(x)=P_D(x)=(x-1)^2$ ma non sono simili (ad esempio $D$ non è diagonalizzabile...)[/quote]
Uhm.... D è già diagonale....[/quote]
Evidentemente voleva scrivere $C$ al posto di $D$ ma ha sbagliato..
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