Esercizio riflessione e proiezione ortogonale
Sia $U sub \mathbb{R}^3$ il sottospazio lineare avente equazione cartesiane $x+y+z=0$.
Sia $f:\mathbb{R}^3 -> \mathbb{R}^3$ la riflessione rispetto ad $U$ e sia $g$ la proiezione ortogonale su $U$.
Determinare $f(x,y,z)$ e $g(x,y,z)$
Ho provveduto a calcolare la base di $U$ data dai vettori ${(1,0,-1),(0,1,-1)}$ e adesso per calcolare la consegna dell'esercizio considero i vettori $u=(1,0,-1)$, $v=(x,y,z)$ e $u'=u/(||u||)$ e avrò
$g(v)=(v*u')*u'=1/2(x-z,0,-x+z)$
$f(v)= 2(v*u')*u' - v= 1/2(x-2z,-y,-2x+z)$
Volevo sapere se l'esercizio svolto così è corretto.
Grazie a tutti.
Risposte
Prendiamo g(v). Hai proiettato un generico vettore su uno specifico vettore del piano. Perchè?
Così proietti tutti i vettori di $RR^3$ su un vettore.
Qual è la matrice di proiezione ortogonale P?
Così proietti tutti i vettori di $RR^3$ su un vettore.
Qual è la matrice di proiezione ortogonale P?
"Bokonon":
Qual è la matrice di proiezione ortogonale P?
$((\sqrt2/2),(0),(-\sqrt2/2))(\sqrt2/2,0,-\sqrt2/2) + ((-\sqrt2/4),(\sqrt2/2),(-\sqrt2/4))(-\sqrt2/4,\sqrt2/2,-\sqrt2/4)=((5/8,-1/4,-3/8),(-1/4,1/2,-1/4),(-3/8,-1/4,5/8))$
Intendevo dire la formula $P=A(A^TA)^(-1)A^T$
Non ho ben capito come l'hai derivata ma c'è un errore.
I vettori (1,1,1), (1,0,-1) e infine (1,-2, 1) sono tutti autovettori della matrice che hai scritto e i primi due generano autospazi relativi rispettivamente agli autovalori 0 e 1. Anche il terzo vettore dovrebbe appartenere al medesimo autospazio del secondo...e invece:
$ 1/8( ( 5 , -2 , -3 ),( -2 , 4 , -2 ),( -3 , -2 , 5 ) ) ( ( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) =3/4( ( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) $
In altre parole, proiettando tutti i vettori che stanno già sul piano lungo la direzione (1,-2,1)...vengono accorciati del 25%. Questo non deve accadere.
La matrice corretta è $ P=1/3( ( 2 , -1 , -1 ),( -1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 2 ) ) $
Non ho ben capito come l'hai derivata ma c'è un errore.
I vettori (1,1,1), (1,0,-1) e infine (1,-2, 1) sono tutti autovettori della matrice che hai scritto e i primi due generano autospazi relativi rispettivamente agli autovalori 0 e 1. Anche il terzo vettore dovrebbe appartenere al medesimo autospazio del secondo...e invece:
$ 1/8( ( 5 , -2 , -3 ),( -2 , 4 , -2 ),( -3 , -2 , 5 ) ) ( ( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) =3/4( ( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) $
In altre parole, proiettando tutti i vettori che stanno già sul piano lungo la direzione (1,-2,1)...vengono accorciati del 25%. Questo non deve accadere.
La matrice corretta è $ P=1/3( ( 2 , -1 , -1 ),( -1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 2 ) ) $
Grazie per la risposta.
Come li hai calcolati? Sto sbattendo la testa su questo tipo di esercizio da giorni ma alcune parti rimangono sempre incomprensibili.
Ho seguito il sistema spiegato a suo tempo in questo post.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8272118
Non so se è lo stesso sistema adoperato dal mio prof.
"Bokonon":
I vettori (1,1,1), (1,0,-1) e infine (1,-2, 1) sono tutti autovettori della matrice che hai scritto e i primi due generano autospazi relativi rispettivamente agli autovalori 0 e 1.
