Esercizio su una topologia
Buongiorno a tutti! Avendo parecchi dubbi su alcuni esercizi di topologia ne posto uno per chiedervi se è svolto correttamente
Sia $X$ un insieme, $x_0 in X$ un punto fissato e definiamo una topologia $ tau $ su $X$ come segue:
$ tau ={Usube X|x_0 in A} uu {O/ } $
1) Se $A in tau$ è un aperto e non vuoto e $x !=x_0$, dimostrare che $X$ è un punto di accumulazione per $A$. Dedurne che $A$ è denso in $X$
2) Se $C$ è un chiuso proprio di $X$, dimostrare che la parte interna di $C$ è vuota
3) Stabilire se $(X, tau)$ è uno spazio topologico connesso
Io l'ho svolto così
1) Siano ${x_0,x}$ due punti di un aperto $A$ di $X$. Poichè l'intorno di $x$ possiede punti diversi da $x$, infatti tale intorno possiede il punto $x_0$, allora $x$ è di accumulazione per $A$. Ma $ bar(A) =bar({x_0,x})=X $ , infatti il più piccolo chiuso contenente ${x_0,x}$ è $X$, quindi $A$ è denso in $X$.
2) Sia $C$ un chiuso proprio di $X$. Per definizione la parte interna è $ hat(C) = uuu_(Asube C) A $ , dove con $A$ indichiamo gli aperti contenuti in $C$. Poichè tutti i sottoinsiemi propri di $X$ sono aperti, $C$ coincide con $ hat(C) $ $ rArr $ contraddizione perchè avevamo supposto che $C$ è un chiuso. Quindi l'unico modo affinchè $C$ sia un chiuso proprio di $X$ è che sia vuoto.
3)Supponiamo per assurdo che sia sconnesso. Allora potremmo scrivere $X$ come unione disgiunta di aperti propri. Ma tutti gli aperti di $X$ hanno il punto ${x_0}$ in comune, quindi non sono disgiunti. Quindi $X$ è connesso
Sia $X$ un insieme, $x_0 in X$ un punto fissato e definiamo una topologia $ tau $ su $X$ come segue:
$ tau ={Usube X|x_0 in A} uu {O/ } $
1) Se $A in tau$ è un aperto e non vuoto e $x !=x_0$, dimostrare che $X$ è un punto di accumulazione per $A$. Dedurne che $A$ è denso in $X$
2) Se $C$ è un chiuso proprio di $X$, dimostrare che la parte interna di $C$ è vuota
3) Stabilire se $(X, tau)$ è uno spazio topologico connesso
Io l'ho svolto così
1) Siano ${x_0,x}$ due punti di un aperto $A$ di $X$. Poichè l'intorno di $x$ possiede punti diversi da $x$, infatti tale intorno possiede il punto $x_0$, allora $x$ è di accumulazione per $A$. Ma $ bar(A) =bar({x_0,x})=X $ , infatti il più piccolo chiuso contenente ${x_0,x}$ è $X$, quindi $A$ è denso in $X$.
2) Sia $C$ un chiuso proprio di $X$. Per definizione la parte interna è $ hat(C) = uuu_(Asube C) A $ , dove con $A$ indichiamo gli aperti contenuti in $C$. Poichè tutti i sottoinsiemi propri di $X$ sono aperti, $C$ coincide con $ hat(C) $ $ rArr $ contraddizione perchè avevamo supposto che $C$ è un chiuso. Quindi l'unico modo affinchè $C$ sia un chiuso proprio di $X$ è che sia vuoto.
3)Supponiamo per assurdo che sia sconnesso. Allora potremmo scrivere $X$ come unione disgiunta di aperti propri. Ma tutti gli aperti di $X$ hanno il punto ${x_0}$ in comune, quindi non sono disgiunti. Quindi $X$ è connesso
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