Matrice ed applicazioni
nello spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una incognita a coefficenti reali (lo indico con L)consideriamo i polinomi
$p=x^(2)+2x+1$
$q=x^(2)+1$
$g=x^(2)$
1)dimostare che tali polinomi formano una base B di L.
2)sia f l'appicazione lineare tale che la matrice associata a f rispetto alla base B sia:
A=$((1,h^(2)-h,1),(h,0,h),(0,h-1,h-1))$
trovare i valori di h tale che il nucleo ha dimensione 2. per tali valori trovare una sua base.
3)determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di L.
nono so fare gli ultimi 2 punti
$p=x^(2)+2x+1$
$q=x^(2)+1$
$g=x^(2)$
1)dimostare che tali polinomi formano una base B di L.
2)sia f l'appicazione lineare tale che la matrice associata a f rispetto alla base B sia:
A=$((1,h^(2)-h,1),(h,0,h),(0,h-1,h-1))$
trovare i valori di h tale che il nucleo ha dimensione 2. per tali valori trovare una sua base.
3)determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di L.
nono so fare gli ultimi 2 punti
Risposte
Abbiamo fatto tutto un discorso prima di risolvere il sistema che riguarda proprio questo aspetto.
Leggi qui:
E qui:
Leggi qui:
"Riccardo Desimini":
Esatto.
Allora basta risolvere il sistema lineare
\[ AX = O \]
dove $ X $ è il vettore delle componenti del generico vettore del dominio di $ f $ rispetto a $ B $.
E qui:
"Riccardo Desimini":
È il vettore delle incognite del tuo sistema, chiamalo $ ((x),(y),(z)) $.
Il sistema che ti ho scritto descrive le componenti rispetto a $ B $ dei tutti e soli vettori del dominio di $ f $ che hanno immagine nulla, cioè i vettori del nucleo.
x, y,z, sono i coefficenti del polinomio di grado minore o uguale a due....
La base è \( B = \{ p(x),\ q(x),\ g(x) \} \).
si questo lo so, ma non riesco a capire cm fare...
Comincio io e concludi tu.
Il polinomio di $ L $ che ha componenti \( \pmatrix{-1 \\ 0 \\ 1} \) rispetto a $ B $ si calcola così:
\[ h(x)=-p(x)+g(x)=-x^2-2x-1+x^2=-1-2x \]
Il polinomio di $ L $ che ha componenti \( \pmatrix{-1 \\ 0 \\ 1} \) rispetto a $ B $ si calcola così:
\[ h(x)=-p(x)+g(x)=-x^2-2x-1+x^2=-1-2x \]
quello che ha componenti $(0,1,0)$ rispetto alla base B è $x^(2)+1$
questi fornano la base del ker f
questi fornano la base del ker f
e per scrivere la matrice rispetto alla base $(1,x,x^(2))$???
come faccio, questa cosa dei polinomi mi confonde
come faccio, questa cosa dei polinomi mi confonde
"marixg":
quello che ha componenti $(0,1,0)$ rispetto alla base B è $x^(2)+1$
questi fornano la base del ker f
Questi formano una base. Comunque bene il polinomio.
"marixg":
e per scrivere la matrice rispetto alla base $(1,x,x^(2))$???
come faccio, questa cosa dei polinomi mi confonde
Basta applicare la formula del cambio base (sia $ C = (1, x, x^2) $):
\[ M_C\ (f)=M_{B, C}\ (\text{id}_L) \cdot A \cdot M_{C, B}\ (\text{id}_L) \]
dove con $ M_{B_1, B_2}(\text{id}_L) $ ho denotato la matrice di cambio base dalla base $ B_1 $ alla base $ B_2 $.
"Riccardo Desimini":
[quote="marixg"]quello che ha componenti $(0,1,0)$ rispetto alla base B è $x^(2)+1$
questi fornano la base del ker f
Questi formano una base. Comunque bene il polinomio.