Come li hai calcolati? Sto sbattendo la testa su questo tipo di esercizio da giorni ma alcune parti rimangono sempre incomprensibili.
"Bokonon":
Non ho ben capito come l'hai derivata ma c'è un errore.
Ho seguito il sistema spiegato a suo tempo in questo post.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8272118
Non so se è lo stesso sistema adoperato dal mio prof.
Credo di aver capito almeno la parte degli autovettori e autovalori associati grazie alla tua risposta a questo topic: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8422301
Se ho capito bene, nel mio caso $ U={(1,0,-1),(0,1,-1)} $ e adesso devo calcolare la base di $U^(\bot)$ che avrà dimensione 1. Scrivo la matrice dell'autospazio che avrà, appunto, gli autospazi come colonna. Gli autospazi non sono altro che i vettori delle basi che ho già trovato. Poi considero la matrice della riflessione che avrà in diagonale tanti 1 per ogni autospazio di U e tanti -1 per quelli di $U^(\bot)$.
Nel caso della proiezione ortogonale invece il discorso è il medesimo cambia solo che invece di -1 abbiamo 0.
Corretto?
Se ho capito bene, nel mio caso $ U={(1,0,-1),(0,1,-1)} $ e adesso devo calcolare la base di $U^(\bot)$ che avrà dimensione 1. Scrivo la matrice dell'autospazio che avrà, appunto, gli autospazi come colonna. Gli autospazi non sono altro che i vettori delle basi che ho già trovato. Poi considero la matrice della riflessione che avrà in diagonale tanti 1 per ogni autospazio di U e tanti -1 per quelli di $U^(\bot)$.
Nel caso della proiezione ortogonale invece il discorso è il medesimo cambia solo che invece di -1 abbiamo 0.
Corretto?
Corretto ma è meglio correggere la terminologia.
Facciamo un discorso generale dal punto di vista degli autovalori e autovettori.
Esistono due basi di due spazi in somma diretta che, sommate, sono una base per l'intero spazio.
Prendiamo un esempio in $RR^3$
$v_1$ e $v_2$ sono una base qualsiasi di un piano $pi$ e insieme a $v_3$ formano una base di $RR^3$
Se vogliamo proiettare tutti i vettori di $RR^3$ su $pi$, notiamo che l'applicazione P deve lasciare inalterati i vettori $v_1$ e $v_2$ e qualsiasi loro combinazione lineare. Quindi essi devono essere due autovettori di P collegati all'autovalore 1, ovvero stanno sul medesimo autospazio. Inoltre, poichè P proietta lungo la direzione $v_3$, tutti i vettori $alphav_3$ finiscono nell'origine, quindi $Pv_3=0*v_3=0$ fa parte del kernel di P, ovvero è l'autovettore associato all'autovalore zero.
Se invece operassimo una riflessione R rispetto al piano $pi$ e lungo $v_3$ allora rovesciamo la componente $v_3$ di tutti i vettori di $RR^3$ espressi in questa base, ovvero $Rv_3=-v_3$ è l'autovettore collegato all'autovalore -1.
Chiamiamo $S=(v_1,v_2,v_3)$ la matrice degli autovettori, allora $P=SD_1S^(-1)$ e $R=SD_2S^(-1)$
dove le due matrici diagonali saranno rispettivamente $ D_1=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ e $ D_2=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
Nota che il ragionamento vale per qualsiasi dimensione dei due autospazi.
Per la proiezione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore zero.
Per la riflessione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore -1.
Inoltre questo vale lungo qualsiasi direzione/i di proiezione/riflessione.
Nel nostro caso la direzione è ortogonale, quindi possiamo approfittare di questo fatto e trovare una base ortonormale di autovettori e creare la matrice $ S=(v_1,v_2,v_3)=( ( 1/sqrt(6) , 1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ),( -2/sqrt(6) , 0 , 1/sqrt(3)),( 1/sqrt(6) , -1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ) ) $
Perchè? Perchè $S^(-1)=S^T$ quindi ci si risparmia lavoro.
