Kernel e un dubbio su autospazio
C'e una affermazione di cui non sono sicuro di aver capito se ho trovato una buona dimostrazione:
<=) mi pare facile perché: $ker(f)={x in V| f(x)=0}!={0}$ ma questo è uguale alla definizione di autospazio: $V_lambda={x in V| f(x)=lambdax=0}$ questo potrà essere se e solo se: ${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$ ma questa seconda è un assurdo perché per ipotesi è distino come insieme dal solo nullo. Rimane la prima delle due.
Ora, ${x in V| f(x)=0*x}≠{0}$ ci dice che $lambda=0$ è autovalore (proprio poiché non esistendo il solo x=0 avrò almeno un altro x che rispetta $f(x)=0*x$, in altre parole ho (almeno) un x autovettore e di conseguenza lambda è l'autovalore associato).
=>) questa implicazione mi rimane più dubbia, assunta infatti $lambda=0$, ho che il suo autospazio sarà $V_0={x in V| f(x)=0*x}={x in V| f(x)=0}=:ker(f)$.
Al momento non capivo come risolvere il fatto però che $ker(f)!={0}$ e sfogliando gli appunti mi sono accorto che questo potrebbe trovare giustificazione nella definizione che il prof mi ha dato di autospazio:
$V_lambda={x in V| f(x)=lambdax}!={vec0}$[★], in sostanza già nella definizione di autospazio mi dice che non sarà il solo insieme con vettore nullo, ma non capisco perché, non ha tutti i diritti di essere autospazio anche il singleton {0}?
Volevo chiedervi quindi due cose:
1) se la mia dimostrazione funziona nelle due parti che ho esposto (<= & =>)
2) in secondo lugo come risolvere il dubbio sulla seconda implicazione (che mi pare trovare giustificazione
qui [★], ma non capisco perché escluda il singleton il Prof.)
$lambda=0$ autovalore di $f$ $<=> ker(f)!={0}$
<=) mi pare facile perché: $ker(f)={x in V| f(x)=0}!={0}$ ma questo è uguale alla definizione di autospazio: $V_lambda={x in V| f(x)=lambdax=0}$ questo potrà essere se e solo se: ${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$ ma questa seconda è un assurdo perché per ipotesi è distino come insieme dal solo nullo. Rimane la prima delle due.
Ora, ${x in V| f(x)=0*x}≠{0}$ ci dice che $lambda=0$ è autovalore (proprio poiché non esistendo il solo x=0 avrò almeno un altro x che rispetta $f(x)=0*x$, in altre parole ho (almeno) un x autovettore e di conseguenza lambda è l'autovalore associato).
=>) questa implicazione mi rimane più dubbia, assunta infatti $lambda=0$, ho che il suo autospazio sarà $V_0={x in V| f(x)=0*x}={x in V| f(x)=0}=:ker(f)$.
Al momento non capivo come risolvere il fatto però che $ker(f)!={0}$ e sfogliando gli appunti mi sono accorto che questo potrebbe trovare giustificazione nella definizione che il prof mi ha dato di autospazio:
$V_lambda={x in V| f(x)=lambdax}!={vec0}$[★], in sostanza già nella definizione di autospazio mi dice che non sarà il solo insieme con vettore nullo, ma non capisco perché, non ha tutti i diritti di essere autospazio anche il singleton {0}?
Volevo chiedervi quindi due cose:
1) se la mia dimostrazione funziona nelle due parti che ho esposto (<= & =>)
2) in secondo lugo come risolvere il dubbio sulla seconda implicazione (che mi pare trovare giustificazione
qui [★], ma non capisco perché escluda il singleton il Prof.)
Risposte
Ok, volevo cercare di mettere a posto le cose riguardo la mia idea iniziale, per non compiere questi errori in futuro (quindi usarla come palestra), e questo per me vuol dire imparare davvero una cosa. Quindi non è per essere pedande ma sono seriamente interessato alla cosa 
Pensavo mi dicessi che fosse sbagliato il ragionamento ma non avrei mai pensato di aver reso male la scrittura matematica, come invece mi hai fatto notare. Vediamo se con i tuoi suggerimenti riesco a rendere in modo più furbo il tutto:
Iniziamo...
Qui in realtà non volevo tanto dire che $V_0$ fosse l'autospazio associato a zero, quanto piùttosto che da $f(x)=0$ e $f(x)=λx$ avevo $0=f(x)=λx$.
Qui non ci avevo posto troppa attenzione ma è verissimo in quanto al secondo punto, per il primo però mi chiedo che problema c'è se lascio lambda libero? Sarà poi la dimostrazione a farmi dire che lambda è per forza di cose zero (si veda sotto la dim).
Per quanto riguarda invece la proposizione forse potrei correggerla scrivendo:
Q(x)= "ho l'insieme ${x in V| f(x)=0*x}$" e R(x)= "ho l'insieme ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$", quindi in modo corretto sarebbe da scrivere (Q(x) or R(x)).
Riassemblando tutto e volendo rendere l'idea del quote (1) procederei come nel seguito:
Assumiamo le definizioni di $ker(f)={x in V| f(x)=0}$ e autospazio di un generico lambda autovalore $V_lambda={x in V| f(x)=lambdax}$.
