Esercizio:trovare nucleo della trasformazione lineare
Salve,
questo è il testo dell'esercizio in questione, spero in un vostro aiuto!!Ho cominciato da poco a studiare per preparare questa materia e nn ho le idee chiare su molte cosi..comincio da questo esercizio!
Grazie in anticipo!!
Sapendo che f(1,2,1,1)=(2,-1,1), f(2,-1,-1,1)=(-1,1,-1),f(-1,-1,2,1)=(1,1,-2) e f(1,-2,-1,-2)=(0,-1,4), stabilire quale tra i seguenti vettori genera il nucleo della trasformazione lineare f:R4-->R3
risp:
A) v=3,4,-3,3
B) v=21,8,-7,11
C) v=51,-2,-17,21
D) v=23,-22,-9,7
questo è il testo dell'esercizio in questione, spero in un vostro aiuto!!Ho cominciato da poco a studiare per preparare questa materia e nn ho le idee chiare su molte cosi..comincio da questo esercizio!
Grazie in anticipo!!
Sapendo che f(1,2,1,1)=(2,-1,1), f(2,-1,-1,1)=(-1,1,-1),f(-1,-1,2,1)=(1,1,-2) e f(1,-2,-1,-2)=(0,-1,4), stabilire quale tra i seguenti vettori genera il nucleo della trasformazione lineare f:R4-->R3
risp:
A) v=3,4,-3,3
B) v=21,8,-7,11
C) v=51,-2,-17,21
D) v=23,-22,-9,7
Risposte
sicuramente (0,0,0) e (1,0,0) non possono essere delle basi del codominio perchè sono linearmente dipendenti...
Questo dubbio mi è nato dall'esercizio seguente:
ho 3 punti appartenenti a $\mathbb{R}^2$
$A=(7/3,-8/3)$
$B=(4,-3)$
$C=(19/3,-14/3)$
ho una funzione $f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}$ che manda i 3 punti in:
$f(A)=(-3,2)$
$f(B)=(-2,5)$
$f(C)=(-3,8)$
devo scrivere la matrice $H$ associata a $f$ rispetto alla base ${A,B}$ del dominio e ${f(A),f(B)}$ del codominio:
io avrei brutalmente scritto:
$A=f(A)$,$B=f(B)$
da cui $H=((-3,-2),(2,5))$
ma a questo punto ho dei dubbi...
Questo dubbio mi è nato dall'esercizio seguente:
ho 3 punti appartenenti a $\mathbb{R}^2$
$A=(7/3,-8/3)$
$B=(4,-3)$
$C=(19/3,-14/3)$
ho una funzione $f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R}$ che manda i 3 punti in:
$f(A)=(-3,2)$
$f(B)=(-2,5)$
$f(C)=(-3,8)$
devo scrivere la matrice $H$ associata a $f$ rispetto alla base ${A,B}$ del dominio e ${f(A),f(B)}$ del codominio:
io avrei brutalmente scritto:
$A=f(A)$,$B=f(B)$
da cui $H=((-3,-2),(2,5))$
ma a questo punto ho dei dubbi...
Ti faccio notare una cosa: prendi due vettori linearmente indipendenti di $RR^2$, ad esempio $mathbf{v}_1 = (5,2)$, e $\mathbf{v}_2=(8,0)$ [sto inventando]. Ora considera la base $\mathcal{B}={mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2}$ di $RR^2$.
Le coordinate di $mathbf{v}_1$ rispetto a $\mathcal{B}$ sono $(1,0)$ e le coordinate di $mathbf{v}_2$ rispetto a $\mathcal{B}$ sono $(0,1)$ (prova a capire perché e come questa informazione può essere utile per il tuo esercizio).
Le coordinate di $mathbf{v}_1$ rispetto a $\mathcal{B}$ sono $(1,0)$ e le coordinate di $mathbf{v}_2$ rispetto a $\mathcal{B}$ sono $(0,1)$ (prova a capire perché e come questa informazione può essere utile per il tuo esercizio).
da quello che mi dicevi comprendo che
$H=((-3,-2),(2,5))$ è espressa rispetto alle basi canoniche del codominio ${(1,0),(0,1)}$
sapendo che la base del codominio è
$B_(cod)=((-3,-2),(2,5))$ dovrei moltiplicare le coordinate $(-3,-2)$ per questa base...
quindi $(-3,2)_(cod)=((-3,-2),(2,5))*(-3,2)_c=(5,4)_(cod)$???