"marixg":
e per scrivere la matrice rispetto alla base $(1,x,x^(2))$???
come faccio, questa cosa dei polinomi mi confonde
Basta applicare la formula del cambio base (sia $ C = (1, x, x^2) $):
\[ M_C\ (f)=M_{B, C}\ (\text{id}_L) \cdot A \cdot M_{C, B}\ (\text{id}_L) \]
dove con $ M_{B_1, B_2}(\text{id}_L) $ ho denotato la matrice di cambio base dalla base $ B_1 $ alla base $ B_2 $.[/quote]
come scrivo quest due matrici di passaggio da una base all'altra e viceversa
Ti do la definizione, poi prosegui tu.
La matrice di cambio base dalla base $ B $ alla base $ C $ è la matrice
\[ M_{B,C} \ (\text{id}_L) = \pmatrix{ [x^2+2x+1]_C & [x^2+1]_C & [x^2]_C} \]
dove la notazione $ [\mathbf{v}]_B $ indica il vettore colonna delle componenti del vettore $ \mathbf{v} $ rispetto alla base $ B $.
Ora sei perfettamente in grado di concludere.
La matrice di cambio base dalla base $ B $ alla base $ C $ è la matrice
\[ M_{B,C} \ (\text{id}_L) = \pmatrix{ [x^2+2x+1]_C & [x^2+1]_C & [x^2]_C} \]
dove la notazione $ [\mathbf{v}]_B $ indica il vettore colonna delle componenti del vettore $ \mathbf{v} $ rispetto alla base $ B $.
Ora sei perfettamente in grado di concludere.
devo scrivere i vettori della base $B$ rispetto alla base $C$
i vettori della base $c$ rispetto alla base $b$
scrivere le due matrici e poi fare quel prodotto tra matrici(dalla defizionie che mi hai dato tu)
ma come faccio tutto cio?
i vettori della base $c$ rispetto alla base $b$
scrivere le due matrici e poi fare quel prodotto tra matrici(dalla defizionie che mi hai dato tu)
ma come faccio tutto cio?
forse ci sono riuscita...
viene cosi:?????
M=$((h^(2)-2h-1,(-h^(2))/(2)+h+1/2,1+h),(2h^(2)-2h-2,-h^(2)+h+1,2),(h^(2)-2h-1,(-h^(2))/(2)+3/2,2h))$
viene cosi:?????
M=$((h^(2)-2h-1,(-h^(2))/(2)+h+1/2,1+h),(2h^(2)-2h-2,-h^(2)+h+1,2),(h^(2)-2h-1,(-h^(2))/(2)+3/2,2h))$
L'unico errore lo vedo nell'elemento $ m_{32} $.
quanto viene a te?
Per rendere il confronto più costruttivo, posto anche le matrici di cambio base.
Abbiamo
\[ M_{B,C}\ (\text{id}_L) = \pmatrix{1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1} \qquad \qquad \qquad \qquad M_{C,B}\ (\text{id}_L) = \pmatrix{0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ −1 & 0 & 1} \]
Svolgendo i conti, si ha che l'elemento $ m_{32} $ di \( M_C\ (f) \) è $ -\frac{h^2}{2}+\frac{h}{2}+1 $.
Posta i tuoi calcoli, così li confrontiamo.
Abbiamo
\[ M_{B,C}\ (\text{id}_L) = \pmatrix{1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1} \qquad \qquad \qquad \qquad M_{C,B}\ (\text{id}_L) = \pmatrix{0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ −1 & 0 & 1} \]
Svolgendo i conti, si ha che l'elemento $ m_{32} $ di \( M_C\ (f) \) è $ -\frac{h^2}{2}+\frac{h}{2}+1 $.
Posta i tuoi calcoli, così li confrontiamo.
le matrici di cambio di base sono uguali alle mie, avro' sbagliato nei conti, ora controllo
perfetto.. ho trovato l'errore
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