Siccome per ipotesi: $ker(f)={x in V| f(x)=0}!={0}$ assumendo una $x in ker(f)$ dal fatto che $0=f(x)=lambdax, AAlambda$(nota)[nota](dovendo sussistere $f(x)=λx=0$ per l'annullamento del prodotto ho che $lambda*x=0 <=> x=0 or lambda=0$)[/nota] si ha che ($x in {x∈V∣f(x)=0⋅x}$ oppure $x in{x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }$)
in pratica sto affermando che: "l'insieme $ker(f)={x in V| f(x)=0}$ è (uguale a ${x∈V∣f(x)=0⋅x}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }, AAlambda$)".
Ciò detto, la seconda ("è uguale a${x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }, AAlambda$") equivale ad affermare che $ker(f)={0}$, ma è impossibile per Hp.
Deduciamo quindi che: l'insieme $ker(f)={x in V| f(x)=0}={x∈V∣f(x)=0⋅x}=V_0$ cvd
Mi sembra ora non ci siano (o)rrori come prima, il discorso fila meglio. nel mentre attendo una tua risposta ci ragiono ancora sopra per vedere se limare altro.
Spero di non meritamri altre bacchettate sulle mani
Pensavo mi dicessi che fosse sbagliato il ragionamento ma non avrei mai pensato di aver reso male la scrittura matematica, come invece mi hai fatto notare. Vediamo se con i tuoi suggerimenti riesco a rendere in modo più furbo il tutto:
"nocciolodeldiscorso":
quote (1)
Ho capito, perché la mia idea era semplicemente scrivere le due definizioni di kernel e autospazio e mostrare che sussisteva una certa uguaglianza in virtù del fatto che: una è $f(x)=0$ l'altra $f(x)=λx$, quindi dovendo sussistere $f(x)=λx=0$ per l'annullamento del prodotto avevo che $lambda*x=0 <=> x=0 or lambda=0$, ma $x=0$ non poteva esserci proprio perché $ker(f)!=0$.
Mi sembrava comunque un ragionamento valido, sebbene abbia capito il tuo.
Iniziamo...
cos'è V0? Se la risposta è "beh ovviamente è l'autospazio associato a 0" questo non ha senso perché sei nel mezzo della dimostrazione del fatto che 0 è un autovalore e il concetto di autospazio associato a un certo λ ha senso solo se λ è un autovalore
Qui in realtà non volevo tanto dire che $V_0$ fosse l'autospazio associato a zero, quanto piùttosto che da $f(x)=0$ e $f(x)=λx$ avevo $0=f(x)=λx$.
Qui ci sono due problemi, il primo (più innocente) è che non si sa chi sia λ, ma non importa. Il problema grave è che questa che ho riportato non è una frase che ha senso in italiano. Cioè tu hai due insiemi (due insiemi!) A e B e affermi una cosa tipo "A oppure B={0}". Che senso ha? A è un insieme, non è un asserto.
Qui non ci avevo posto troppa attenzione ma è verissimo in quanto al secondo punto, per il primo però mi chiedo che problema c'è se lascio lambda libero? Sarà poi la dimostrazione a farmi dire che lambda è per forza di cose zero (si veda sotto la dim).
Per quanto riguarda invece la proposizione forse potrei correggerla scrivendo:
Q(x)= "ho l'insieme ${x in V| f(x)=0*x}$" e R(x)= "ho l'insieme ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$", quindi in modo corretto sarebbe da scrivere (Q(x) or R(x)).
Riassemblando tutto e volendo rendere l'idea del quote (1) procederei come nel seguito:
Assumiamo le definizioni di $ker(f)={x in V| f(x)=0}$ e autospazio di un generico lambda autovalore $V_lambda={x in V| f(x)=lambdax}$.
Siccome per ipotesi: $ker(f)={x in V| f(x)=0}!={0}$ assumendo una $x in ker(f)$ dal fatto che $0=f(x)=lambdax, AAlambda$(nota)[nota](dovendo sussistere $f(x)=λx=0$ per l'annullamento del prodotto ho che $lambda*x=0 <=> x=0 or lambda=0$)[/nota] si ha che ($x in {x∈V∣f(x)=0⋅x}$ oppure $x in{x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }$)
in pratica sto affermando che: "l'insieme $ker(f)={x in V| f(x)=0}$ è (uguale a ${x∈V∣f(x)=0⋅x}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }, AAlambda$)".
Ciò detto, la seconda ("è uguale a${x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }, AAlambda$") equivale ad affermare che $ker(f)={0}$, ma è impossibile per Hp.
Deduciamo quindi che: l'insieme $ker(f)={x in V| f(x)=0}={x∈V∣f(x)=0⋅x}=V_0$ cvd
Mi sembra ora non ci siano (o)rrori come prima, il discorso fila meglio. nel mentre attendo una tua risposta ci ragiono ancora sopra per vedere se limare altro.
Spero di non meritamri altre bacchettate sulle mani
"nocciolodeldiscorso":Ma non hai detto che cosa è $lambda$.
per il primo però mi chiedo che problema c'è se lascio lambda libero? Sarà poi la dimostrazione a farmi dire che lambda è per forza di cose zero (si veda sotto la dim).
forse potrei correggerla scrivendo:Ma no, cosa significa "avere un insieme"? Se io dico "ho l'insieme $NN$" cosa ho detto in sostanza? Niente.