Una matrice simmetrica ha una base ortonormale di autovettori e viceversa quindi, dopo aver fatto i conti (falli!) usando $D_1$ e $D_2$ otterrai P e R e saranno entrambe matrici simmetriche (cosa che non accade per proiezioni/riflessioni non ortogonali ovviamente).
Dopo che avrai fatto questo lavoro, ti mostro il metodo breve
Facciamo un discorso generale dal punto di vista degli autovalori e autovettori.
Esistono due basi di due spazi in somma diretta che, sommate, sono una base per l'intero spazio.
Prendiamo un esempio in $RR^3$
$v_1$ e $v_2$ sono una base qualsiasi di un piano $pi$ e insieme a $v_3$ formano una base di $RR^3$
Se vogliamo proiettare tutti i vettori di $RR^3$ su $pi$, notiamo che l'applicazione P deve lasciare inalterati i vettori $v_1$ e $v_2$ e qualsiasi loro combinazione lineare. Quindi essi devono essere due autovettori di P collegati all'autovalore 1, ovvero stanno sul medesimo autospazio. Inoltre, poichè P proietta lungo la direzione $v_3$, tutti i vettori $alphav_3$ finiscono nell'origine, quindi $Pv_3=0*v_3=0$ fa parte del kernel di P, ovvero è l'autovettore associato all'autovalore zero.
Se invece operassimo una riflessione R rispetto al piano $pi$ e lungo $v_3$ allora rovesciamo la componente $v_3$ di tutti i vettori di $RR^3$ espressi in questa base, ovvero $Rv_3=-v_3$ è l'autovettore collegato all'autovalore -1.
Chiamiamo $S=(v_1,v_2,v_3)$ la matrice degli autovettori, allora $P=SD_1S^(-1)$ e $R=SD_2S^(-1)$
dove le due matrici diagonali saranno rispettivamente $ D_1=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ e $ D_2=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $
Nota che il ragionamento vale per qualsiasi dimensione dei due autospazi.
Per la proiezione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore zero.
Per la riflessione ci sarà sempre un autospazio legato all'autovalore 1 e uno legato all'autovalore -1.
Inoltre questo vale lungo qualsiasi direzione/i di proiezione/riflessione.
Nel nostro caso la direzione è ortogonale, quindi possiamo approfittare di questo fatto e trovare una base ortonormale di autovettori e creare la matrice $ S=(v_1,v_2,v_3)=( ( 1/sqrt(6) , 1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ),( -2/sqrt(6) , 0 , 1/sqrt(3)),( 1/sqrt(6) , -1/sqrt(2) , 1/sqrt(3) ) ) $
Perchè? Perchè $S^(-1)=S^T$ quindi ci si risparmia lavoro.
Una matrice simmetrica ha una base ortonormale di autovettori e viceversa quindi, dopo aver fatto i conti (falli!) usando $D_1$ e $D_2$ otterrai P e R e saranno entrambe matrici simmetriche (cosa che non accade per proiezioni/riflessioni non ortogonali ovviamente).
Dopo che avrai fatto questo lavoro, ti mostro il metodo breve
Grazie per la dettagliata spiegazione, eseguendo i conti ottengo queste due matrici:
$P=( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , -1/3) ) $ $R=((1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,-2/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3))$
Non vedo l'ora!
$P=( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , -1/3) ) $ $R=((1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,-2/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3))$
"Bokonon":
Dopo che avrai fatto questo lavoro, ti mostro il metodo breve
Non vedo l'ora!
C'è un errore in una entry di entrambe le matrici. Forse hai copiato male, forse hai sbagliato un conto.
$P=( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , 2/3) ) $ $R=((1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,1/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3))$
$P=( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , 2/3) ) $ $R=((1/3,-2/3,-2/3),(-2/3,1/3,-2/3),(-2/3,-2/3,1/3))$
Si ho sbagliato un conto.
Noto che sono matrici simmetriche che hanno lo stesso elemento nella diagonale principale.
Noto che sono matrici simmetriche che hanno lo stesso elemento nella diagonale principale.
