Esercizio su spazio quoziente
Buona sera! Chiedo a voi un parere su questo esercizio
1) Sia $X$ uno spazio topologico e $ ~= $ una relazione d'equivalenza su $X$. Dimostrare che se il quoziente $ X//~= $ è uno spazio di Hausdorff, allora ogni classe d'equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$.
2) Sia $X=RR$ e definiamo una relazione di equivalenza su $X$ come segue
$ x\~=y \Leftrightarrow { ( x=y\ oppure ),( |x|<1 \e\ |y|<1 ):} $
Dimostrare che lo spazio quoziente $ X//~= $ non è di Hausdorff
1) Sia $ X//~= $ di Hausdorff. Dalla caratterizzazione degli spazi $T_1$ ogni punto $x in X//~= $ è chiuso. Ricordiamo che, per definizione, lo spazio quoziente è definito come l'insieme delle classi di equivalenza di $X$, e $ pi: X rarr X//~= $ è continua e suriettiva. Allora $ [x] $ è chiuso in $ X//~= rarr pi^-1 ([x]) $ è chiuso in $X$ (inoltre $pi$ è un'applicazione chiusa) $rarr$ ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$
2)Supponiamo per assurdo che $ X//~= $ sia di Hausdorff. Le classi di equivalenza di $X$ sono: $x$ o $x in (-1,1)$.
Dal punto 1) ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$. Ma $X=RR$ e $(-1,1)$ è aperto in $RR rarr$ contraddizione , $ X//~= $ non è di Hausdorff
1) Sia $X$ uno spazio topologico e $ ~= $ una relazione d'equivalenza su $X$. Dimostrare che se il quoziente $ X//~= $ è uno spazio di Hausdorff, allora ogni classe d'equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$.
2) Sia $X=RR$ e definiamo una relazione di equivalenza su $X$ come segue
$ x\~=y \Leftrightarrow { ( x=y\ oppure ),( |x|<1 \e\ |y|<1 ):} $
Dimostrare che lo spazio quoziente $ X//~= $ non è di Hausdorff
1) Sia $ X//~= $ di Hausdorff. Dalla caratterizzazione degli spazi $T_1$ ogni punto $x in X//~= $ è chiuso. Ricordiamo che, per definizione, lo spazio quoziente è definito come l'insieme delle classi di equivalenza di $X$, e $ pi: X rarr X//~= $ è continua e suriettiva. Allora $ [x] $ è chiuso in $ X//~= rarr pi^-1 ([x]) $ è chiuso in $X$ (inoltre $pi$ è un'applicazione chiusa) $rarr$ ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$
2)Supponiamo per assurdo che $ X//~= $ sia di Hausdorff. Le classi di equivalenza di $X$ sono: $x$ o $x in (-1,1)$.
Dal punto 1) ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$. Ma $X=RR$ e $(-1,1)$ è aperto in $RR rarr$ contraddizione , $ X//~= $ non è di Hausdorff
Risposte
Dico la verità! Questo esempio mi ha confuso!
I due esempi che hai fatto si, li ho capiti!
I punti identificati dalla relazione di equivalenza sono: i punti ${x} $ con $ x in RR $ oppure $ x in [ - 1, 1 ] $
Quindi se $[x]=[y] $ allora $ x~=y $ e quindi appartengono allo stesso intorno dunque non sono di Hausdorff
I due esempi che hai fatto si, li ho capiti!
I punti identificati dalla relazione di equivalenza sono: i punti ${x} $ con $ x in RR $ oppure $ x in [ - 1, 1 ] $
Quindi se $[x]=[y] $ allora $ x~=y $ e quindi appartengono allo stesso intorno dunque non sono di Hausdorff
Bene: ti è chiaro che i punti di \(\displaystyle[-1,1]\) sono tutti identificati tra di loro, mentre ogni punto di \(\displaystyle]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\) è identificato solo con sé stesso, nello spazio quoziente \(\displaystyle X\)?
Sì, ora ci sono arrivata finalmente! (Fin'ora non riuscivo a capire questa cosa perché ragionavo solo su $ [-1,1] $ come penso che tu avevi capito!)
Speriamo...
Quindi ogni punto di \(\displaystyle X\), mediante la mappa canonica \(\displaystyle\pi:\mathbb{R}\to X\), si dimostra essere un insieme chiuso.
Ora come dimostri che \(\displaystyle X\) è di Hausdorff?
Quindi ogni punto di \(\displaystyle X\), mediante la mappa canonica \(\displaystyle\pi:\mathbb{R}\to X\), si dimostra essere un insieme chiuso.
Ora come dimostri che \(\displaystyle X\) è di Hausdorff?
Ogni punto di $ X $ è chiuso (è sicuro $ T_1 $). Ma siccome $ [x] =[ y ] $ , allora $ x $ è $ y $ rappresentano la stessa classe di equivalenza. Non siamo riusciti però a trovare due intorni disgiunti di $ x $ è $ y $ (non c'è nulla che ce lo assicuri) quindi non è di Hausdorff.
T'ho già fatto degli esempi di spazi quoziente di Hausdorff (compatti); il tuo ragionamento è errato!
Se prendi una classe di equivalenza \(\displaystyle[x]\in X\) e \(\displaystyle y\in\mathbb{R}\) tale che \(\displaystyle[x]=[y]\), è ovvio che che il punto \(\displaystyle[x]=[y]\) non ha intorni disgiunti da sé stesso!
La domanda è: dati \(\displaystyle[x]\neq[y]\in X\): questi sono separabili alla Hausdorff?
Se prendi una classe di equivalenza \(\displaystyle[x]\in X\) e \(\displaystyle y\in\mathbb{R}\) tale che \(\displaystyle[x]=[y]\), è ovvio che che il punto \(\displaystyle[x]=[y]\) non ha intorni disgiunti da sé stesso!
La domanda è: dati \(\displaystyle[x]\neq[y]\in X\): questi sono separabili alla Hausdorff?
Sì, perché se le classi di equivalenza sono diverse allora esiste almeno un intorno di $ x$ e uno di $ y$ che sono disgiunti
Sì, ma per quale proprietà di \(\displaystyle\mathbb{R}\)?
Ti ricordo che \(\displaystyle\pi^{-1}([0])=[-1,1]\)...
Ti ricordo che \(\displaystyle\pi^{-1}([0])=[-1,1]\)...
Su $ RR\\[-1,1] $ ?
Non ho capìto?
L'unica interpretazione che mi viene in mente è che \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus[-1,1]\) è omeomorfo a \(\displaystyle X\setminus\{[0]\}\), quindi questi è uno spazio di Hausdorff! Ho capìto giusto?
L'unica interpretazione che mi viene in mente è che \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus[-1,1]\) è omeomorfo a \(\displaystyle X\setminus\{[0]\}\), quindi questi è uno spazio di Hausdorff! Ho capìto giusto?
Sì, è giusto così?
Sì; poi come dimostri che \(\displaystyle[0]\) si separa alla Hausdorff da tutti gli altri elementi di \(\displaystyle X\)?
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