Q(x)= "ho l'insieme ${x in V| f(x)=0*x}$" e R(x)= "ho l'insieme ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$", quindi in modo corretto sarebbe da scrivere (Q(x) or R(x)).
si ha che ($x in {x∈V∣f(x)=0⋅x}$ oppure $x in{x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }$)Anche qui, non stai affermando niente perché i due insiemi $A={x in V | f(x)=0*x}$, $B={x in V | f(x)= lambda * 0}$ sono uguali, cioè $A=B$, essendo $lambda *0=0=0*x$. Cioè stai scrivendo "$x in A$ oppure $x in A$" (ha senso scriverlo?).
in pratica sto affermando che: "l'insieme $ker(f)={x in V| f(x)=0}$ è (uguale a ${x∈V∣f(x)=0⋅x}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }, AAlambda$)".Anche qui stai scrivendo una cosa tipo "$ker(f)$ è uguale ad $A$ oppure uguale ad $A$".
Ciò detto, la seconda ("è uguale a${x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }, AAlambda$") equivale ad affermare che $ker(f)={0}$Ma no, assolutamente no. Questa frase è proprio priva di senso logico. Ti ripeto che l'uguaglianza $ker(f)={x in V | f(x)=lambda *0}$ è vera per definizione di nucleo.
Continui a scrivere $lambda *0$ come se fosse qualcosa di diverso da $0$. Non lo è. Quindi smetti di scrivere $lambda *0$ e scrivi direttamente $0$.
Se risponderai, per favore fallo in modo sensato, altrimenti mi scuso già adesso ma non continuerò a rispondere (ho già detto quello che volevo dire).
"nocciolodeldiscorso":La cosa che ho l'impressione continui a sfuggirti è che "l'autospazio di zero" è una locuzione che ha senso solo quando l'endomorfismo che consideri non è iniettivo, perché quest'ultimo spazio \(V_0\) è (per definizione) non banale, e quindi ha senso dichiararlo uguale a \(\ker f\) solo quando quest'ultimo è non banale.
Ok, volevo cercare di mettere a posto le cose riguardo la mia idea iniziale, per non compiere questi errori in futuro (quindi usarla come palestra), e questo per me vuol dire imparare davvero una cosa. Quindi non è per essere pedande ma sono seriamente interessato alla cosa
L'enunciato corretto è "se \(f : V\to V\) non è un endomorfismo iniettivo, allora \(V_0=\ker f\)", ma questo è vero pressoché per definizione.
In definitiva, il problema che hai non è con l'algebra lineare, ma col ragionamento formale; è anche l'algebra lineare a insegnartelo, ma credo sia poco produttivo impararlo per mezzo della definizione di autospazio o di nucleo.
Proprio come dici, megas, il problema non è tanto sul discorso di algebra lineare quanto su alcuni ragionamenti che sbaglierei anche in altri casi e per questo è per me fondamentale chiarire. E sono porprio i punti messi in luce da Martino.
In tal caso intendevo $lambda in RR$
Questo è vero, mi cito perché capisco che ho fatto gravi errori:
L'idea era questa: ho degli insiemi A, B, C è sensato dire "Dato l'insieme A ho che (A è l'insieme B oppure A è l'insieme C)" in pratica quindi nel post che hai citato avrei dovuto definire Q(x):= A=B e R(x):= A=C e mi sembrano proposizioni valide. L'ho espresso malissimissimo prima ma ora mi sembra giusto. Spero!
Hai ragione, ci ho ripensato e così non ha senso, ma quello che avevo in testa mi sembra averlo e vorrei chiederti una mano su come formalizzarlo.
Io mi sono reso conto di questa cosa: Assumiamo $0=f(x)$ e che $f(x)=lambda, lambda in RR$ allora posso scrivere $0=f(x)=λx,∀λ in RR$, ma se $f(x)=λx=0$ per l'annullamento del prodotto ho che $λ⋅x=0⇔x=0orλ=0$. Fin qui tutto ok.
Siccome quelle equazioni sono quelle che definiscono gli insiemi di mio interesse:
$ker(f)={x∈V∣f(x)=0}$ e $V_λ={x∈V∣f(x)=λx}$
vorrei portarmi a livello di insiemi e dire:
Assumo l'insieme $T:={x∈V∣f(x)=λx=0, AA lambda in RR}$, che coincide con $ker(f)$ ($ker(f)=T$).
Ora, sfruttando l'annullamento del prodotto devo avere ${x∈V∣f(x)=λx=0}$ che sarà uguale a ${x∈V∣f(x)=λx=0, lambda=0}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x)=λx=0, x=0}$[nota](è il discorso fatto prima degli insiemi A, B, C con A=b o A=C).[/nota] e questo secondo insieme è proprio ${0}$ che stridendo con l'ipotesi non va bene
A questo punto ci resta $ker(f)={x∈V∣f(x)=λx=0}={x∈V∣f(x)=λx=0, lambda=0}$ ma l'ultimo membro è proprio la definzione di autospazio associato a autovalore nullo!
Ma non hai detto che cosa è λ.
In tal caso intendevo $lambda in RR$
Ma no, cosa significa "avere un insieme"? Se io dico "ho l'insieme N" cosa ho detto in sostanza? Niente.