Ragionando per autovalori e autovettori si ha un metodo universale per determinare le matrici di proiezione lungo una data/e direzione/i.
Nel caso specifico di una proiezione ortogonale valgono le seguenti relazioni: e intendo dire che tutte le formule che scriverò da adesso in poi valgono solo in questo caso speciale.
La matrice di proiezione ortogonale è $P=A(A^TA)^(-1)A^T$ e puoi intuire da dove arrivi pensando a Gram–Schmidt.
A è la matrice le cui colonne sono una base qualsiasi dello spazio su cui proiettare ortogonalmente i vettori.
Nel nostro caso è, per esempio, $ A=( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ),( -1 , -1 ) ) $
Quindi $(A^TA)=B$ verrà fuori una matrice 2x2 di cui fare l'inversa e poi calcolerai $AB^(-1)A^T$
Lo lascio a te come esercizio.
Il metodo veloce invece sfrutta un'altra proprietà. Chiamiamo $P^(_|_)$ la matrice di proiezione sullo spazio perpendicolare al nostro piano $pi$. Ebbene le due matrici di proiezione stanno nella relazione:
$P=I-P^(_|_)$
La differenza è che usando la formula $P^(_|_)=A(A^TA)^(-1)A^T$ stavolta $ A=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ infatti lo spazio perpendicolare è una retta.
Quindi $(A^TA)=B=3$ è semplicemente uno scalare (la norma al quadrato del vettore) e l'inversa di uno scalare è il suo reciproco, ovvero 1/3.
Quindi facendo i passaggi abbiamo:
$P^(_|_)=A(A^TA)^(-1)A^T=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) *1/3* ( 1 \ \ 1 \ \ 1 )=1/3*( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) ( 1 \ \ 1 \ \ 1 )=1/3( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )$
Insomma, si fanno anche a mente...
Quindi $P=I-1/3( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )=1/3( ( 2 , -1 , -1 ),( -1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 2 ) )$
Il trucco quindi, per risparmiarsi lavoro ed errori, e di proiettare sempre sullo spazio con dimensione più piccola!
Infine, come già sai, la relazione fra la matrice R di riflessione (sempre perpendicolare) e P è $R=2P-I$
Una volta comprese le relazioni geometriche, l'intero esercizio si risolve in meno di 3 minuti (e andando con calma)
Nel caso specifico di una proiezione ortogonale valgono le seguenti relazioni: e intendo dire che tutte le formule che scriverò da adesso in poi valgono solo in questo caso speciale.
La matrice di proiezione ortogonale è $P=A(A^TA)^(-1)A^T$ e puoi intuire da dove arrivi pensando a Gram–Schmidt.
A è la matrice le cui colonne sono una base qualsiasi dello spazio su cui proiettare ortogonalmente i vettori.
Nel nostro caso è, per esempio, $ A=( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ),( -1 , -1 ) ) $
Quindi $(A^TA)=B$ verrà fuori una matrice 2x2 di cui fare l'inversa e poi calcolerai $AB^(-1)A^T$
Lo lascio a te come esercizio.
Il metodo veloce invece sfrutta un'altra proprietà. Chiamiamo $P^(_|_)$ la matrice di proiezione sullo spazio perpendicolare al nostro piano $pi$. Ebbene le due matrici di proiezione stanno nella relazione:
$P=I-P^(_|_)$
La differenza è che usando la formula $P^(_|_)=A(A^TA)^(-1)A^T$ stavolta $ A=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $ infatti lo spazio perpendicolare è una retta.
Quindi $(A^TA)=B=3$ è semplicemente uno scalare (la norma al quadrato del vettore) e l'inversa di uno scalare è il suo reciproco, ovvero 1/3.
Quindi facendo i passaggi abbiamo:
$P^(_|_)=A(A^TA)^(-1)A^T=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) *1/3* ( 1 \ \ 1 \ \ 1 )=1/3*( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) ( 1 \ \ 1 \ \ 1 )=1/3( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )$
Insomma, si fanno anche a mente...