$H=((-3,-2),(2,5))$ è espressa rispetto alle basi canoniche del codominio ${(1,0),(0,1)}$
sapendo che la base del codominio è
$B_(cod)=((-3,-2),(2,5))$ dovrei moltiplicare le coordinate $(-3,-2)$ per questa base...
quindi $(-3,2)_(cod)=((-3,-2),(2,5))*(-3,2)_c=(5,4)_(cod)$???
Non ho capito.
Rinnovo il mio invito a studiare la teoria, in particolare devi ripassare il cambiamento di base.
Rinnovo il mio invito a studiare la teoria, in particolare devi ripassare il cambiamento di base.
perdonami ma neanche io...il cambiamento di base in un'applicazione lineare posso farlo se ho già l'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche...in questo esercizio io non ho l'applicazione rispetto alle basi canoniche...come dovrei calcolare questa matrice di cambiamento di base?
"davymartu":
il cambiamento di base in un'applicazione lineare posso farlo se ho già l'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche
Che cosa significa questa frase? Dove l'hai letta? E' una cosa falsa, ammesso che abbia capito quello che intendi.
Tieni conto che non si "cambia base in un'applicazione lineare" (??) ma si cambia base in uno spazio vettoriale. Riformula i tuoi dubbi, dopo aver (almeno) letto (ti prego, fallo se no non ci capiamo) la teoria.
ok, allora ti riformulo il mio ragionamento:
ho 3 punti appartenenti a $\mathbb{R}^2$
$A=(7/3,-8/3)$
$B=(4,-3)$
$C=(19/3,-14/3)$
se volessi riscrivere queste coordinate rispetto alla base $B={A,B}$ del dominio dovrei scrivere:
$A=(1,0)$
$B=(0,1)$
ricavo $C$ come combinazione lineare di $A$ e $B$:
$C_B=x_B*A + y_B*B$
dove A e B sono i vettori della base. quindi:
$(19/3,-14/3)=-1/11(7/3,-8/3)+18/11(4,-3)$
da cui le coordinate rispetto alle basi ${A,B}$
$C=(-1/11,18/11)$
e per il dominio siamo apposto...
Ora per il codominio ho
$f(A)=(-3,2)$
$f(B)=(-2,5)$
$f(C)=(-3,8)$
devo scriverli rispetto ${f(A),f(B)}$ del codominio:
quindi
$f(A)=(1,0)$
$f(B)=(0,1)$
$f(C)=(-1/11,18/11)$
da cui la matrice che cercavo:
$H=((1,0,-1/11),(0,1,18/11))$
E' giusto così?
ho 3 punti appartenenti a $\mathbb{R}^2$
$A=(7/3,-8/3)$
$B=(4,-3)$
$C=(19/3,-14/3)$
se volessi riscrivere queste coordinate rispetto alla base $B={A,B}$ del dominio dovrei scrivere:
$A=(1,0)$
$B=(0,1)$
ricavo $C$ come combinazione lineare di $A$ e $B$:
$C_B=x_B*A + y_B*B$
dove A e B sono i vettori della base. quindi:
$(19/3,-14/3)=-1/11(7/3,-8/3)+18/11(4,-3)$
da cui le coordinate rispetto alle basi ${A,B}$
$C=(-1/11,18/11)$
e per il dominio siamo apposto...
Ora per il codominio ho
$f(A)=(-3,2)$
$f(B)=(-2,5)$
$f(C)=(-3,8)$
devo scriverli rispetto ${f(A),f(B)}$ del codominio:
quindi
$f(A)=(1,0)$
$f(B)=(0,1)$
$f(C)=(-1/11,18/11)$
da cui la matrice che cercavo:
$H=((1,0,-1/11),(0,1,18/11))$
E' giusto così?
Ok, ci siamo quasi.
