Matrici simili
Chi mi può dare una mano?
Date le 2 matrici A e B, provare che sono simili.
A=$((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ B=$((1,0,0),(2,1,0),(3,2,1))$
So che per essere simili deve esistere una matrice M tale che A=(M^-1)BM ma nella pratica non lo so fare.
Date le 2 matrici A e B, provare che sono simili.
A=$((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ B=$((1,0,0),(2,1,0),(3,2,1))$
So che per essere simili deve esistere una matrice M tale che A=(M^-1)BM ma nella pratica non lo so fare.
Risposte
"Lord K":
[quote="Dorian"][quote="frodo4"]Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Ciao
Condizione necessaria, non certo sufficiente!
Si pensi a $C=((11),(01))$ e $D=((10),(01))$ il loro polinomio caratteristico è $P_C(x)=P_D(x)=(x-1)^2$ ma non sono simili (ad esempio $D$ non è diagonalizzabile...)[/quote]
Uhm.... D è già diagonale....[/quote]
Si, ok... Grazie per la precisazione...
Visto che l’argomento Matrici Simili ha suscitato un certo interesse, propongo alcuni esercizi (senza darne la soluzione almeno per ora ) in applicazione della “ricetta “ proposta, ovviamente integrata con la utile osservazione di Dorian ( relativa alla traccia).
Es.1 Dire se le matrici $A, B $ sono simili:
$A=((3,1,1),(0,-1,0),(0,0,-1)) $ ; $B=((-1,0,0),(0,1,2),(-1,2,1)) $ .
Es. 2 Date le matrici :
$A= ((1,0,1),(-1,2,0),(2,0,-3)) $ ; $B =((1,k,h),(0,1,t),(0,3,0)) $ con $(h,k,t in RR)$
determinare $h,k,t $ in modo che la matrici $A,B$ siano simili .
Es.3 Date le matrici
$A=((1,2,3),(0,1,0),(0,0,1)) $ ; $B=((1,0,0),(2,1,0),(0,2,1)) $
dire se :
a) le matrici sono simili
b) $A$ o $B$ è diagonalizzabile ?
Es. 4 Siano
$A=((1,2),(h,h+1)) $ ; $B= ((1-h,h),(3,1)) $ con $h in RR$.
a) dire per quali valori di $h $ le matrici sono simili
b) costruire la(e) matrice(i) di passaggio.
Es.5 Sono simili le matrici ?
$A=((1,2,3),(0,1,0),(0,0,1)) $ ; $ B=((1,0,0),(2,1,0),(0,2,1)) $ .
Giustificare la risposta .
Buon lavoro !
Es.1 Dire se le matrici $A, B $ sono simili:
$A=((3,1,1),(0,-1,0),(0,0,-1)) $ ; $B=((-1,0,0),(0,1,2),(-1,2,1)) $ .
Es. 2 Date le matrici :
$A= ((1,0,1),(-1,2,0),(2,0,-3)) $ ; $B =((1,k,h),(0,1,t),(0,3,0)) $ con $(h,k,t in RR)$
determinare $h,k,t $ in modo che la matrici $A,B$ siano simili .
Es.3 Date le matrici
$A=((1,2,3),(0,1,0),(0,0,1)) $ ; $B=((1,0,0),(2,1,0),(0,2,1)) $
dire se :
a) le matrici sono simili
b) $A$ o $B$ è diagonalizzabile ?
Es. 4 Siano
$A=((1,2),(h,h+1)) $ ; $B= ((1-h,h),(3,1)) $ con $h in RR$.
a) dire per quali valori di $h $ le matrici sono simili
b) costruire la(e) matrice(i) di passaggio.
Es.5 Sono simili le matrici ?
$A=((1,2,3),(0,1,0),(0,0,1)) $ ; $ B=((1,0,0),(2,1,0),(0,2,1)) $ .
Giustificare la risposta .
Buon lavoro !
Ma io non ho capito la matrice P da dove la pesco!!! come la trovo? 
