Esercizio(Analisi/Topologia):Punti interni,esterni,di frontiera e di Accumulazione
Salve,continuando lo studio dell'analisi mi sono ritrovato difronte ad alcuni argomenti base di topologia,che non penso di aver proprio compreso bene;per testare ciò ho provato a fare un esercizio e(ammesso che l'abbia fatto bene)non sono riuscito a rispondere a tutte le domande che venivano poste,se non vi reca disturbo potreste darmi un aiuto.
L'esercizio è questo:"Consideriamo il sottoinsieme$E$ di $RR^2$definito da:
\( E=A \cup B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2+y^2>1\} \cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:xy=0\} \)
e si determinino:
(a)I punti interni
(b)I punti esterni
(c)I punti di frontiera
(d)I punti di accumulazione".
Per rispondere al quesito ho pensato che la prima cosa da fare fosse determinare se l'insieme $E$ è aperto o chiuso(così da applicare eventuali teoremi)e già qui mi sono ritrovato in un problema dato che $A$ è aperto e $B$ è chiuso,e quindi prima cosa che volevo fare ,sbagliata.Allora pensavo prima di pensare quali fossero i punti interni,che corrispondono a quelli dell'insieme $A$,mentre i punti di frontiera sono quelli dell'insieme $B$ unito a ${1}$.I punti esterni ho pensato che fossero quelli dell'intersezione del complemento di $A$ con il complemento di $B$.Adesso però arrivo al problema principale,cioè trovare il derivato di $E$,ma anche "conoscendo" le definizioni,mi risulta sempre poco chiaro un concetto,cioè quello di punto di accumulazione,perché da quello che ho capito,il derivato di $E$ dovrebbe essere l'insieme $A$,però non ne sono certo.
L'esercizio è questo:"Consideriamo il sottoinsieme$E$ di $RR^2$definito da:
\( E=A \cup B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2+y^2>1\} \cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:xy=0\} \)
e si determinino:
(a)I punti interni
(b)I punti esterni
(c)I punti di frontiera
(d)I punti di accumulazione".
Per rispondere al quesito ho pensato che la prima cosa da fare fosse determinare se l'insieme $E$ è aperto o chiuso(così da applicare eventuali teoremi)e già qui mi sono ritrovato in un problema dato che $A$ è aperto e $B$ è chiuso,e quindi prima cosa che volevo fare ,sbagliata.Allora pensavo prima di pensare quali fossero i punti interni,che corrispondono a quelli dell'insieme $A$,mentre i punti di frontiera sono quelli dell'insieme $B$ unito a ${1}$.I punti esterni ho pensato che fossero quelli dell'intersezione del complemento di $A$ con il complemento di $B$.Adesso però arrivo al problema principale,cioè trovare il derivato di $E$,ma anche "conoscendo" le definizioni,mi risulta sempre poco chiaro un concetto,cioè quello di punto di accumulazione,perché da quello che ho capito,il derivato di $E$ dovrebbe essere l'insieme $A$,però non ne sono certo.
Risposte
"mklplo":A meno che l'essere aperto o chiuso sia una cosa "sbagliata" in topologia, non c'è alcun errore in questo tentativo!
...Per rispondere al quesito ho pensato che la prima cosa da fare fosse determinare se l'insieme $ E $ è aperto o chiuso(così da applicare eventuali teoremi)e già qui mi sono ritrovato in un problema dato che $ A $ è aperto e $ B $ è chiuso,e quindi prima cosa che volevo fare ,sbagliata...
"mklplo":Qui c'è un doppio errore: primo \(\displaystyle B\) non è l'insieme dei punti di frontiera per \(\displaystyle E\) dato che, per esempio \(\displaystyle(2,0)\) e \(\displaystyle(0,2)\) sono punti di \(\displaystyle B\) non di frontiera per \(\displaystyle E\); secondo errore, che significa che \(\displaystyle1\) è un punto di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)?
...mentre i punti di frontiera sono quelli dell'insieme $ B $ unito a $ {1} $...
Grazie,per la risposta,con sbagliata,intendo che è un tentativo fallito(non sono giunto a niente),mentre per ${1}$ volevo scrivere,tutti i punti tali che $x^2+y^2=1$,e invece ho scritto un stupidità.Per quanto riguarda $B$,non mi è chiaro,il perché non vadano bene quei punti come punti di frontiera(ammetto di averci capito poco di topologia),nel senso,l'insieme $E$ non è tutto $R^2$,tranne il complemento di $A$?
E più precisamente,la frontiera dell'unione di due insiemi,non è uguale all'unione delle frontiere degli insiemi?