Tutto giusto fin qui (scusami, non ho solo controllato i conti, ma il procedimento mi pare giusto). Solo un appunto linguistico:
Base, singolare. E' una sola quella che stai considerando, una sola base formata da due vettori.
Non ho capito come hai trovato $f(C)$.
Ma non ho capito come hai ottenuto questa matrice... chi hai messo in colonna? Che matrice vuoi trovare? Scusami ma non riesco a capire.
"davymartu":
ok, allora ti riformulo il mio ragionamento:
ho 3 punti appartenenti a $\mathbb{R}^2$
$A=(7/3,-8/3)$
$B=(4,-3)$
$C=(19/3,-14/3)$
se volessi riscrivere queste coordinate rispetto alla base $B={A,B}$ del dominio dovrei scrivere:
$A=(1,0)$
$B=(0,1)$
ricavo $C$ come combinazione lineare di $A$ e $B$:
$C_B=x_B*A + y_B*B$
dove A e B sono i vettori della base. quindi:
$(19/3,-14/3)=-1/11(7/3,-8/3)+18/11(4,-3)$
da cui le coordinate rispetto alle basi ${A,B}$
$C=(-1/11,18/11)$
e per il dominio siamo apposto...
Tutto giusto fin qui (scusami, non ho solo controllato i conti, ma il procedimento mi pare giusto). Solo un appunto linguistico:
"davymartu":
[...]rispetto alle basi ${A,B}$
Base, singolare. E' una sola quella che stai considerando, una sola base formata da due vettori.
"davymartu":
Ora per il codominio ho
$f(A)=(-3,2)$
$f(B)=(-2,5)$
$f(C)=(-3,8)$
devo scriverli rispetto ${f(A),f(B)}$ del codominio:
quindi
$f(A)=(1,0)$
$f(B)=(0,1)$
$f(C)=(-1/11,18/11)$
Non ho capito come hai trovato $f(C)$.
"davymarty":
da cui la matrice che cercavo:
$H=((1,0,-1/11),(0,1,18/11))$
E' giusto così?
Ma non ho capito come hai ottenuto questa matrice... chi hai messo in colonna? Che matrice vuoi trovare? Scusami ma non riesco a capire.
L'esercizio mi chiede:
hai pienamente ragione.
ho risolto il sistema:
$((-3,-2,|-3),(2,5,|8))$
da cui trovo che ho che $f(C)$ è combinazione lineare dei vettori della base del codominio ${f(A),f(B)}$:
$(-3,8)=-1/11*(-3,2)+18/11*(-2,5)$ che guardacaso sono le stesse coordinate che ho trovato per il dominio rispetto alla base ${A,B}$
"davymartu":
scrivere la matrice $H$ associata a $f$ rispetto alla base ${A,B}$ del dominio e ${f(A),f(B)}$ del codominio:
"Paolo90":
Base, singolare. E' una sola quella che stai considerando, una sola base formata da due vettori.
hai pienamente ragione.
"Paolo90":
Non ho capito come hai trovato $f(C)$.
ho risolto il sistema:
$((-3,-2,|-3),(2,5,|8))$
da cui trovo che ho che $f(C)$ è combinazione lineare dei vettori della base del codominio ${f(A),f(B)}$:
$(-3,8)=-1/11*(-3,2)+18/11*(-2,5)$ che guardacaso sono le stesse coordinate che ho trovato per il dominio rispetto alla base ${A,B}$
"davymartu":
scrivere la matrice $H$ associata a $f$ rispetto alla base ${A,B}$ del dominio e ${f(A),f(B)}$ del codominio:
Ah, scusa, mi ero perso la consegna. Be', comunque abbiamo finito: la matrice (ricordati che è 2x2) è semplicemente la matrice identità (metti sulle colonne le immagini dei vettori della base del dominio scritti rispetto alla base del codominio). Ma toglimi una curiosità: a che ti servono $C$ e la sua immagine? L'esercizio finisce qui o ci sono altri punti (lo spero, altrimenti non è un esercizio molto furbo)?
