Identificazione di SO(3)
Il mio libro di testo afferma che ogni matrice di $\text{SO}(3)$ che non sia l'identità è univocamente determinata dall'asse e dall'angolo di rotazione. L'asse è $\text{span}(v)$, dove $Av=v$.
Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?
Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?
Risposte
Quindi ci sono due matrici che hanno lo stesso autospazio (rispetto alla base canonica) perchè tu senti il bisogno di stabilire un verso?
Un angolo + una direzione = una matrice.
Un verso + un angolo antiorario = una rotazione che hai deciso tu.
Conosci vero la differenza fra direzione e verso?
Alla matematica non interessa quali sistemi di riferimento stabiliamo. Una parabola è una parabola. Punto.
Poi se è concava o convessa o punta verso destra o sinistra o nord-est poco gli frega.
(prego)
Un angolo + una direzione = una matrice.
Un verso + un angolo antiorario = una rotazione che hai deciso tu.
Conosci vero la differenza fra direzione e verso?
Alla matematica non interessa quali sistemi di riferimento stabiliamo. Una parabola è una parabola. Punto.
Poi se è concava o convessa o punta verso destra o sinistra o nord-est poco gli frega.
(prego)
"Bokonon":
Quindi ci sono due matrici che hanno lo stesso autospazio (rispetto alla base canonica) perchè tu senti il bisogno di stabilire un verso?
Un angolo + una direzione = una matrice.
Un verso + un angolo antiorario = una rotazione che hai deciso tu.
Conosci vero la differenza fra direzione e verso?
Alla matematica non interessa quali sistemi di riferimento stabiliamo. Una parabola è una parabola. Punto.
Poi se è concava o convessa o punta verso destra o sinistra o nord-est poco gli frega.
(prego)
Forse non riesco a capirti, io sto affermando che:
1) un orientamento dello spazio (=verso della rotazione antiorario o orario) + un asse (una retta, solo direzione e niente verso) + un verso della retta + un angolo determinano certamente un'unica matrice SO(3)
2) non è vero che un asse + un angolo determinano un'unica matrice SO(3)
"leonardo_mutti":
Il mio libro parla di asse come di autospazio di $1$, e dice che asse + angolo determinano unicamente una matrice in $\text{SO}(3)$. [strike]Siccome la definizione dell'angolo discende dal verso che scegli dell'asse, mi chiedevo come posso spiegare la proposizione del libro.[/strike]
Più chiaro di così non posso essere Leonardo.
L'angolo è neutro finchè non stabilisci un verso dell'asse.
Non c'è nessna ragione al mondo di catalogare le matrici in base ad un sistema di riferimento preferenziale..se non che pare che tu ne abbia uno stretto bisogno esistenziale!
"Bokonon":
[quote="leonardo_mutti"]
Il mio libro parla di asse come di autospazio di $1$, e dice che asse + angolo determinano unicamente una matrice in $\text{SO}(3)$. [strike]Siccome la definizione dell'angolo discende dal verso che scegli dell'asse, mi chiedevo come posso spiegare la proposizione del libro.[/strike]
Più chiaro di così non posso essere Leonardo.
L'angolo è neutro finchè non stabilisci un verso dell'asse.
Non c'è nessna ragione al mondo di catalogare le matrici in base ad un sistema di riferimento preferenziale..se non che pare che tu ne abbia uno stretto bisogno esistenziale![/quote]
Il mio scopo è di classificare queste matrici di SO(3) in base a asse e angolo per poi costruire un modello topologico come indicato da Dissonance.
Considera una rotazione di 90° attorno all'asse $z$, in senso antiorario. Questo è ambiguo, non determina bene una sola rotazione (una matrice di SO(3)), perchè posso intendere sia la rotazione di 90° antioraria attorno all'asse $z$ orientato positivamente, che la rotazione di 90° antioraria attorno all'asse $z$ orientato negativamente, che sono due trasformazioni diverse.
Sto provando a far corrispondere ad un asse e ad un angolo una sola rotazione (matrice di SO(3)): non posso farlo, non è così?
Senti sta diventando una chat.
Se vuoi classificarle tu, fai pure.
La definizione di SO è chiara, semplice e consistente ed è indipendente dal sistema di riferimento.
Il prodotto di due matrici distinte $T$ e $T^(-1)$ mi da $I$ eppure non conoscono il verso dell'asse.
Se lo ritieni matematicamente inaccettabile, posta su http://vixra.org/
Ultimamente va di moda.
Se vuoi classificarle tu, fai pure.
La definizione di SO è chiara, semplice e consistente ed è indipendente dal sistema di riferimento.
Il prodotto di due matrici distinte $T$ e $T^(-1)$ mi da $I$ eppure non conoscono il verso dell'asse.
Se lo ritieni matematicamente inaccettabile, posta su http://vixra.org/
Ultimamente va di moda.
"Bokonon":
Senti sta diventando una chat.
Se vuoi classificarle tu, fai pure.
La definizione di SO è chiara, semplice e consistente ed è indipendente dal sistema di riferimento.
Il prodotto di due matrici distinte $T$ e $T^(-1)$ mi da $I$ eppure non conoscono il verso dell'asse.
Se lo ritieni matematicamente inaccettabile, posta su http://vixra.org/
Ultimamente va di moda.
Non lo metto in dubbio ma questa questione non me la sono inventata io ora. Ti cito Wikipedia:
Every nontrivial proper rotation in 3 dimensions fixes a unique 1-dimensional linear subspace of R3 which is called the axis of rotation (this is Euler's rotation theorem). Each such rotation acts as an ordinary 2-dimensional rotation in the plane orthogonal to this axis. Since every 2-dimensional rotation can be represented by an angle φ, an arbitrary 3-dimensional rotation can be specified by an axis of rotation together with an angle of rotation about this axis. (Technically, one needs to specify an orientation for the axis and whether the rotation is taken to be clockwise or counterclockwise with respect to this orientation).
Come vedi l'ultima frase tra parentesi afferma lo stesso che sto dicendo io. Solamente che dall'articolo non mi ero chiaro come definisse l'angolo.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group
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