Questo è vero, mi cito perché capisco che ho fatto gravi errori:
io consideravo ${x∈V∣f(x)=λx=0}$ e mi sembra che questo si abbia se e solo se (${x∈V∣f(x)=0⋅x}$ oppure ${x∈V∣f(x⃗ )=λ⋅0⃗ }$)
** so che quello nel quote è errato ma volevo solo chiarire con tre insiemi A,B, C quello che volevo dire
L'idea era questa: ho degli insiemi A, B, C è sensato dire "Dato l'insieme A ho che (A è l'insieme B oppure A è l'insieme C)" in pratica quindi nel post che hai citato avrei dovuto definire Q(x):= A=B e R(x):= A=C e mi sembrano proposizioni valide. L'ho espresso malissimissimo prima ma ora mi sembra giusto. Spero!
Anche qui, non stai affermando niente perché i due insiemi $A={x in V | f(x)=0*x}$, $B={x in V | f(x)= lambda * 0}$ sono uguali, cioè $A=B$, essendo $lambda *0=0=0*x$. Cioè stai scrivendo "$x in A$ oppure $x in A$" (ha senso scriverlo?)
Hai ragione, ci ho ripensato e così non ha senso, ma quello che avevo in testa mi sembra averlo e vorrei chiederti una mano su come formalizzarlo.
Io mi sono reso conto di questa cosa: Assumiamo $0=f(x)$ e che $f(x)=lambda, lambda in RR$ allora posso scrivere $0=f(x)=λx,∀λ in RR$, ma se $f(x)=λx=0$ per l'annullamento del prodotto ho che $λ⋅x=0⇔x=0orλ=0$. Fin qui tutto ok.
Siccome quelle equazioni sono quelle che definiscono gli insiemi di mio interesse:
$ker(f)={x∈V∣f(x)=0}$ e $V_λ={x∈V∣f(x)=λx}$
vorrei portarmi a livello di insiemi e dire:
Assumo l'insieme $T:={x∈V∣f(x)=λx=0, AA lambda in RR}$, che coincide con $ker(f)$ ($ker(f)=T$).
Ora, sfruttando l'annullamento del prodotto devo avere ${x∈V∣f(x)=λx=0}$ che sarà uguale a ${x∈V∣f(x)=λx=0, lambda=0}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x)=λx=0, x=0}$[nota](è il discorso fatto prima degli insiemi A, B, C con A=b o A=C).[/nota] e questo secondo insieme è proprio ${0}$ che stridendo con l'ipotesi non va bene
A questo punto ci resta $ker(f)={x∈V∣f(x)=λx=0}={x∈V∣f(x)=λx=0, lambda=0}$ ma l'ultimo membro è proprio la definzione di autospazio associato a autovalore nullo!
"nocciolodeldiscorso":Vedi già qui non ha senso perché $f(x)$ è un vettore mentre $lambda$ è uno scalare. Quindi non possono essere uguali. Forse intendi $f(x)=lambda x$? Ma allora $x$ è autovettore di $f$ con autovalore $lambda$. Ma come fai a sapere che $x$ è autovettore di $f$? Non lo sai. (Nota che non ogni vettore è autovettore.) Quindi questo scalare $lambda$ potrebbe non esistere.
Assumiamo $0=f(x)$ e che $f(x)=lambda, lambda in RR$
allora posso scrivere $0=f(x)=λx,∀λ in RR$,No, assolutamente no. Non lo puoi scrivere. Come fa $f(x)$ ad essere uguale a $lambda x$ per ogni $lambda in RR$? E' il "per ogni" che non ha senso. Se rileggi sopra, vedrai che $lambda$ è uno scalare ben preciso e fissato. Non ha senso metterci il quantificatore davanti. E' come se io dicessi "per ogni $2$", capisci? $2$ è una cosa definita e non varia, non ha senso metterci un quantificatore davanti.
ma se $f(x)=λx=0$ per l'annullamento del prodotto ho che $λ⋅x=0⇔x=0orλ=0$. Fin qui tutto ok.Beh, "tutto ok" mica tanto, non ho capito cosa stai dimostrando. Hai preso $x$ tale che $f(x)=0$, e poi hai supposto che $x$ sia autovettore con autovalore $lambda$ (giusto?), cioè che $f(x)=lambda x$. Non sai ancora se $x$ è autovettore. E invece di dimostrare che $x$ è autovettore, lo supponi (il che è del tutto illogico). Ma il punto è che il fatto che $x$ è autovettore è del tutto ovvio (con autovalore $0$) perché $f(x)=0=0*x$. Fine. Finisce qui la dimostrazione. Tutto il resto sono chiacchiere!
Assumo l'insieme $T:={x∈V∣f(x)=λx=0, AA lambda in RR}$,Vedi, qui diventa chiaro che hai delle lacune dal punto di vista del linguaggio formale matematico. Per prima cosa, non puoi "assumere" un insieme. Cosa significa assumere un insieme? In tutta questa storia tu tratti gli insiemi come enunciati, ma sono insiemi. E' come se io dicessi "assumo l'insieme ${1,2,3}$". Cosa significa? Seconda cosa, l'uguaglianza che definisce l'insieme $T$ è "$f(x)=lambda x=0$ per ogni $lambda in RR$". Cioè qui stai dicendo che $lambda x = 0$ per ogni $lambda in RR$? Spero di no, perché non avrebbe alcun senso (o meglio, sarebbe equivalente a dire $x=0$, ma immagino che non sia questa la tua intenzione). Per come capisco io, l'insieme $T$ da te definito è semplicemente ${x in V | f(x)=0}$, cioè è uguale a $ker(f)$. E infatti lo dici subito dopo. E con questo? Stai solo dicendo "Consideriamo $T=ker(f)$".