Quindi $P=I-1/3( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )=1/3( ( 2 , -1 , -1 ),( -1 , 2 , -1 ),( -1 , -1 , 2 ) )$
Il trucco quindi, per risparmiarsi lavoro ed errori, e di proiettare sempre sullo spazio con dimensione più piccola!
Infine, come già sai, la relazione fra la matrice R di riflessione (sempre perpendicolare) e P è $R=2P-I$
Una volta comprese le relazioni geometriche, l'intero esercizio si risolve in meno di 3 minuti (e andando con calma)
"Bokonon":
Lo lascio a te come esercizio.
Facendo i conti ottengo $( ( 2/3 ,-1/3 ,-1/3),( -1/3 , 2/3 , -1/3),( -1/3 , -1/3 , 2/3) ) $ ossia la matrice $P$ della proiezione dei post precedenti.
"Bokonon":
Il trucco quindi, per risparmiarsi lavoro ed errori, e di proiettare sempre sullo spazio con dimensione più piccola!
Wow, così sembra davvero semplicissimo!
Questo secondo sistema non mi conviene adoperarlo nel caso in cui il complemento ortogonale ha dimensioni maggiori di U perchè mi complicherei la vita.
Avendo le matrici P ed R della proiezione e della riflessione così dovrebbe venirmi molto semplice procedere al calcolo delle $f(x,y,z)$ e $g(x,y,z)$ dove f rappresenta la riflessione $f:\mathbb(R)^4 -> \mathbb(R)^4$ mentre invece g è la proiezione ortogonale.
Sarebbe in questo caso $f(x,y,z)=R((x),(y),(z))$ e $g(x,y,z)=P((x),(y),(z))$
Ho visto però che il mio prof adotta un altro sistema per calcolarli.
Chiamando $u$ il vettore della base $U$ di partenza e $u'=u/||u||$ e $v=(x,y,z)$ lui calcola $g(v)=(v*u')*u'$.
Invece per la riflessione credo sia $f(v)=2(v*u')u' - v$. Può essere?
Grazie per la pazienza.
Prima di tutto un errata corrige.
Dopo aver postato mi sono reso conto di aver scritto una boiata.
Questa formula $P=A(A^TA)^(-1)A^T$ vale unicamente per una proiezione ortogonale.
Ma le relazioni $P=I-P^(_|_)$ e $R=2P-I$ sono puramente geometriche e non dipendono dal tipo di base: quindi valgono sempre, anche quando P è una proiezione non ortogonale.
Detto questo, francamente non capisco perchè in Italia complichino la vita e raramente usino il linguaggio matriciale. Quello è il procedimento https://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonal ... am-Schmidt
e andrebbe applicato due volte (prima su un vettore della base e poi il risultato sul secondo vettore) per proiettare un vettore generico su un piano.
Per farti vedere che è la stessa cosa, proietto sul vettore ortogonale normalizzato $u'=<1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3)>$ così lavoro meno:
$ (v^Tu')*u'=1/3( ( x_1+x_2+x_3 ),( x_1+x_2+x_3 ),( x_1+x_2+x_3 ) ) =1/3( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) )=P^(_|_)x $
Se proietti su uno spazio di dimensione 1 è facile...mentre su uno spazio di dimensione 2 devi lavorare di più.
Scegli tu quale metodo ti conviene...tanto alla fine puoi calcolare usando le matrici e poi scrivere sul foglio solo il procedimento generico e il risultato.
Dopo aver postato mi sono reso conto di aver scritto una boiata.
Questa formula $P=A(A^TA)^(-1)A^T$ vale unicamente per una proiezione ortogonale.
Ma le relazioni $P=I-P^(_|_)$ e $R=2P-I$ sono puramente geometriche e non dipendono dal tipo di base: quindi valgono sempre, anche quando P è una proiezione non ortogonale.
Detto questo, francamente non capisco perchè in Italia complichino la vita e raramente usino il linguaggio matriciale. Quello è il procedimento https://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonal ... am-Schmidt
e andrebbe applicato due volte (prima su un vettore della base e poi il risultato sul secondo vettore) per proiettare un vettore generico su un piano.
