Esercizio riflessione e proiezione ortogonale

[Samy211]

Sia $U sub \mathbb{R}^3$ il sottospazio lineare avente equazione cartesiane $x+y+z=0$.
Sia $f:\mathbb{R}^3 -> \mathbb{R}^3$ la riflessione rispetto ad $U$ e sia $g$ la proiezione ortogonale su $U$.
Determinare $f(x,y,z)$ e $g(x,y,z)$

Ho provveduto a calcolare la base di $U$ data dai vettori ${(1,0,-1),(0,1,-1)}$ e adesso per calcolare la consegna dell'esercizio considero i vettori $u=(1,0,-1)$, $v=(x,y,z)$ e $u'=u/(||u||)$ e avrò

$g(v)=(v*u')*u'=1/2(x-z,0,-x+z)$
$f(v)= 2(v*u')*u' - v= 1/2(x-2z,-y,-2x+z)$

Volevo sapere se l'esercizio svolto così è corretto.

Grazie a tutti.

[Samy211]

"Bokonon":(anche se non so perchè tu non abbia voluto usare la base di U dell'esercizio).

Perchè ho svolto i conti e mi venivano come i tuoi quindi ho voluto vedere un altro esercizio che avevo svolto prima ma in maniera errata.

Ho rivisto alcuni esercizi in cui chiedeva solo la riflessione, per esempio $U={(1,1,0),(1,0,1)}$.
Chiamando $u_1=(1/sqrt2,1/sqrt2,0)$ e $u_2=(1/sqrt2,0,1/sqrt2)$ e $v=(x,y,z)$ trovo che $f=2[(v*u_1)*u_1 + (v*u_2)*u_2] - v = (x+y+z,x,x)$. Giusto?

Secondo me continui a cercare di interpretare ciò che ha detto il prof (e chiaramente non l'hai capito) dai tuoi appunti, invece di ragionare.

Esatto ma non dai miei appunti dato che purtroppo non ho potuto seguire il corso, ma dai suoi 2 esercizi svolti su questo argomento. Se guardo le sue soluzioni noto che l'espressione di $f(v)$ presenta sempre una frazione che moltiplica i vettori con un fattore 2. Cioè, se ho la base $(1,-1,1)$ lui dice che $f(v)=1/3(-x-2y+2z,-2x-y-2z,2x-2y-z)$ e $g(v)=1/3(x-y+z,-x+y-z,x-y+z)$.
Ho fatto i conti e quella $f(v)$ la ottengo applicando la formula $f(v)=v-2g(v)$ (che poi è quella che trovo nel Sernesi sulla riflessione). Negli appunti invece passati da una collega c'è un'altra formula, cioè $f(v)=2g(v)-v$. A questo punto penso che la collega abbia sbagliato nel trascrivere, boh.

Grazie sempre per l'aiuto.

[Bokonon]

"Samy21":
Ho rivisto alcuni esercizi in cui chiedeva solo la riflessione, per esempio $U={(1,1,0),(1,0,1)}$.

Sono ortogonali?
Ti ho dato 4 modi diversi per calcolare le proiezioni e nell'ultimo post ti ho mostrato un metodo semplice per verificare se l'applicazione è corretta (potevi farlo pure qua e scoprire che è sbagliata dato che hai applicato il metodo in modo sbagliato,rileggi il mio post a proposito).

"Samy21":
Negli appunti invece passati da una collega c'è un'altra formula, cioè $f(v)=2g(v)-v$. A questo punto penso che la collega abbia sbagliato nel trascrivere, boh.

Te l'ho scritta pure io ed è corretta.
Prendi un foglio di carta disegna due vettori e ricavati tutte le formule. Sono di una banalità estrema.
In bocca al lupo!

[Samy211]

"Bokonon":Sono ortogonali?

No perchè calcolando il loro prodotto scalare non è nullo.
L'errore è a monte perchè non ho scelto una base con vettori tra loro ortogonali?