A questo punto ci resta $ker(f)={x∈V∣f(x)=λx=0}={x∈V∣f(x)=λx=0, lambda=0}$ ma l'ultimo membro è proprio la definzione di autospazio associato a autovalore nullo!Sforzandomi un attimo in tutta questa confusione, mi sembra di aver capito che quello che vuoi dimostrare è il fatto seguente: "se $x$ è autovettore con autovalore $lambda$ e $x in ker(f)$ allora $lambda=0$". Ma questo enunciato è del tutto ovvio perché da un lato $f(x)=lambda x$, dall'altro $f(x)=0$ e quindi $lambda x = 0$. Ora siccome $x$ è autovettore, è non nullo per definizione e quindi $lambda=0$.
Quando scrivi ${x∈V∣f(x)=λx=0}$ ti giuro che non si capisce. Questa scrittura non ha senso. Penso che quello che intendi dire è "l'insieme dei vettori $x in V$ tali che $f(x)=0$ e $f(x)=lambda x$ per qualche $lambda in RR$", giusto? Da questo segue immediatamente che per ogni tale $x$ diverso da $0$, il $lambda$ associato dev'essere $0$. Infatti da $lambda x = 0$ e $x ne 0$ segue che $lambda = 0$, come hai già ripetuto più volte. E in generale ti consiglio di darlo per scontato perché è una cosa del tutto ovvia, non scrivere ogni volta "per l'annullamento del prodotto" eccetera. Non è solo una questione di forma: se ti fissi ogni volta su dettagli banali, ti perdi.
Comunque ho capito che tu prendi $x in ker(f)$, assumi che sia autovettore associato a un certo autovalore $lambda$ e deduci che se $x ne 0$ allora $lambda=0$. Questo si può fare ma il punto è che non è questo che devi fare. Quello che devi fare è prendere $x in ker(f)$ diverso da $0$ e dimostrare che è un autovettore (dimostrarlo, non supporlo!) con autovalore $0$.
Si capisce che hai delle cose sensate in testa, ma quando le scrivi si capisce molto poco di quanto vuoi dire.
Porca miseria, ogni volta che mi sembra di averla aggiustata mi smonti tutto e mi rigetti nel dubbio perché sono tutte correzioni iper-sensate e mi sento idiota a non esserci arrivato .
E' vero perché la mia idea era di voler dire $0=f(x)=lambdax$ con lambda nei reali, il fatto è che credevo di dover quantificare per forza, il senso che volevo dare era solo che volevo f(x)=0 fosse dato da un prodotto di un reale moltiplicato un vettore x, reale che può non esistere ovviamente e poi andavo a mostrare che era zero; insomma la scrittura che vorrei è: $0=f(x)=lambdax, lambda in R$, ovviamente non "per ogni" bensì per $lambda$ corretti ma non saprei come renderlo. Forse così come scritto ora va bene?
Ecco questa lacuna mi preme molto correggerla perché avverto che una base degli errori stia proprio qui.
Quello che volevo capire era come rendere questa cosa: in testa avevo di voler dire "sia (assumo è errato) un insieme T di elementi tali per cui le x che ne fanno parte rispettino il fatto che f(x) sia pari al prodotto di lambda (valore reale) e x vettore; inoltre che sia tale per cui questo prodotto sia nullo (quindi come evidenzi coincide alla fine col kernel)" Spero ora sia giusto perché ho colto la critica su "assumo" ma non capisco se posso correggerla dicendo sia l'insieme di elementi con tal caratteristica. Inoltre il per ogni che ho usato è infelice, ma corrisponde all'errore del quote precedente, potrei renderlo come $T:={x∈V∣f(x)=λx,λ∈Randf(x)=0}$, io ho questa idea e razionalmente mi pare valdia ma non so se lo sia in formule a questo punto.
Questo è esattamente quello che avevo in mente ma molte lacune mi portavano fuori rotta. Quello che qui ora ti chiedo è se posso in qualche modo fare questo usando gli insiemi. Cioè dire:
Sia l'insieme $T$ degli elementi ${x in V| f(x)=lambdax, lambda in RR and f(x)=0}=ker(f)$ messo così sarebbe ora giusto dire:
T è uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,λ=0}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,x=0}$, dove come ripetuto più volte l'ultimo non ha senso di esistere per via di $x!=0$?
Vorrei ciè rendere a livelllo insiemistico questo ragionamento: "da un lato f(x)=λx, dall'altro f(x)=0 e quindi λx=0. Ora siccome x è autovettore, è non nullo per definizione e quindi λ=0"
Questo è un altro punto importantissimo che mi era sfuggito, in effetti suppongo solo che x sia autovettore facendo come faccio io e mostro $lambda=0$, mi resterebbe poi da mostrare che x è un autovettore; in un certo senso la dimostrazione si potrebbe concludere, diventando sensata, se dimostrassi in qualche modo x essere un autovettore?
Non lo farò perché la tua domostrazione è molto più snella ma volevo capire se funzionerebbe come idea.
.E' il "per ogni" che non ha senso.