"davymartu":
ho risolto il sistema:
$((-3,-2,|-3),(2,5,|8))$
da cui trovo che ho che $f(C)$ è combinazione lineare dei vettori della base del codominio ${f(A),f(B)}$:
$(-3,8)=-1/11*(-3,2)+18/11*(-2,5)$ che guardacaso sono le stesse coordinate che ho trovato per il dominio rispetto alla base ${A,B}$
Sì, questo è giusto anche se, per ora, inutile.
Si in effetti li ho usati solo per verificare i concetti teorici su cui avevo dei dubbi! E ti ringrazio per avermi aiutato!
Quindi la matrice $H$ sarà semplicemente $((1,0),(0,1))$...
Ora tornando all'esercizio iniziale del post, mi chiedevo se potesse esserci un procedimento più veloce,
qualche post fa' mi scrivevi:
No, qui c'è un errore. La matrice è scritta rispetto alla base $B$ del dominio (che scrivi tu) e rispetto alla base canonica del codominio! I vettori scelti come immagine non devono necessariamente costituire una base, anzi.
Ora devo scappare, ma mi premeva dirti questa cosa. Caso mai, più tardi ne riparliamo.[/quote]
da come mi pare di aver capito ho $n=(3,5,-1,1)_B$ rispetto alla base $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$ del dominio e alla base canonica del codominio... applicando il procedimento a cui sono arrivato col tuo aiuto, potrei ottenere direttamente il nucleo rispetto alla base canonica?
Quindi la matrice $H$ sarà semplicemente $((1,0),(0,1))$...
Ora tornando all'esercizio iniziale del post, mi chiedevo se potesse esserci un procedimento più veloce,
qualche post fa' mi scrivevi:
"Paolo90":
Ciao.
[quote="davymartu"]
Volevo chiedere se qualcuno conosce un procedimento un po' più veloce
Io avevo inizialmente preso la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi date nell'esercizio:
$B=((2,-1,1,0),(-1,1,1,-1),(1,-1,-2,4))$
e trovato il nucleo rispetto alle basi date dall'esercizio (sia del dominio che del codominio):
$N(f)=((2,-1,1,0,|0),(-1,1,1,-1,|0),(1,-1,-2,4,|0))$
trovato il vettore $n=(3,5,-1,1)_B$
ma ovviamente questo vettore è rispetto alle basi $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$ del dominio e
$B'=<(2,-1,1),(-1,1,-1),(1,1,-2)$ del codominio...
No, qui c'è un errore. La matrice è scritta rispetto alla base $B$ del dominio (che scrivi tu) e rispetto alla base canonica del codominio! I vettori scelti come immagine non devono necessariamente costituire una base, anzi.
Ora devo scappare, ma mi premeva dirti questa cosa. Caso mai, più tardi ne riparliamo.[/quote]
da come mi pare di aver capito ho $n=(3,5,-1,1)_B$ rispetto alla base $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$ del dominio e alla base canonica del codominio... applicando il procedimento a cui sono arrivato col tuo aiuto, potrei ottenere direttamente il nucleo rispetto alla base canonica?
"davymartu":
Si in effetti li ho usati solo per verificare i concetti teorici su cui avevo dei dubbi! E ti ringrazio per avermi aiutato!
Ma figurati, è stato un piacere. Spero tu ora abbia le idee più chiare.
"davymartu":
da come mi pare di aver capito ho $n=(3,5,-1,1)_B$ rispetto alla base $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$ del dominio e alla base canonica del codominio... applicando il procedimento a cui sono arrivato col tuo aiuto, potrei ottenere direttamente il nucleo rispetto alla base canonica?
Ma $n$ sarebbe il vettore che genera il nucleo, giusto? Tieni conto che il nucleo è un sottospazio del dominio, dunque le componenti che hai scritto sono riferite ad una base del dominio (il codominio per ora non c'entra nulla). Ok fin qui?
Se hai seguito il procedimento di cui abbiamo parlato prima con nicknumberten allora [tex]\ker f= < (3,5,-1,1) >[/tex] dove le coordinate sono date rispetto alla base canonica del dominio (ed è proprio per questo che vi ho fatto risolvere quel sistema che mi dite essere pallosissimo!