Comunque, ho svolto l'esercizio ricordando che le basi erano $U={(1,1,0),(1,0,1)}$ e $U^(\bot)={(1,-1,-1)}$
considerando la formula dei primi post, ossia $R=SD_2S^T$

$R=((1,1,1),(1,0,-1),(0,1,-1))*((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))*((1,1,0),(1,0,1),(1,-1,-1))=((1,2,2),(2,0,-1),(2,-1,0))$

E calcolando f ottengo $f(v)=(x+2y+2z,2x-z,2x-y)$.

Spero sia quello corretto, mi sta facendo impazzire questo esercizio.

[Bokonon]

$SS^(-1)=I$
Ma...$S^(-1)=S^T$ solo e solo se S è composta da vettori ortonormali.
La tua S non ha manco i vettori ortogonali...se vuoi usare quel metodo, allora devi ricavarti $S^(-1)$
Oppure trovare una base ortogonale per U e poi normalizzare i tre autovettori. Solo in quel caso la tua matrice $S^(-1)=S^T$
Tutte queste cose le ho scritte nei post precedenti.

Abbiamo $U={u_1=(1,1,0),u_2=(1,0,1)}$ e $U^(\bot)={(1,-1,-1)}$

Metodo del prof

a) cerchiamo una base ortonormale per U.
Possiamo usare G-S e trovare $u_2^{\prime}=u_2-P_(u_1)(u_2)$ e poi normalizzare entrambi i vettori, oppure sfruttare il fatto che siamo in $RR^3$ e dirci:"beh, se faccio il prodotto vettoriale di un vettore di $U$ e il vettore di $U^(\bot)$ otteniamo un vettore perpendicolare ad entrambi che apparterrà a $U$". In entrambi i casi raggiungiamo l'obiettivo.
Per esempio, dopo aver fatto i conti, io considero la base ortonormale $U={u_1=(1/sqrt(2),0,1/sqrt(2)), u_2=(1/sqrt(6),2/sqrt(6),-1/sqrt(6))}$
b) proiettiamo un generico vettore $v=(x,y,z)$ su entrambi i vettori della base.
$P_(u_1)(v)=(v^Tu_1)u_1=1/2$
$P_(u_2)(v)=(v^Tu_2)u_2=1/6$
E otteniamo la proiezione di $v$ su $U$:
$P_v=P_(u_1)(v)+P_(u_2)(v)=1/3<2x+y+z,x+2y-z,x-y+2z>$
c) La riflessione è $R_v=2P_v-v=1/3$

[Samy211]

"Bokonon":$SS^(-1)=I$
Ma...$S^(-1)=S^T$ solo e solo se S è composta da vettori ortonormali.
La tua S non ha manco i vettori ortogonali...se vuoi usare quel metodo, allora devi ricavarti $S^(-1)$
Oppure trovare una base ortogonale per U e poi normalizzare i tre autovettori. Solo in quel caso la tua matrice $S^(-1)=S^T$
Tutte queste cose le ho scritte nei post precedenti.

Si infatti avevo provato anche calcolando l'inversa ma ugualmente il risultato non mi corrisponde. A questo punto sicuramente ho fatto qualche errore. Grazie per l'ulteriore chiarimento.

Metodo del prof

a) cerchiamo una base ortonormale per U.
Possiamo usare G-S e trovare $u_2^{\prime}=u_2-P_(u_1)(u_2)$ e poi normalizzare entrambi i vettori, oppure sfruttare il fatto che siamo in $RR^3$ e dirci:"beh, se faccio il prodotto vettoriale di un vettore di $U$ e il vettore di $U^(\bot)$ otteniamo un vettore perpendicolare ad entrambi che apparterrà a $U$". In entrambi i casi raggiungiamo l'obiettivo.
Per esempio, dopo aver fatto i conti, io considero la base ortonormale $U={u_1=(1/sqrt(2),0,1/sqrt(2)), u_2=(1/sqrt(6),2/sqrt(6),-1/sqrt(6))}$
b) proiettiamo un generico vettore $v=(x,y,z)$ su entrambi i vettori della base.
$P_(u_1)(v)=(v^Tu_1)u_1=1/2$
$P_(u_2)(v)=(v^Tu_2)u_2=1/6$
E otteniamo la proiezione di $v$ su $U$:
$P_v=P_(u_1)(v)+P_(u_2)(v)=1/3<2x+y+z,x+2y-z,x-y+2z>$
c) La riflessione è $R_v=2P_v-v=1/3$

A parte il refuso su $P_(u_1)(v)$, mi corrisponde tutto riguardo al metodo del prof.
*EDIT: a me in realtà verrebbe fuori $R_v=2P_v-v=1/3<3x+2y+2z,2x+3y-2z,2x-2y+3z>$
Io pensavo che si potessero risolvere gli esercizi in cui viene richiesto di calcolare solo la riflessione senza dover calcolare anche la proiezione ortogonale.