E' vero perché la mia idea era di voler dire $0=f(x)=lambdax$ con lambda nei reali, il fatto è che credevo di dover quantificare per forza, il senso che volevo dare era solo che volevo f(x)=0 fosse dato da un prodotto di un reale moltiplicato un vettore x, reale che può non esistere ovviamente e poi andavo a mostrare che era zero; insomma la scrittura che vorrei è: $0=f(x)=lambdax, lambda in R$, ovviamente non "per ogni" bensì per $lambda$ corretti ma non saprei come renderlo. Forse così come scritto ora va bene?
[quote]Assumo l'insieme $T:={x∈V∣f(x)=λx=0, AA lambda in RR}$,Vedi, qui diventa chiaro che hai delle lacune dal punto di vista del linguaggio formale matematico. Per prima cosa, non puoi "assumere" un insieme. Cosa significa assumere un insieme? In tutta questa storia tu tratti gli insiemi come enunciati, ma sono insiemi. E' come se io dicessi "assumo l'insieme ${1,2,3}$". Cosa significa? Seconda cosa, l'uguaglianza che definisce l'insieme $T$ è "$f(x)=lambda x=0$ per ogni $lambda in RR$". Cioè qui stai dicendo che $lambda x = 0$ per ogni $lambda in RR$? Spero di no, perché non avrebbe alcun senso (o meglio, sarebbe equivalente a dire $x=0$, ma immagino che non sia questa la tua intenzione). Per come capisco io, l'insieme $T$ da te definito è semplicemente ${x in V | f(x)=0}$, cioè è uguale a $ker(f)$. E infatti lo dici subito dopo. E con questo? Stai solo dicendo "Consideriamo $T=ker(f)$".[/quote]
Ecco questa lacuna mi preme molto correggerla perché avverto che una base degli errori stia proprio qui.
Quello che volevo capire era come rendere questa cosa: in testa avevo di voler dire "sia (assumo è errato) un insieme T di elementi tali per cui le x che ne fanno parte rispettino il fatto che f(x) sia pari al prodotto di lambda (valore reale) e x vettore; inoltre che sia tale per cui questo prodotto sia nullo (quindi come evidenzi coincide alla fine col kernel)" Spero ora sia giusto perché ho colto la critica su "assumo" ma non capisco se posso correggerla dicendo sia l'insieme di elementi con tal caratteristica. Inoltre il per ogni che ho usato è infelice, ma corrisponde all'errore del quote precedente, potrei renderlo come $T:={x∈V∣f(x)=λx,λ∈Randf(x)=0}$, io ho questa idea e razionalmente mi pare valdia ma non so se lo sia in formule a questo punto.
Sforzandomi un attimo in tutta questa confusione, mi sembra di aver capito che quello che vuoi dimostrare è il fatto seguente: "se x è autovettore con autovalore λ e x∈ker(f) allora λ=0". Ma questo enunciato è del tutto ovvio perché da un lato f(x)=λx, dall'altro f(x)=0 e quindi λx=0. Ora siccome x è autovettore, è non nullo per definizione e quindi λ=0.
Questo è esattamente quello che avevo in mente ma molte lacune mi portavano fuori rotta. Quello che qui ora ti chiedo è se posso in qualche modo fare questo usando gli insiemi. Cioè dire:
Sia l'insieme $T$ degli elementi ${x in V| f(x)=lambdax, lambda in RR and f(x)=0}=ker(f)$ messo così sarebbe ora giusto dire:
T è uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,λ=0}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,x=0}$, dove come ripetuto più volte l'ultimo non ha senso di esistere per via di $x!=0$?
Vorrei ciè rendere a livelllo insiemistico questo ragionamento: "da un lato f(x)=λx, dall'altro f(x)=0 e quindi λx=0. Ora siccome x è autovettore, è non nullo per definizione e quindi λ=0"
Questo si può fare ma il punto è che non è questo che devi fare.
Questo è un altro punto importantissimo che mi era sfuggito, in effetti suppongo solo che x sia autovettore facendo come faccio io e mostro $lambda=0$, mi resterebbe poi da mostrare che x è un autovettore; in un certo senso la dimostrazione si potrebbe concludere, diventando sensata, se dimostrassi in qualche modo x essere un autovettore?
Non lo farò perché la tua domostrazione è molto più snella ma volevo capire se funzionerebbe come idea.
"nocciolodeldiscorso":Ecco, buona idea: quando introduci un insieme descrivilo a parole così ti si capisce. Allora, il tuo $T$ è l'insieme dei vettori $x in V$ che soddisfano le seguenti due condizioni.
in testa avevo di voler dire "sia (assumo è errato) un insieme T di elementi tali per cui le x che ne fanno parte rispettino il fatto che f(x) sia pari al prodotto di lambda (valore reale) e x vettore; inoltre che sia tale per cui questo prodotto sia nullo (quindi come evidenzi coincide alla fine col kernel)" Spero ora sia giusto perché ho colto la critica su "assumo" ma non capisco se posso correggerla dicendo sia l'insieme di elementi con tal caratteristica. Inoltre il per ogni che ho usato è infelice, ma corrisponde all'errore del quote precedente, potrei renderlo come $T:={x∈V∣f(x)=λx,λ∈Randf(x)=0}$, io ho questa idea e razionalmente mi pare valdia ma non so se lo sia in formule a questo punto.
1. $f(x)=0$.
