Isomorfismi tra spazi vettoriali

[albalonga1]

Mi è capitato di svolgere diversi esercizi in cui dati due spazi vettoriali dovessi dimostrarne l'isomorfismo (sia monomorfismo giocando sul ker, che epimorfismo lavorando sul "codominio").

Il punto è che sono sempre spazi dati, mi chiedevo ora se fosse in qualche modo generalizzabile con una dimostrazione che due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali) siano sempre isomorfi tra loro. Senza specificarne il tipo di spazio come negli esercizi che mi sono stati dati.

Non mi è del tutto chiaro questo fatto, ringrazio !

[anto_zoolander]

Ok mea culpa

[albalonga1]

Ciao a tutti,
in realtà pensavo di aver fatto una domanda stupida da uno stupido, non pensavo a tante risposte lol.

Vi chiedo però se possiamo in qualche modo tirare le fila perché ora sono confuso: mi sembra di poter dire sia si che no, mi spiego:

1) modo

Questo

[tex]\xymatrix{
V\ar[d]\ar@{.>}[r] & W \ar[d]\\
K^n \ar[r] & K^n
}[/tex]

che mi sembra questo:

"anto_zoolander":Per due spazi che hanno la stessa dimensione prendi due basi $B_V={v_1,...,v_n}$ e $B_W={w_1,...,w_n}$

Definisci $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=x_1w_1+...+x_nw_n$
Che proprietà ha questa applicazione?

Sembra che dicano di sì.
Rispondo inoltre alladomanda del gentile @anto dicendo che mi sembra sia "linearità", ma non capisco in chemodo mi aiuti a capire che sia un isomorfismo

2) Modo

"Bokonon":
Isomorfismo: $ f@ f^(-1)=Id $ e $ f^(-1)@f=Id $
Nel caso che ho proposto la matrice F associata ad $f$ è $mxn$ con $Rk(F)=n$ quindi non è invertibile.

Vero anche questo, quindi non esiste matrice invertibile => non è u isomorfismo!

Cavolo, mi sono perso!

Ri-grazie

[anto_zoolander]

Contenuti offensivi

tu hai chiesto se avendo due spazi qualsiasi $V,W$ di dimensione $n$ essi possano essere o meno isomorfi a prescindere dalla tipologia dello spazio; la risposta è positiva.

l'applicazione $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=x_1w_1+...+x_nw_n$ è un isomorfismo tra i due spazi, infatti

$1)$ se $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=0 => x_1w_1+...+x_nw_n=0$ e per ind. lin. si ha $x_1=...=x_n=0$

$2)$ se $w in W$ allora esistono $x_1,...,x_n in k$ tali che $w=x_1w_1+...x_nw_n$ pertanto il vettore $x_1v_1+...x_nv_n=v in V$ è tale che $L(v)=w$

la prima ti dice che è iniettiva e la seconda che è suriettiva.
La linearità è banale pertanto è una applicazione invertibile e lineare, ossia un isomorfismo tra i due spazi vettoriali.

C'è di più; questa è anche l'unica applicazione per cui $L(v_i)=w_i$ per ogni $i=1,...,n$

NB: se devi mostrare che due spazi sono isomorfi ti basta mostrare che esiste ALMENO un isomorfismo e tra due spazi aventi la stessa dimensione queste è sempre possibile per l'esempio fatto.

Chiaramente l'essere isomorfi non implica che ogni applicazione tra i due spazi debba definire un isomorfismo di fatto l'applicazione nulla $L(v)=0$ con $L:V->W$ è una applicazione lineare che non è un isomorfismo

da cosa nasce quella applicazione?
basta unire quanto ha scritto bokonon e quanto ha scritto caulacau

se hai uno spazio di dimensione $n$ in genere esiste un isomorfismo canonico detto isomorfismo delle coordinate e si ottiene nel seguente modo

poni $B_V={v_1,...,v_n}$ una base dello spazio $V$ e definisci

$C_(B_V):k^n->V$ definita come $C_(B_V)(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_iv_i$

questo ragionamento ha senso per una proposizione molto importante

se $V$ è uno spazio vettoriale e $v_1,...,v_n$ sono vettori linearmente indipendenti allora ogni vettore di $v in <>$ si scrive in modo unico

basta notare che $sum_(k=1)^(n)x_iv_i=sum_(k=1)^(n)y_iv_i => sum_(k=1)^(n)(x_i-y_i)v_i=0$ e per indipendenza lineare dei vettori si ha $x_i-y_i=0$ per ogni $i=1,...,n$

questo è un fatto importante perché dice che quando uno spazio dimensione finita, una volta fissata una base, ogni suo vettore può essere individuato univocamente da una stringa di coordinate e per questo ha senso inserire "l'isomorfismo delle coordinate"

fondamentalmente gli isomorfismi ti servono per individuare completamente uno spazio, usandone un altro e se questa identificazione ti rende più facile la vita ben venga.

A questo punto verificato(provalo) che $C_(B_V)(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_iv_i$ sia un isomorfismo si può fare la seguente considerazione

ho due spazi $V,W$ della stessa dimensione e una volta fissate le basi $B_V={v_1,...,v_n}$ e $B_W={w_1,...,w_n}$ vengono fissati i due isomorfismi delle coordinate $C_(B_V):k^n->V$ e $C_(B_W):k^n->W$.
Essendo l'inverso di un isomorfismo anch'esso un isomorfismo e la composizione di due isomorfismi ancora un isomorfismo allora

$L:=C_(B_W)circC_(B_V)^(-1):V->k^n->W$

è ancora un isomorfismo e lo è tra i due spazi $V,W$

questa è la rappresentazione analitica di quanto esposto da caulacau, dove;

la freccine laterali sono $C_(B_V)$ e $C_(B_W)$
la freccina in basso suppongo sia l'identità di $k^n$

invertendo la freccina $k^n->W$ si ottiene che la composizione è la freccina $V->W$, nonché la composizione fatta sopra. Inoltre l'applicazione che ti ho dato come esempio è diciamo "il pacchetto pronto" dato da $C_(B_W)^(-1)circC_(B_V)$

[Bokonon]

"anto_zoolander":tu hai chiesto se avendo due spazi qualsiasi $V,W$ di dimensione $n$ essi possano essere o meno isomorfi a prescindere dalla tipologia dello spazio; la risposta è positiva.

Sta diventando inquietante questo thread

"albalonga":
mi chiedevo ora se fosse in qualche modo generalizzabile con una dimostrazione che due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali) siano [size=200]sempre isomorfi tra loro[/size].

[anto_zoolander]

bok ma cosa non ti piace? siamo in due a non capire dove tu voglia arrivare.

"sempre isomorfi tra loro" io lo leggo come "esista sempre almeno un isomorfismo tra loro" non so tu.

[Bokonon]

"anto_zoolander":
"sempre isomorfi tra loro" io lo leggo come "esista sempre almeno un isomorfismo tra loro" non so tu.

Ammetto che ho riso tanto e che volevo metterla in firma...ma non è un forum con uno spiccato senso dell'umorismo.

Albalonga! Impara l'italiano!

[anto_zoolander]

"bokonon":ma non è un forum con uno spiccato senso dell'umorismo

Dipende se consideri l’umorismo di basso livello una forma di umorismo

[Bokonon]

"anto_zoolander":
Dipende se consideri l’umorismo di basso livello una forma di umorismo

E' sempre un isomorismo

[albalonga1]

@anto: grazie, ora mi è chiaro

"Bokonon":[quote="anto_zoolander"]
Albalonga! Impara l'italiano!

[/quote]

Non credo di aver colto