Per farti vedere che è la stessa cosa, proietto sul vettore ortogonale normalizzato $u'=<1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3)>$ così lavoro meno:
$ (v^Tu')*u'=1/3( ( x_1+x_2+x_3 ),( x_1+x_2+x_3 ),( x_1+x_2+x_3 ) ) =1/3( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) )=P^(_|_)x $
Se proietti su uno spazio di dimensione 1 è facile...mentre su uno spazio di dimensione 2 devi lavorare di più.
Scegli tu quale metodo ti conviene...tanto alla fine puoi calcolare usando le matrici e poi scrivere sul foglio solo il procedimento generico e il risultato.
"Bokonon":
Scegli tu quale metodo ti conviene...tanto alla fine puoi calcolare usando le matrici e poi scrivere sul foglio solo il procedimento generico e il risultato.
Infatti, posso verificare con questo metodo se ciò che ottengo con il metodo del prof è giusto. Purtroppo è un pò particolare e se non si utilizzano gli strumenti a lui più graditi valuta l'esercizio sbagliato.
Grazie mille per la pazienza e la chiarezza!
Salve a tutti,
eccomi quì di nuovo con un nuovo esercizio che ho svolto. Ve lo propongo per capire se è giusto.
Grazie in anticipo per la vostra pazienza.
Consideriamo $\mathbb(R)^4$ con il prodotto euclideo standard e sia $U sub \mathbb(R)^4$ il sottospazio vettoriale di equazioni cartesiane $x + y = 0 = z + t$ . Sia $f : \mathbb(R)^4 -> \mathbb(R)^4$ la riflessione rispetto al sottospazio lineare $U$ e sia $g : \mathbb(R)^4 -> \mathbb(R)^4$ la proiezione ortogonale su $U$.
(a) Determinare il complemento ortogonale $U^(\bot)$ di $U$. Trovare una base ortonormale di $U$ e una base ortonormale di $U^(\bot)$.
(b) Calcolare ker(f), Im(f), ker(g), Im(g).
(c) Determinare gli autospazi di f e quelli di g.
(d) Determinare $f(x, y, z, t)$ e $g(x, y, z, t)$.
a) $U{(-1,1,0,0),(0,0,1,-1)}$ e $U^(\bot)={(1,1,0,0),(0,0,1,1)}$.
Noto già che i vettori in ogni base sono tra loro ortogonali quindi non ho motivo di applicare GS.
Dividendo per le norme ottengo che
la base ortonormale di U è ${(-1/sqrt2,1/sqrt2,0,0),(0,0,1/sqrt2,-1/sqrt2)}$
mentre quella di $U^(\bot)$ è ${(1/sqrt2,1/sqrt2,0,0),(0,0,1/sqrt2,1/sqrt2)}$.
b) $ker(f)=0$ e $Im(f)=\mathbb(R)^4$.
$ker(g)=U^(\bot)$ e $Im(g)=U$
c)Seguendo la notazione astrusa del prof, per $f$ gli autospazi sono $U=(\mathbb(R)^4)_1$ e $U^(\bot)=(\mathbb(R)^4)_(-1)$
Per $g$ abbiamo $U^(\bot)=ker(g)=(\mathbb(R)^4)_0$ e $U=(\mathbb(R)^4)_1$
d) Indicando con $u'=(-1/sqrt2,1/sqrt2,0,0)$ e $v=(x,y,z,t)$ abbiamo
$f(v)=2(v*u')*u' -v = 1/2(x-2y,-2x+y,-z,-t)$
$g(v)=(v*u')*u'=1/2(x-y,-x+y,0,0)$
eccomi quì di nuovo con un nuovo esercizio che ho svolto. Ve lo propongo per capire se è giusto.
Grazie in anticipo per la vostra pazienza.
Consideriamo $\mathbb(R)^4$ con il prodotto euclideo standard e sia $U sub \mathbb(R)^4$ il sottospazio vettoriale di equazioni cartesiane $x + y = 0 = z + t$ . Sia $f : \mathbb(R)^4 -> \mathbb(R)^4$ la riflessione rispetto al sottospazio lineare $U$ e sia $g : \mathbb(R)^4 -> \mathbb(R)^4$ la proiezione ortogonale su $U$.