Grazie mille per la pazienza.

[Bokonon]

@Samy21
Ti ho spiegato la visione dal punto di vista di autovettori e autovalori perchè comunque negli esercizi che hai postato il prof richiede che tu la comprenda...e ti ho fatto vedere come applicarla effettivamente.
Questa impostazione vale anche per proiezioni non ortogonali quindi comprendila a fondo e tienila nel bagaglio.
Nel caso di proiezioni ortogonali però ho specificato che esistono metodi più rapidi (che non richiedono nemmeno di trovare basi ortonormali per lo spazio su cui proiettare).
Infine siamo tornati al metodo del prof che pensavo avessi capito dopo il mio primo post (in cui già ti segnalavo l'errore di fondo).

Adesso ti chiedi se si possa trovare la matrice di riflessione senza passare da quella di proiezione. La risposta è no a meno che non usi il metodo autovalori e autovettori.
Però hai deficienze su quando $A^(-1)=A^T$ o su come invertire una matrice (che è una cosa facile se le matrici sono 2x2 o 3x3 ma quando si va oltre diventa tacchiente). Quindi applica il metodo del prof:
a) trova una base ortonormale per lo spazio di proieizione
b) calcola le proiezioni sugli versori
c) sommale e trova la $P_v$
d) trova la riflessione usando la relazione $R_v=2P_v-v$

Comunque ho apprezzato lo sforzo di usare autovalori e autovettori per trovare direttamente la matrice di riflessione. Prova di nuovo usando l'inversa corretta di S
$ S^(-1)=1/3( ( 1 , 2 , -1 ),( 1 , -1 , 2 ),( 1 , -1 , -1 ) ) $

Devi fare pratica nel trovare i vettori ortogonali, matrici inverse e il metodo del prof.
Ma soprattutto, disegna due vettori a e b su un foglio e deriva tutte le formule da te. Prima la proiezione di b su a. Poi il vettore $c=b-P_a(b)$ e infine la riflessione di b su a.
Richiede due conoscenze...sommare i vettori e conoscere il teorema di pitagora e magicamente ottini tutte le formule e comprendi cosa stai facendo e perchè devi passare dalla proiezione per arrivare alla riflessione.
Ci spendi anche 5 ore ma ne guadagni molte di più in seguito perchè comprendi cosa stai facendo.

P.S. sull'edit
Continui a fare errori di calcolo....
P.S.2 quando parlo di vettori da disegnare sul foglio, intendo vettori geometrici...senza nemmeno le componenti. Essi racchiudono tutti i concetti...è geometria pura

[Samy211]

"Bokonon":@Samy21
Infine siamo tornati al metodo del prof che pensavo avessi capito dopo il mio primo post (in cui già ti segnalavo l'errore di fondo).

Infatti l'ho capito, se magari io la smettessi di fare errori grossolani potrei andare avanti.

Comunque ho apprezzato lo sforzo di usare autovalori e autovettori per trovare direttamente la matrice di riflessione. Prova di nuovo usando l'inversa corretta di S
$ S^(-1)=1/3( ( 1 , 2 , -1 ),( 1 , -1 , 2 ),( 1 , -1 , -1 ) ) $

Ottengo $R=1/3((1,2,2),(2,1,-2),(2,-2,1))$ e così mi corrisponde con quella che hai scritto tu.

Ci spendi anche 5 ore ma ne guadagni molte di più in seguito perchè comprendi cosa stai facendo.

Spero di riuscirci, grazie per i suggerimenti e per la disponibilità.

P.S. sull'edit
Continui a fare errori di calcolo....

Grazie mille davvero.