Matrice ed applicazioni
nello spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una incognita a coefficenti reali (lo indico con L)consideriamo i polinomi
$p=x^(2)+2x+1$
$q=x^(2)+1$
$g=x^(2)$
1)dimostare che tali polinomi formano una base B di L.
2)sia f l'appicazione lineare tale che la matrice associata a f rispetto alla base B sia:
A=$((1,h^(2)-h,1),(h,0,h),(0,h-1,h-1))$
trovare i valori di h tale che il nucleo ha dimensione 2. per tali valori trovare una sua base.
3)determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di L.
nono so fare gli ultimi 2 punti
$p=x^(2)+2x+1$
$q=x^(2)+1$
$g=x^(2)$
1)dimostare che tali polinomi formano una base B di L.
2)sia f l'appicazione lineare tale che la matrice associata a f rispetto alla base B sia:
A=$((1,h^(2)-h,1),(h,0,h),(0,h-1,h-1))$
trovare i valori di h tale che il nucleo ha dimensione 2. per tali valori trovare una sua base.
3)determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di L.
nono so fare gli ultimi 2 punti
Risposte
Cominciamo dal punto (2): qual è la definizione di nucleo di un'applicazione lineare?
gli elementi del dominio che hanno per immagine il vettor nullo...
Esatto.
Allora basta risolvere il sistema lineare
\[ AX = O \]
dove $ X $ è il vettore delle componenti del generico vettore del dominio di $ f $ rispetto a $ B $.
Allora basta risolvere il sistema lineare
\[ AX = O \]
dove $ X $ è il vettore delle componenti del generico vettore del dominio di $ f $ rispetto a $ B $.
ovvero....?
Cosa non ti è chiaro?
Per verificare se formano una base, basta verificare che quei tre polinomi sono linearmente indipendenti.
In altri termini, che
$ det( ( p , 0 , 0 ),( 0 , q , 0 ),( 0, 0 , g ) ) !=0 $
In altri termini, che
$ det( ( p , 0 , 0 ),( 0 , q , 0 ),( 0, 0 , g ) ) !=0 $
"Riccardo Desimini":
Esatto.
Allora basta risolvere il sistema lineare
\[ AX = O \]
dove $ X $ è il vettore delle componenti del generico vettore del dominio di $ f $ rispetto a $ B $.
ok per la base ci sono, ma per il nucleo???cm faccio... quel $X$ chi sarebbe in pratica
È il vettore delle incognite del tuo sistema, chiamalo $ ((x),(y),(z)) $.
Il sistema che ti ho scritto descrive le componenti rispetto a $ B $ dei tutti e soli vettori del dominio di $ f $ che hanno immagine nulla, cioè i vettori del nucleo.
Il sistema che ti ho scritto descrive le componenti rispetto a $ B $ dei tutti e soli vettori del dominio di $ f $ che hanno immagine nulla, cioè i vettori del nucleo.
ottengo il sistema:
$x+((h^(2)-h))y+z=0$
$hx+hz=0$
$(h-1)(y+z)=0$
$x+((h^(2)-h))y+z=0$
$hx+hz=0$
$(h-1)(y+z)=0$
Esatto; ora devi studiare le sue soluzioni al variare di $ h $.
per $h=0$ ottengo $(-z,-z,z)$
per $h=1$ ottengo $(-z,y,z)$
e dopo?
per $h=1$ ottengo $(-z,y,z)$
e dopo?
E se $ h \ne 0 \wedge h \ne 1 $?
Una volta studiato il sistema guarda per quali valori di $ h $ il nucleo ha dimensione $ 2 $. Da lì trovi una sua base, come richiesto dall'esercizio.
Una volta studiato il sistema guarda per quali valori di $ h $ il nucleo ha dimensione $ 2 $. Da lì trovi una sua base, come richiesto dall'esercizio.
"Riccardo Desimini":
E se $ h \ne 0 \wedge h \ne 1 $?
Una volta studiato il sistema guarda per quali valori di $ h $ il nucleo ha dimensione $ 2 $. Da lì trovi una sua base, come richiesto dall'esercizio.
trovo $x=-z$ $y=0$ $y=-z$ da cui $(0,0,0)$
Ora sei in grado di dire per quali valori di $ h $ il nucleo ha dimensione $ 2 $.
per $h=0$, $hne1$, $hne 0$ ha dimensione 1
per $h=1$ ha dimensione 2 ed una base puo' essere $(-1,0,1), (0,1,0)$ giustoo?
per $h=1$ ha dimensione 2 ed una base puo' essere $(-1,0,1), (0,1,0)$ giustoo?
"marixg":
per $h=0$, $hne1$, $hne 0$ ha dimensione 1
A dire il vero, per $ h \ne 0 \wedge h \ne 1 $ l'applicazione è iniettiva.
"marixg":
per $h=1$ ha dimensione 2 ed una base puo' essere $(-1,0,1), (0,1,0)$ giustoo?
È giusto il valore di $ h $, ma non la base.
E adesso sta a te spiegarmi il motivo.
"Riccardo Desimini":
[quote="marixg"]per $h=0$, $hne1$, $hne 0$ ha dimensione 1
A dire il vero, per $ h \ne 0 \wedge h \ne 1 $ l'applicazione è iniettiva.
"marixg":
per $h=1$ ha dimensione 2 ed una base puo' essere $(-1,0,1), (0,1,0)$ giustoo?
È giusto il valore di $ h $, ma non la base.
E adesso sta a te spiegarmi il motivo.[/quote]
per $hne 0$ $h ne1$ il nucleo contiene solo il vettore nullo, allra è iniettiva
perchè non è giusta la pase?perche' devo considerare polinomi?
Esattamente.
come base allora cosa scelgo...?
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