(a) Determinare il complemento ortogonale $U^(\bot)$ di $U$. Trovare una base ortonormale di $U$ e una base ortonormale di $U^(\bot)$.
(b) Calcolare ker(f), Im(f), ker(g), Im(g).
(c) Determinare gli autospazi di f e quelli di g.
(d) Determinare $f(x, y, z, t)$ e $g(x, y, z, t)$.
a) $U{(-1,1,0,0),(0,0,1,-1)}$ e $U^(\bot)={(1,1,0,0),(0,0,1,1)}$.
Noto già che i vettori in ogni base sono tra loro ortogonali quindi non ho motivo di applicare GS.
Dividendo per le norme ottengo che
la base ortonormale di U è ${(-1/sqrt2,1/sqrt2,0,0),(0,0,1/sqrt2,-1/sqrt2)}$
mentre quella di $U^(\bot)$ è ${(1/sqrt2,1/sqrt2,0,0),(0,0,1/sqrt2,1/sqrt2)}$.
b) $ker(f)=0$ e $Im(f)=\mathbb(R)^4$.
$ker(g)=U^(\bot)$ e $Im(g)=U$
c)Seguendo la notazione astrusa del prof, per $f$ gli autospazi sono $U=(\mathbb(R)^4)_1$ e $U^(\bot)=(\mathbb(R)^4)_(-1)$
Per $g$ abbiamo $U^(\bot)=ker(g)=(\mathbb(R)^4)_0$ e $U=(\mathbb(R)^4)_1$
d) Indicando con $u'=(-1/sqrt2,1/sqrt2,0,0)$ e $v=(x,y,z,t)$ abbiamo
$f(v)=2(v*u')*u' -v = 1/2(x-2y,-2x+y,-z,-t)$
$g(v)=(v*u')*u'=1/2(x-y,-x+y,0,0)$
Il punto d) è sbagliato
$g(x,y,z,t)=1/2(x-y,-x+y,z-t,-z+t)$
$f(x,y,z,t)=(-y,-x,-t,-z)$
$g(x,y,z,t)=1/2(x-y,-x+y,z-t,-z+t)$
$f(x,y,z,t)=(-y,-x,-t,-z)$
Calcolandole con le matrici mi corrisponde con il tuo risultato, applicando il metodo del prof no. 
Continui a fare lo stesso errore iniziale.
Ragioniamo sulla logica della proiezione su un sottospazio $UsubRR^n$ di dimensione k
a) cerchiamo una base di versori di $U={u_1,u_2,...u_k}$, ovvero una base di vettori ortogonali con norma 1
b) prendiamo un vettore generico $v=$
c) la proiezione di $v$ su un generico vettore $u_i$ è data da $P_(u_i)(v)=[(v^Tu_i)/(u_i^Tu_i)]*u_i=(v^Tu_i)*u_i=a_i*u_i$
perchè $u_i^Tu_i=1$ (per scelta) e poniamo per comodità $v^Tu_i=a_i$ dove $a_iinRR$
d) proiettando $v$ su ogni $u_i$ otteniamo tutte le proiezioni lungo gli assi che compongono la base di U (che puoi tranquillamente immaginare come fosse una base canonica).