"Camillo":
Es. 2 Date le matrici :
$A= ((1,0,1),(-1,2,0),(2,0,-3)) $ ; $B =((1,k,h),(0,1,t),(0,3,0)) $ con $(h,k,t in RR)$
determinare $h,k,t $ in modo che la matrici $A,B$ siano simili .
Che bel trabocchetto!!
"franced":
[quote="Camillo"]
Es. 2 Date le matrici :
$A= ((1,0,1),(-1,2,0),(2,0,-3)) $ ; $B =((1,k,h),(0,1,t),(0,3,0)) $ con $(h,k,t in RR)$
determinare $h,k,t $ in modo che la matrici $A,B$ siano simili .
Che bel trabocchetto!![/quote]
Carino, vero ?
"salsa88":
Ma io non ho capito la matrice P da dove la pesco!!! come la trovo?
La matrice $P$ cerchi di costruirla.
Deve essere, per definizione di matrici simili $AP=PB $ .
Tu conosci le matrici $A,B $ come dato del problema .
Ipotizzi che $P $ esista , naturalemnte sarà quadrata e dello stesso ordine di $A,B $.
Per fare un esempio semplice supponiamo che si tratti di matrici del secondo ordine , allora poni $P=((a,b),(c,d)) $ con $ a,b,c,d $ ignote da determinare .
Fai i conti , cioè esegui i due prodotti matriciali e vedi quali siano le condizioni che gli elementi ignoti $a,b,c,d $ devono soddisfare perchè si abbia l' uguaglianza tra matrici $ AP=PB $ .
Verifichi poi che la matrice $P $ sia non singolare ( sia cioè $detP ne 0 $ ); se così è, hai trovato la matrice $P $ detta anche matrice di passaggio.
Ci sei ?
"Camillo":
[quote="franced"][quote="Camillo"]
Es. 2 Date le matrici :
$A= ((1,0,1),(-1,2,0),(2,0,-3)) $ ; $B =((1,k,h),(0,1,t),(0,3,0)) $ con $(h,k,t in RR)$
determinare $h,k,t $ in modo che la matrici $A,B$ siano simili .
Che bel trabocchetto!![/quote]
Carino, vero ?[/quote]
Sì, molto.
Mi piacciono gli esercizi in cui uno parte, fa milioni di conti e poi scopre cose
che poteva osservare tranquillamente all'inizio.
Propongo un esercizio:
dire se la matrice
$A = ((3,5,2),(4,6,0),(1,2,7))$
è diagonalizzabile.
dire se la matrice
$A = ((3,5,2),(4,6,0),(1,2,7))$
è diagonalizzabile.
"franced":
Sì, molto.
Mi piacciono gli esercizi in cui uno parte, fa milioni di conti e poi scopre cose
che poteva osservare tranquillamente all'inizio.
Sarcasmo gratuito, se posso dire.
"Camillo":
Visto che l’argomento Matrici Simili ha suscitato un certo interesse, propongo alcuni esercizi (senza darne la soluzione almeno per ora ) in applicazione della “ricetta “ proposta, ovviamente integrata con la utile osservazione di Dorian ( relativa alla traccia).
Es.1 Dire se le matrici $A, B $ sono simili:
$A=((3,1,1),(0,-1,0),(0,0,-1)) $ ; $B=((-1,0,0),(0,1,2),(-1,2,1)) $ .
In questo esercizio A e B non sono simili, giusto?
"salsa88":
Chi mi può dare una mano?
Date le 2 matrici A e B, provare che sono simili.
A=$((1,0,0),(1,1,0),(0,1,1))$ B=$((1,0,0),(2,1,0),(3,2,1))$
Tornando a questo esercizio...dal sistema ricavo le seguenti soluzioni:
[a - 4·i = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0 ∧ d - 2·h - 3·i = 0 ∧ e - 2·i = 0 ∧ f = 0]
quindi non riesco a trovare i valori reali di a,b,c,d,e,f,g,h,i... questo vuol dire ke le matrici A e B non sono simili??