)Il procedimento alternativo che cerchi è questo: scrivi la matrice associata alla applicazione rispetto alla base $B$ del dominio e rispetto alla base canonica del codominio. Poi ne calcoli il nullspace (risolvi cioè il sistema $AX=0$) e trovi i vettori che generano il nucleo. Sì, ma tali vettori sono scritti in componenti rispetto alla base $B$ quindi a questo punto devi cambiare base e scrivere i vettori trovati rispetto alla base canonica. Quest'ultimo passaggio non è obbligatorio, non l'ha prescritto nessuno, ma immagino che le risposte multiple proposte riportino i vettori in componenti rispetto alla base canonica... Hai capito?
E' un po' ingarbugliato, ne sono consapevole, ma c'è poco da fare, bisogna prenderci la mano con 'ste benedette basi.
ok, quello che ho calcolato $kerf=<(3,5,-1,1)>$ è proprio il nucleo rispetto alla base non canonica data nell'esercizio.
Ora io dovrei calcolarmi la matrice di cambiamento di base da B a C, devo praticamente trovare la matrice inversa della matrice associata alla base B?
Ora io dovrei calcolarmi la matrice di cambiamento di base da B a C, devo praticamente trovare la matrice inversa della matrice associata alla base B?
"davymartu":
ok, quello che ho calcolato $kerf=<(3,5,-1,1)>$ è proprio il nucleo rispetto alla base non canonica data nell'esercizio.
No, rileggi il mio intervento sopra. Quello è scritto rispetto alla base canonica!
"Paolo90":
Il procedimento alternativo che cerchi è questo: scrivi la matrice associata alla applicazione rispetto alla base $B$ del dominio e rispetto alla base canonica del codominio. Poi ne calcoli il nullspace (risolvi cioè il sistema $AX=0$) e trovi i vettori che generano il nucleo. Sì, ma tali vettori sono scritti in componenti rispetto alla base $B$ quindi a questo punto devi cambiare base e scrivere i vettori trovati rispetto alla base canonica. Quest'ultimo passaggio non è obbligatorio, non l'ha prescritto nessuno, ma immagino che le risposte multiple proposte riportino i vettori in componenti rispetto alla base canonica... Hai capito?
E' un po' ingarbugliato, ne sono consapevole, ma c'è poco da fare, bisogna prenderci la mano con 'ste benedette basi.
Allora secondo il tuo ragionamento dovrei risolvere il sistema $AX=0$
dove $A$ è la matrice associata all'applicazione rispetto alla base data nell'esercizio:
"davymartu":
base del dominio $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$
la matrice $A$ è
$((2,-1,1,0),(-1,1,1,-1),(1,-1,-2,4))$
risolvo il sistema omogeneo:
$N(f)=((2,-1,1,0,|0),(-1,1,1,-1,|0),(1,-1,-2,4,|0))$
trovato il vettore $N(f)=t*(3,5,-1,1) \forall t in \mathbb{R}$
ma ovviamente questo vettore è rispetto alla base $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$ del dominio e
base canonica del codominio (da quello che mi dicevi alcuni post fa).
è qui che dovrei trasformare le coordinate $N(f)=(3,5,-1,1)$ in coord della base canonica??
"davymartu":
Allora secondo il tuo ragionamento dovrei risolvere il sistema $AX=0$
dove $A$ è la matrice associata all'applicazione rispetto alla base data nell'esercizio:
[quote="davymartu"]
base del dominio $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$
la matrice $A$ è
$((2,-1,1,0),(-1,1,1,-1),(1,-1,-2,4))$
risolvo il sistema omogeneo:
$N(f)=((2,-1,1,0,|0),(-1,1,1,-1,|0),(1,-1,-2,4,|0))$
[/quote]
da qui che mi sbagliavo, o meglio sbagliavo i calcoli e ciò non mi permetteva di dimostrarti quello che volevo!
"davymartu":
trovato il vettore $N(f)=t*(3,5,-1,1) \forall t in \mathbb{R}$
Sbagliato!
, il vettore che trovo è invece $N(f)=(-5,-7,3,1)_B$poi continuiamo il ragionamento:
"davymartu":
ma ovviamente questo vettore è rispetto alla base $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$ del dominio e
base canonica del codominio (da quello che mi dicevi alcuni post fa).