2. Esiste $lambda in RR$ tale che $f(x)=lambda x$.
Il problema con questa definizione è che è immediato vedere che $T$ è proprio uguale a $ker(f)$, quindi non stai introducendo niente di nuovo. Per mostrare che $T$ è uguale a $ker(f)$, dimostriamo le due inclusioni. Se $x in T$ allora $f(x)=0$ e quindi $x in ker(f)$. Questo mostra che $T subseteq ker(f)$. Per l'altra inclusione, prendiamo $x in ker(f)$. Allora $f(x)=0$ quindi il punto 1 vale, e vale anche il punto 2 scegliendo $lambda=0$.
Tutto questo per dire che il tuo misterioso insieme $T$ altro non è che $ker(f)$, ne hai solo dato una definizione più complicata (senza motivo). Il problema è che nel prosieguo della tua dimostrazione tratti $T$ come un insieme diverso da $ker(f)$, e questo ovviamente è sbagliato. Un insieme è quello che è, se a un certo punto lo ridefinisci in modo diverso e alternativo quell'insieme non cambia mica.
T è uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,λ=0}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,x=0}$Guarda, qui stai dicendo esattamente la cosa seguente: $T$ è uguale a $ker(f)$ oppure uguale a ${0}$. Ovviamente è vero, perché sappiamo (vedi sopra) che $T$ è uguale a $ker(f)$. Cioè è come se io dicessi "$T$ è uguale a $ker(f)$ oppure io sono Paperino", che è vero perché già sappiamo che $T$ è uguale a $ker(f)$ e quindi il fatto che io non sono Paperino non inficia la correttezza della congiunzione "OR" (formalmente, se hai un enunciato vero $A$ e un enunciato falso $B$ allora l'enunciato $A or B$ è vero). Quindi per riassumere, quello che scrivi è vero ma del tutto inutile perché vacuo: stai solo dicendo che $ker(f)$ è uguale a $ker(f)$.
in effetti suppongo solo che x sia autovettore facendo come faccio io e mostro $lambda=0$, mi resterebbe poi da mostrare che x è un autovettore; in un certo senso la dimostrazione si potrebbe concludere, diventando sensata, se dimostrassi in qualche modo x essere un autovettore?Sì certo, se dimostri prima che $x$ è autovettore e poi ci aggiungi il tuo argomento hai terminato, ma naturalmente il tuo argomento va pulito moltissimo, direi fino a ridurlo a una riga. Come ti ripeto stai spendendo moltissime parole su una cosa che è, in fondo, ovvia.
Non lo farò perché la tua domostrazione è molto più snella ma volevo capire se funzionerebbe come idea.
Quindi per riepilogare, quello che devi fare è prendere $x in ker(f)$ diverso da $0$ e mostrare che è autovettore. Per farlo, basta che scrivi $f(x)=0=0*x$. Questo dimostra che $x$ è autovettore, perché l'uguaglianza $f(x)=0*x$ mostra che $f(x)$ è un multiplo scalare di $x$ (dove lo scalare è $0$). Lo scalare $0$ si chiama autovalore associato a $x$ (sto usando la definizione che hai studiato di autovettore e autovalore!). Quindi $0$ è autovalore. Tutto il resto sono chiacchiere.
Ti ringrazio molto perché credo finalmente di aver capito i punti che mi incasinavano molto il pensiero.
Volevo solo precisare che questo mi è iper-chiaro, già da quando l'hai scritto, nel senso che sono tonto ma non così tanto, ho voluto continuare sulle chiacchiere perché mi sono accorto che i dubbi erano più che altro dovuti a lacune e mi premeva tantissimo capirle per non ricommettere gli stessi errori in futuro. Quindi il ripeilogo è chiarissimo però la domanda esulava ormai dal solo kernel e autospazio del titolo.
Per il resto (riassumendo per tirare le fila):
1) direi che il fatto che T coincida con ker(f) mi è chiaro dopo questa tua dimostrazione formale.
2) L'errore di scrivere il per ogni $T:={x∈V∣f(x)=λx,AAλ∈Randf(x)=0}$ lo correggo scrivendo $T:={x∈V∣f(x)=λx,λ∈Randf(x)=0}$, e questo ci dice che per qualche lambda (non tutti i lambda) ho le x in quell'insieme.
3)
Questo era per me uno dei punti più ostici nel senso che mi portavan fuori strada le equazioni che definivano l'insieme, io vedevo $(x)=λx,λ∈Randf(x)=0$ e questo mi portava a scrivere: $λx=0 <=> x=0 or lambda=0$, avendo la possibilità di spezzarla in due equazioni questo mi convinceva a spezzare anche la definizione di "T" nei due insiemi rispettivi che ne uscivano (e mi sembrava di scrivere qualcosa di utile e diverso):
T è uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,λ=0}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,x=0}$
che è anche giusto, ma in realtà del tutto inutile come mi fai osservare, perché di fatto è lo stesso noioso insieme ker(f) avendo A vero OR B falso.
Mi sembra tutto a posto ora. Ci ho messo un po' perché usavo una grammatica errata e piena di lacune nella matematica, quindi non riuscivo a spiegare i miei dubbi che fondamentalmente erano questi 3!
Una volta capito come usarla mi è stato più semplice capirti. Spero davvero di non aver detto altre scemenze ma ormai mi sembra giusto! Grazie mille per il tuo spronarmi a scrivere meglio, questo sì è un ottimo insegnamento.