P.s. l'esercizio però diceva di provare ke lo fossero...quindi forse devono essere simili, o no?
"Martino":
[quote="franced"]Sì, molto.
Mi piacciono gli esercizi in cui uno parte, fa milioni di conti e poi scopre cose
che poteva osservare tranquillamente all'inizio.
Sarcasmo gratuito, se posso dire.[/quote]
Non ti capisco, scusami.
"salsa88":
[quote="Camillo"]Visto che l’argomento Matrici Simili ha suscitato un certo interesse, propongo alcuni esercizi (senza darne la soluzione almeno per ora ) in applicazione della “ricetta “ proposta, ovviamente integrata con la utile osservazione di Dorian ( relativa alla traccia).
Es.1 Dire se le matrici $A, B $ sono simili:
$A=((3,1,1),(0,-1,0),(0,0,-1)) $ ; $B=((-1,0,0),(0,1,2),(-1,2,1)) $ .
In questo esercizio A e B non sono simili, giusto?[/quote]
Esatto non sono simili, ma come lo hai ricavato ? non è immediato in quanto traccia e determinanate sono uguali...
"franced":
[quote="Martino"][quote="franced"]Sì, molto.
Mi piacciono gli esercizi in cui uno parte, fa milioni di conti e poi scopre cose
che poteva osservare tranquillamente all'inizio.
Sarcasmo gratuito, se posso dire.[/quote]
Non ti capisco, scusami.[/quote]
Scusa, forse ho frainteso il commento. Pensavo che questa tua frase:
"franced":
Mi piacciono gli esercizi in cui uno parte, fa milioni di conti e poi scopre cose
che poteva osservare tranquillamente all'inizio.
fosse sarcastica. Se non lo era, mi scuso.
"Camillo":
[quote="salsa88"][quote="Camillo"]Visto che l’argomento Matrici Simili ha suscitato un certo interesse, propongo alcuni esercizi (senza darne la soluzione almeno per ora ) in applicazione della “ricetta “ proposta, ovviamente integrata con la utile osservazione di Dorian ( relativa alla traccia).
Es.1 Dire se le matrici $A, B $ sono simili:
$A=((3,1,1),(0,-1,0),(0,0,-1)) $ ; $B=((-1,0,0),(0,1,2),(-1,2,1)) $ .
In questo esercizio A e B non sono simili, giusto?[/quote]
Esatto non sono simili, ma come lo hai ricavato ? non è immediato in quanto traccia e determinanate sono uguali...[/quote]
Ho fatto come mi avevi detto tu prima...ho cercato una matrice P ke soddisfava la condizione AP=PB ma non sono riuscito a trovare dei valori precisi per ogni elemento di P quindi ho pensato ke P non esisteva.
"salsa88":
[quote="Camillo"][quote="salsa88"][quote="Camillo"]Visto che l’argomento Matrici Simili ha suscitato un certo interesse, propongo alcuni esercizi (senza darne la soluzione almeno per ora ) in applicazione della “ricetta “ proposta, ovviamente integrata con la utile osservazione di Dorian ( relativa alla traccia).
Es.1 Dire se le matrici $A, B $ sono simili:
$A=((3,1,1),(0,-1,0),(0,0,-1)) $ ; $B=((-1,0,0),(0,1,2),(-1,2,1)) $ .
In questo esercizio A e B non sono simili, giusto?[/quote]
Esatto non sono simili, ma come lo hai ricavato ? non è immediato in quanto traccia e determinanate sono uguali...[/quote]
Ho fatto come mi avevi detto tu prima...ho cercato una matrice P ke soddisfava la condizione AP=PB ma non sono riuscito a trovare dei valori precisi per ogni elemento di P quindi ho pensato ke P non esisteva.[/quote]
Non è necessario arrivare al calcolo di P : A è diagonalizzabile mentre B non lo è .