è qui che dovrei trasformare le coordinate $N(f)=(-5,-7,3,1)_B$ in coord della base canonica $C$??
mi rispondo da solo dicendomi che devo calcolare la matrice inversa della matrice della associata alla base $A$:
$A^(-1)=((1,2,-1,1),(2,-1,-1,-2),(1,-1,2,-1),(1,1,1,-2))^(-1)=$
[tex]\begin{pmatrix}\frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\cr \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3}\cr \frac{1}{30} & -\frac{7}{30} & \frac{11}{30} & \frac{1}{15}\cr \frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} & -\frac{2}{5}\end{pmatrix}[/tex]
ora che ho ottenuto questa matrice (che è la matrice di cambiamento dalla base $B$ alla base canonica,
la moltiplico per le coordinate del vettore $ N(f)=(-5,-7,3,1)_B$
[tex]\begin{pmatrix}\frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\cr \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3}\cr \frac{1}{30} & -\frac{7}{30} & \frac{11}{30} & \frac{1}{15}\cr \frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} & -\frac{2}{5}\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-5\cr -7 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-21 \ & -8 \ & \ 7 & \ -11 \end{pmatrix}[/tex]
l'unica cosa che mi domando è perchè ho ottenuto il vettore del nucleo $N(f)$ cambiato di segno? (se risolvo col metodo iniziale che ho esposto a pagina 2 di questo argomento ottengo $N(f)=(21,8,-7,11)$
"davymartu":
ora che ho ottenuto questa matrice (che è la matrice di cambiamento dalla base $B$ alla base canonica,
la moltiplico per le coordinate del vettore $ N(f)=(-5,-7,3,1)_B$
mi sbagliavo, le ho messe a sistema:
[tex]\begin{pmatrix}\frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\cr \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3}\cr \frac{1}{30} & -\frac{7}{30} & \frac{11}{30} & \frac{1}{15}\cr \frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} & -\frac{2}{5}\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1\cr x_2\cr x_3 \cr x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\cr -7 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix}[/tex]
da cui ottengo
[tex]v= \begin{pmatrix}-21 \ & -8 \ & \ 7 & \ -11 \end{pmatrix}[/tex]
Ora seguendo il tuo consiglio di studiare bene le matrici di cambiamento di base, da sopra ho applicato:
$A^(-1)*X_C=X_B$
dove $ X_B $ è un punto rispetto alla base $B$ e $X_C$ è lo stesso punto rispetto alla base canonica ed $A^(-1)$ è la matrice inversa della base $B$
ora se volessi fare il passaggio inverso (passare da $B$ a $C$) l'equazione è
$A*X_B=X_C$
che è quello che volevo ottenere visto che:
$((1,2,-1,1),(2,-1,-1,-2),(1,-1,2,-1),(1,1,1,-2))*((-5),(-7),(3),(1))=((-21),(-8),(7),(-11))$
il dubbio sul cambio dei segni è passato visto che un vettore $v1=a_1x_1-a_2x_2+a_3x_3$ è uguale al suo opposto $v2=-a_1x_1+a_2x_2-a_3x_3$ da cui $v1=v2$
Ti volevo ringraziare per il tempo che mi hai dedicato a farmi entrare questi concetti in mente, risolvendo quasi completamente i miei dubbi...
Oh, scusami, oggi non ho avuto troppo tempo libero, perdonami.
Da quel che vedo, però, mi pare tu abbia concluso: hai capito tutto? Ci sono altri dubbi? Sono contento tu abbia studiato la teoria, come vedi è fondamentale in queste cose.
Prego, figurati; è sempre un piacere aiutare qualcuno (quando ne sono in grado!).
Da quel che vedo, però, mi pare tu abbia concluso: hai capito tutto? Ci sono altri dubbi? Sono contento tu abbia studiato la teoria, come vedi è fondamentale in queste cose.
"davymartu":
Ti volevo ringraziare per il tempo che mi hai dedicato a farmi entrare questi concetti in mente, risolvendo quasi completamente i miei dubbi...
Prego, figurati; è sempre un piacere aiutare qualcuno (quando ne sono in grado!).
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