Quindi per riepilogare, quello che devi fare è prendere x∈ker(f) diverso da 0 e mostrare che è autovettore. Per farlo, basta che scrivi f(x)=0=0⋅x. Questo dimostra che x è autovettore, perché l'uguaglianza f(x)=0⋅x mostra che f(x) è un multiplo scalare di x (dove lo scalare è 0). Lo scalare 0 si chiama autovalore associato a x (sto usando la definizione che hai studiato di autovettore e autovalore!). Quindi 0 è autovalore. Tutto il resto sono chiacchiere.
Volevo solo precisare che questo mi è iper-chiaro, già da quando l'hai scritto, nel senso che sono tonto ma non così tanto
, ho voluto continuare sulle chiacchiere perché mi sono accorto che i dubbi erano più che altro dovuti a lacune e mi premeva tantissimo capirle per non ricommettere gli stessi errori in futuro. Quindi il ripeilogo è chiarissimo però la domanda esulava ormai dal solo kernel e autospazio del titolo.Per il resto (riassumendo per tirare le fila):
1) direi che il fatto che T coincida con ker(f) mi è chiaro dopo questa tua dimostrazione formale.
2) L'errore di scrivere il per ogni $T:={x∈V∣f(x)=λx,AAλ∈Randf(x)=0}$ lo correggo scrivendo $T:={x∈V∣f(x)=λx,λ∈Randf(x)=0}$, e questo ci dice che per qualche lambda (non tutti i lambda) ho le x in quell'insieme.
3)
Guarda, qui stai dicendo esattamente la cosa seguente: $T$ è uguale a $ker(f)$ oppure uguale a ${0}$. Ovviamente è vero, perché sappiamo (vedi sopra) che $T$ è uguale a $ker(f)$. Cioè è come se io dicessi "$T$ è uguale a $ker(f)$ oppure io sono Paperino", che è vero perché già sappiamo che $T$ è uguale a $ker(f)$ e quindi il fatto che io non sono Paperino non inficia la correttezza della congiunzione "OR" (formalmente, se hai un enunciato vero $A$ e un enunciato falso $B$ allora l'enunciato $A or B$ è vero). Quindi per riassumere, quello che scrivi è vero ma del tutto inutile perché vacuo: stai solo dicendo che $ker(f)$ è uguale a $ker(f)$.
Questo era per me uno dei punti più ostici nel senso che mi portavan fuori strada le equazioni che definivano l'insieme, io vedevo $(x)=λx,λ∈Randf(x)=0$ e questo mi portava a scrivere: $λx=0 <=> x=0 or lambda=0$, avendo la possibilità di spezzarla in due equazioni questo mi convinceva a spezzare anche la definizione di "T" nei due insiemi rispettivi che ne uscivano (e mi sembrava di scrivere qualcosa di utile e diverso):
T è uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,λ=0}$ oppure uguale a ${x∈V∣f(x)=λx,x=0}$
che è anche giusto, ma in realtà del tutto inutile come mi fai osservare, perché di fatto è lo stesso noioso insieme ker(f) avendo A vero OR B falso.
Mi sembra tutto a posto ora
. Ci ho messo un po' perché usavo una grammatica errata e piena di lacune nella matematica, quindi non riuscivo a spiegare i miei dubbi che fondamentalmente erano questi 3!Una volta capito come usarla mi è stato più semplice capirti. Spero davvero di non aver detto altre scemenze ma ormai mi sembra giusto! Grazie mille per il tuo spronarmi a scrivere meglio, questo sì è un ottimo insegnamento.
Sì ok mi sembra che ci siamo!
[tex]T = \{ x \in V\ |\ f(x)=0\ \mbox{e}\ \exists\ \lambda=\lambda_x \mbox{ tale che } f(x)=\lambda x\}[/tex].
O lo scrivi esattamente così, usando tutti i quantificatori giusti (e allora va bene) oppure è meglio se ti spieghi a parole.
Prego, ciao!
"nocciolodeldiscorso":Sì ok ma il punto è che non sei obbligato a scrivere la definizione di un insieme come se la stessi spiegando a un calcolatore. In casi come questo, è molto meglio descrivere l'insieme $T$ a parole: puoi dire "$T$ è l'insieme dei vettori $x in V$ tali che $f(x)=0$ ed esiste $lambda in RR$ (che ovviamente dipende da $x$) tale che $f(x)=lambda x$". Vedi che è meglio fare così? Il tuo obiettivo principale non è scrivere tutto al massimo della correttezza logica, il tuo obiettivo è farti capire. Certo, scrivere tutto al massimo della correttezza logica è una cosa che ha senso, ma spesso è tanto faticoso quanto inutile. Uno dovrebbe scrivere
2) L'errore di scrivere il per ogni $T:={x∈V∣f(x)=λx,AAλ∈Randf(x)=0}$ lo correggo scrivendo $T:={x∈V∣f(x)=λx,λ∈Randf(x)=0}$, e questo ci dice che per qualche lambda (non tutti i lambda) ho le x in quell'insieme.
[tex]T = \{ x \in V\ |\ f(x)=0\ \mbox{e}\ \exists\ \lambda=\lambda_x \mbox{ tale che } f(x)=\lambda x\}[/tex].
O lo scrivi esattamente così, usando tutti i quantificatori giusti (e allora va bene) oppure è meglio se ti spieghi a parole.
Prego, ciao!
Ho capito 
. Grazie per tutte le spiegazioni utili.
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