Te lo chiedo,perché non ho ne una definizione completa(almeno penso) di ciò che sia una frontiera ne qualcosa circa le sue proprietà(fattasi eccezione per una che dipende dal fatto che un insieme sia chiuso).
edit:
Ho provato a ragionarci nuovamente e mi sono ricordato di un'altra proprietà,cioè che la frontiera di $E$ è uguale a quella del suo complemento,quindi ho provato a calcolare il complemento di $E$ che indico con $C(E)$ e trovo:
\( C(E)=C(A\cup B)=C(A) \cap C(B) \),che dovrebbe essere un disco centrato nell'origine(inclusa la circonferenza),con raggio unitario,esclusi i punti di $B$.La frontiera di tale insieme dovrebbe essere la circonferenza unitaria+l'insieme \( B \cap([-1,1]\times[-1,1]) \).Giusto?
Infine,per l'insieme derivato non so cosa fare.Se non ti dispiace,potresti aiutarmi,di nuovo?
E più precisamente,la frontiera dell'unione di due insiemi,non è uguale all'unione delle frontiere degli insiemi?
Te lo chiedo,perché non ho ne una definizione completa(almeno penso) di ciò che sia una frontiera ne qualcosa circa le sue proprietà(fattasi eccezione per una che dipende dal fatto che un insieme sia chiuso).
edit:
Ho provato a ragionarci nuovamente e mi sono ricordato di un'altra proprietà,cioè che la frontiera di $E$ è uguale a quella del suo complemento,quindi ho provato a calcolare il complemento di $E$ che indico con $C(E)$ e trovo:
\( C(E)=C(A\cup B)=C(A) \cap C(B) \),che dovrebbe essere un disco centrato nell'origine(inclusa la circonferenza),con raggio unitario,esclusi i punti di $B$.La frontiera di tale insieme dovrebbe essere la circonferenza unitaria+l'insieme \( B \cap([-1,1]\times[-1,1]) \).Giusto?
Infine,per l'insieme derivato non so cosa fare.Se non ti dispiace,potresti aiutarmi,di nuovo?
"mklplo":Penso che tu debba formulare meglio la domanda, perché in simboli hai chiesto se
...l'insieme $E$ non è tutto $R^2$,tranne il complemento di $A$?...
\[
E=\mathbb{R}^2\setminus\left(\mathbb{R}^2\setminus A\right);
\]
il quale è un modo complicato per chiedere se \(\displaystyle E=A\)!
Se ti fai un disegno, ottieni che \(\displaystyle E\) è \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) meno il disco chiuso di raggio \(\displaystyle1\) più una "croce": riesci a visualizzarlo?
Sì almeno $E$ ero riuscito a visualizzarlo,ma non mi ero accorto che la mia prima domanda portava a questa conseguenza,comunque va bene il modo in cui nel"edit" ho trovato la frontiera o presenta qualche errore?
E se non ti dispiace,potresti spiegarmi come fare con i punti di accumulazione,perché anche se ho letto e riletto sia la definizione del libro sia alcune equivalenti non capisco come trovare l'insieme derivato di un insieme.
E se non ti dispiace,potresti spiegarmi come fare con i punti di accumulazione,perché anche se ho letto e riletto sia la definizione del libro sia alcune equivalenti non capisco come trovare l'insieme derivato di un insieme.
Secondo me stai cercando di fare tutto assieme, senza avere capìto bene i concetti teorici...
Iniziamo dalla seconda domanda: quali sono i punti esterni ad \(\displaystyle E\), tenendo conto del disegno?
Iniziamo dalla seconda domanda: quali sono i punti esterni ad \(\displaystyle E\), tenendo conto del disegno?
Allora,i punti esterni di $E$ sono i punti,che non appartengono ad $E$ e non sono di frontiera,che in questo caso dovrebbe corrispondere ad un disco unitario esclusi i punti che si trovano sugli assi.
Giusto?
Giusto?
Allora,dopo averci pensato un po',penso che l'insieme derivato di $E$ sia $A$,perché ogni intorno dei punti che appartengo ad $A$,contiene infiniti punti di $E$ e da quel che ricordo,i punti di frontiera non possono essere di accumulazione,giusto?
"mklplo":Per esattezza: disco aperto, di centro \(\displaystyle(0,0)\) e raggio \(\displaystyle1\), e (ovviamente) meno gli assi.
Allora,i punti esterni di $E$ sono i punti,che non appartengono ad $E$ e non sono di frontiera,che in questo caso dovrebbe corrispondere ad un disco unitario esclusi i punti che si trovano sugli assi...
A presto!
Grazie della correzione e per l'aiuto.
Ti devo accompagnare con la mano...
Domanda 3: per definizione hai che \(\displaystyle\partial E=\overline{E}\cap\overline{\mathbb{R}^2\setminus E}\); riesci a calcolare questi insiemi, e poi la loro intersezione?