e) sommando le componenti trovate, otterremo la combinazione lineare generica $sum_(i=1)^n a_i*u_i=v'$ ovvero la proiezione di $v$ sullo spazio U, ovvero la generica proeizione di un vettore di $RR^n$ su $U$
Tu invece fai una proiezione e basta, quando invece (prendendo l'esercizio che stai facendo) devi fare la somma di due proiezioni. La base di versori l'hai già trovata, ora devi calcolare $g(v)=P_(u_1)(v)+P_(u_2)(v)$ e poi $f(v)=2g(v)-v$
Ragioniamo sulla logica della proiezione su un sottospazio $UsubRR^n$ di dimensione k
a) cerchiamo una base di versori di $U={u_1,u_2,...u_k}$, ovvero una base di vettori ortogonali con norma 1
b) prendiamo un vettore generico $v=
c) la proiezione di $v$ su un generico vettore $u_i$ è data da $P_(u_i)(v)=[(v^Tu_i)/(u_i^Tu_i)]*u_i=(v^Tu_i)*u_i=a_i*u_i$
perchè $u_i^Tu_i=1$ (per scelta) e poniamo per comodità $v^Tu_i=a_i$ dove $a_iinRR$
d) proiettando $v$ su ogni $u_i$ otteniamo tutte le proiezioni lungo gli assi che compongono la base di U (che puoi tranquillamente immaginare come fosse una base canonica).
e) sommando le componenti trovate, otterremo la combinazione lineare generica $sum_(i=1)^n a_i*u_i=v'$ ovvero la proiezione di $v$ sullo spazio U, ovvero la generica proeizione di un vettore di $RR^n$ su $U$
Tu invece fai una proiezione e basta, quando invece (prendendo l'esercizio che stai facendo) devi fare la somma di due proiezioni. La base di versori l'hai già trovata, ora devi calcolare $g(v)=P_(u_1)(v)+P_(u_2)(v)$ e poi $f(v)=2g(v)-v$
"Bokonon":
Tu invece fai una proiezione e basta, quando invece (prendendo l'esercizio che stai facendo) devi fare la somma di due proiezioni. La base di versori l'hai già trovata, ora devi calcolare $g(v)=P_(u_1)(v)+P_(u_2)(v)$ e poi $f(v)=2g(v)-v$
Penso di aver capito. In questo esercizio devo sommare due contributi perchè la mia base $U$ è composta da due elementi. Se fossero stati 3 la proiezione ortogonale sarebbe stata composta da 3 fattori e così via.
Adesso rivedo tutti gli esercizi, spero di aver capito davvero stavolta!
Grazie mille davvero!
Esempio: $U={(1,1,0,0),(0,0,1,1)}$ allora ottengo $g(v)=1/2(x+y,x+y,z+t,z+t)$ e $f(v)=(y,x,t,z)$ oppure, come solitamente le scrive il prof, $f(v)=1/2(x+2y,2x+y,z+2t,2z+t)$
Sono corrette?
Sono corrette?
"Samy21":
Esempio: $U={(1,1,0,0),(0,0,1,1)}$ allora ottengo $g(v)=1/2(x+y,x+y,z+t,z+t)$ e $f(v)=(y,x,t,z)$
E fin qua è perfetto. Finito l'esercizio!
(anche se non so perchè tu non abbia voluto usare la base di U dell'esercizio).
"Samy21":
, come solitamente le scrive il prof, $f(v)=1/2(x+2y,2x+y,z+2t,2z+t)$
E poi scrivi questo....ma perchè?
$f(v)=(y,x,t,z)$ è esattamente la riflessione che cercavi, così semplice.
Quella che hai scritto non è la riflessione.
E sono certo al 100% che il tuo prof non faccia passaggi sbagliati.
Puoi persino sincerarti che $f(v)=(y,x,t,z)$ sia corretta, visto conosci degli autovettori.
$f(1,1,0,0)=(1,1,0,0)=1*(1,1,0,0)$ infatti è un autovettore dell'autospazio che sta sul piano U che hai scelto.
Quindi è legato all'autovalore 1
Idem per $f(0,0,1,1)=(0,0,1,1)=1*(0,0,1,1)$
Visto che conosciamo anche degli autovettori dello spazio perpendicolare, vediamo se li riflette:
$f(-1,1,0,0)=(1,-1,0,0)=-1*(-1,1,0,0)$
$f(0,0,1,-1)=(0,0,-1,1)=-1*(0,0,1,-1)$
Ma guarda un po! Sono due autovettori relativi all'autospazio collegato all'autovalore -1.
Secondo me continui a cercare di interpretare ciò che ha detto il prof (e chiaramente non l'hai capito) dai tuoi appunti, invece di ragionare.
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