Esercizio(Analisi/Topologia):Punti interni,esterni,di frontiera e di Accumulazione
Salve,continuando lo studio dell'analisi mi sono ritrovato difronte ad alcuni argomenti base di topologia,che non penso di aver proprio compreso bene;per testare ciò ho provato a fare un esercizio e(ammesso che l'abbia fatto bene)non sono riuscito a rispondere a tutte le domande che venivano poste,se non vi reca disturbo potreste darmi un aiuto.
L'esercizio è questo:"Consideriamo il sottoinsieme$E$ di $RR^2$definito da:
\( E=A \cup B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2+y^2>1\} \cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:xy=0\} \)
e si determinino:
(a)I punti interni
(b)I punti esterni
(c)I punti di frontiera
(d)I punti di accumulazione".
Per rispondere al quesito ho pensato che la prima cosa da fare fosse determinare se l'insieme $E$ è aperto o chiuso(così da applicare eventuali teoremi)e già qui mi sono ritrovato in un problema dato che $A$ è aperto e $B$ è chiuso,e quindi prima cosa che volevo fare ,sbagliata.Allora pensavo prima di pensare quali fossero i punti interni,che corrispondono a quelli dell'insieme $A$,mentre i punti di frontiera sono quelli dell'insieme $B$ unito a ${1}$.I punti esterni ho pensato che fossero quelli dell'intersezione del complemento di $A$ con il complemento di $B$.Adesso però arrivo al problema principale,cioè trovare il derivato di $E$,ma anche "conoscendo" le definizioni,mi risulta sempre poco chiaro un concetto,cioè quello di punto di accumulazione,perché da quello che ho capito,il derivato di $E$ dovrebbe essere l'insieme $A$,però non ne sono certo.
L'esercizio è questo:"Consideriamo il sottoinsieme$E$ di $RR^2$definito da:
\( E=A \cup B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^2+y^2>1\} \cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:xy=0\} \)
e si determinino:
(a)I punti interni
(b)I punti esterni
(c)I punti di frontiera
(d)I punti di accumulazione".
Per rispondere al quesito ho pensato che la prima cosa da fare fosse determinare se l'insieme $E$ è aperto o chiuso(così da applicare eventuali teoremi)e già qui mi sono ritrovato in un problema dato che $A$ è aperto e $B$ è chiuso,e quindi prima cosa che volevo fare ,sbagliata.Allora pensavo prima di pensare quali fossero i punti interni,che corrispondono a quelli dell'insieme $A$,mentre i punti di frontiera sono quelli dell'insieme $B$ unito a ${1}$.I punti esterni ho pensato che fossero quelli dell'intersezione del complemento di $A$ con il complemento di $B$.Adesso però arrivo al problema principale,cioè trovare il derivato di $E$,ma anche "conoscendo" le definizioni,mi risulta sempre poco chiaro un concetto,cioè quello di punto di accumulazione,perché da quello che ho capito,il derivato di $E$ dovrebbe essere l'insieme $A$,però non ne sono certo.
Risposte
No, assolutamente; e quello non è l'insieme derivato \(\displaystyle E^{\prime}\).
Esercizi: Pensa a un intervallo chiuso (limitato o illimitato non importa) di \(\displaystyle\mathbb{R}\), o la circonferenza \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); e calcola le loro frontiere e i loro insiemi derivati!
Esercizi: Pensa a un intervallo chiuso (limitato o illimitato non importa) di \(\displaystyle\mathbb{R}\), o la circonferenza \(\displaystyle\mathbb{S}^1\) in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); e calcola le loro frontiere e i loro insiemi derivati!
Allora,penso che sia un intervallo chiuso,che la circonferenza $\mathbbS^1$ dovrebbero essere insiemi perfetti,in quanto ogni intorno,di ogni loro punto contiene infiniti punti.Per quanto riguarda la frontiera,se non sbaglio,nel primo caso dovrebbe corrispondere agli estremi dell'intervallo,mentre ne secondo mi verrebbe da dire che è tutta la circonferenza,ma non ne sono per niente sicuro.
Tutto esatto; e come vedi le loro frontiere si intersecano coi loro insiemi derivati.
Tornando all'esercizio tuo...
Tornando all'esercizio tuo...
Per prima cosa trovo $A'$ e $B$,allora,$B'=B$,mentre $A'$ penso sia uguale alla chiusura di $A$,perché tutti i punti di frontiera sono anche di accumulazione.Allora non mi rimane che pensare che la chiusura di $E$ sia un insieme perfetto,infatti la chiusura di $E$ è uguale all'unione di $B$ con la chiusura di $A$.Spero che sia giusto.
Più che altro hai dimostrato che \(\displaystyle\overline{E}=E^{\prime}\). 
Prossima domanda...
Prossima domanda...
scusa,ma una volta dimostrato che la chiusura di $E$ è anche il derivato dell'insieme che rimane da fare?
Ah: l'esercizio è finito! 
Grazie per il tuo aiuto,se non ti dispiace,potresti passare per questo topic:https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=178934?
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