E ti ricordo che \(\displaystyle[a,b[\subset\mathbb{R}\) ha per frontiera \(\displaystyle\{a,b\}\) e come insieme dei punti di accumulazione \(\displaystyle[a,b]\), nella topologia naturale!
Domanda 3: per definizione hai che \(\displaystyle\partial E=\overline{E}\cap\overline{\mathbb{R}^2\setminus E}\); riesci a calcolare questi insiemi, e poi la loro intersezione?
E ti ricordo che \(\displaystyle[a,b[\subset\mathbb{R}\) ha per frontiera \(\displaystyle\{a,b\}\) e come insieme dei punti di accumulazione \(\displaystyle[a,b]\), nella topologia naturale!
Dai calcoli che ho fatto mi risulta che:
\( C(E)=C(A\cup B)=C(A) \cap C(B) \),che dovrebbe essere un disco centrato nell'origine(inclusa la circonferenza),con raggio unitario,esclusi i punti di $B$.La frontiera di tale insieme dovrebbe essere la circonferenza unitaria+l'insieme \( B \cap([-1,1]\times[-1,1]) \).Giusto?
($C(E)$ indica il complemento d $E$).
p.s:so che ho già scritto questi conti ma non dicendomi ne se fossero giusti ne sbagliati non so cosa se siano corretti.
\( C(E)=C(A\cup B)=C(A) \cap C(B) \),che dovrebbe essere un disco centrato nell'origine(inclusa la circonferenza),con raggio unitario,esclusi i punti di $B$.La frontiera di tale insieme dovrebbe essere la circonferenza unitaria+l'insieme \( B \cap([-1,1]\times[-1,1]) \).Giusto?
($C(E)$ indica il complemento d $E$).
p.s:so che ho già scritto questi conti ma non dicendomi ne se fossero giusti ne sbagliati non so cosa se siano corretti.
Brevemente: una circonferenza unitaria, con un due raggi ortogonali; va bene. Questi è un insieme chiuso?
Grazie per la risposta.
Sì,penso sia un insieme chiuso.
Sì,penso sia un insieme chiuso.
Prego, di nulla; ora però devi dimostrare che è un insieme chiuso 
Questo è un po' più complicato,ti faccio sapere dopo.
Allora la dimostrazione,non so come farla in modo rigoroso,ma dato che l'intersezione tra $B$ e $[0,1]\times [0,1]$ è un intervallo chiuso e dato che anche la circonferenza lo è,applico una proprietà di tali insiemi che mi dice che l'unione finita di insiemi chiusi e a sua volta un insieme chiuso,da qui ne consegue che la frontiera di $E$ è chiusa,come ovvio che sia.
Non è che ci abbia capìto molto...
Dalla definizione hai che \(\displaystyle\overline{E}=\overline{A}\cup\overline{B}\); essendo \(\displaystyle B\) un insieme chiuso, devi calcolare \(\displaystyle\overline{A}\), il quale è \(\displaystyle\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\geq1\}\) (perché?).
Con un semplice disegno di accorgi che \(\displaystyle\overline{\mathbb{R}^2\setminus E}\) è il disco chiuso di raggio \(\displaystyle1\)...
Quindi la frontiera di \(\displaystyle E\) è la circonferenza di centro \(\displaystyle(0,0)\), raggio \(\displaystyle1\), e i suoi diametri verticale ed orizzontale.
Ti torna tutto?
Dalla definizione hai che \(\displaystyle\overline{E}=\overline{A}\cup\overline{B}\); essendo \(\displaystyle B\) un insieme chiuso, devi calcolare \(\displaystyle\overline{A}\), il quale è \(\displaystyle\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\geq1\}\) (perché?).
Con un semplice disegno di accorgi che \(\displaystyle\overline{\mathbb{R}^2\setminus E}\) è il disco chiuso di raggio \(\displaystyle1\)...
Quindi la frontiera di \(\displaystyle E\) è la circonferenza di centro \(\displaystyle(0,0)\), raggio \(\displaystyle1\), e i suoi diametri verticale ed orizzontale.
Ti torna tutto?
Grazie ho capito,quindi è così che avrei dovuto esporre la dimostrazione?
Per sapere,è corretto dire che l'insieme derivato di $E$ è $A$?
Per sapere,è corretto dire che l'insieme derivato di $E$ è $A$?
No, ci mancano dei punti; per esempio: \(B\) è contenuto nel derivato di \(E\)?
Scusa,ma i punti di accumulazione possono essere anche di frontiera,che appartengono ad $E$?
Perché se così fosse,penso che l'insieme $E'=E-\partial A$(con $E'$ indico l'insieme derivato).Giusto?
Perché se così fosse,penso che l'insieme $E'=E-\partial A$(con $E'$ indico l'insieme derivato).Giusto?
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