Questo basta per concludere che le due matrici non sono simili.
"salsa88":
Ho fatto come mi avevi detto tu prima...ho cercato una matrice P ke soddisfava la condizione AP=PB ma non sono riuscito a trovare dei valori precisi per ogni elemento di P quindi ho pensato ke P non esisteva.
Attenzione: non devi trovare dei valori precisi (ovvero: dal fatto che non trovi dei valori precisi non puoi dedurre niente). Per dire se $P^{-1}AP=B$ e $M$ è una matrice invertibile che commuta con $B$ allora anche $(PM)^{-1}A(PM) = B$. E di matrici invertibili che commutano con $B$ ce ne sono (per esempio se $B$ è scalare commuta con tutto).
Quindi assegnate $A$ e $B$, $P$ non è unica.
"Martino":
[quote="franced"][quote="Martino"][quote="franced"]Sì, molto.
Mi piacciono gli esercizi in cui uno parte, fa milioni di conti e poi scopre cose
che poteva osservare tranquillamente all'inizio.
Sarcasmo gratuito, se posso dire.[/quote]
Non ti capisco, scusami.[/quote]
Scusa, forse ho frainteso il commento. Pensavo che questa tua frase:
"franced":
Mi piacciono gli esercizi in cui uno parte, fa milioni di conti e poi scopre cose
che poteva osservare tranquillamente all'inizio.
fosse sarcastica. Se non lo era, mi scuso.[/quote]
Forse non mi sono spiegato bene.
Quando interrogo qualcuno in classe voglio vedere i suoi "riflessi";
esempi:
1) cerca le soluzioni di
$sqrt(4-x^2) = 3 + x^2$
2) risolvi
$sqrt(x^2+2x+1) = x+1$
3) risolvi
$|3+x| + |2-3x^2| + 1 = 0$
4) risolvi
$sqrt(x-3) + sqrt(x-2) = sqrt(1-x)$
Sono esercizi come questi che mi permettono di vedere
il grado di "furbizia matematica".
Sì, io credo che un matematico debba essere per prima cosa "furbo".
"Camillo":
[quote="salsa88"][quote="Camillo"][quote="salsa88"][quote="Camillo"]Visto che l’argomento Matrici Simili ha suscitato un certo interesse, propongo alcuni esercizi (senza darne la soluzione almeno per ora ) in applicazione della “ricetta “ proposta, ovviamente integrata con la utile osservazione di Dorian ( relativa alla traccia).
Es.1 Dire se le matrici $A, B $ sono simili:
$A=((3,1,1),(0,-1,0),(0,0,-1)) $ ; $B=((-1,0,0),(0,1,2),(-1,2,1)) $ .
In questo esercizio A e B non sono simili, giusto?[/quote]
Esatto non sono simili, ma come lo hai ricavato ? non è immediato in quanto traccia e determinanate sono uguali...[/quote]
Ho fatto come mi avevi detto tu prima...ho cercato una matrice P ke soddisfava la condizione AP=PB ma non sono riuscito a trovare dei valori precisi per ogni elemento di P quindi ho pensato ke P non esisteva.[/quote]
Non è necessario arrivare al calcolo di P : A è diagonalizzabile mentre B non lo è .
Questo basta per concludere che le due matrici non sono simili.[/quote]
Ah vero...non avevo provato. Cmq se voglio trovarmi ugualemente la matrice p è giusto quel raggionamento? ke se non trovo valori precisi degli elementi di P, allora P non esiste?
@franced: aah ora ho capito! Scusa ancora, hai ragione, ho proprio interpretato male 
Anche a me piacciono gli esercizi stile "trabocchetto".
@tutti: ragazzi quando quotate non quotate tutto, ma solo la frase a cui rispondere, eh
(se no diventa un casino).
Anche a me piacciono gli esercizi stile "trabocchetto".
@tutti: ragazzi quando quotate non quotate tutto, ma solo la frase a cui rispondere, eh
(se no diventa un casino).
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