Esercizi sulla dimensione di spazi vettoriali.

[Yuyu_13]

Buonasera, sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Sia data un'applicazione lineare $f:V to W$ suriettiva.
Si consideri $H={v in V : f(v) in Z}$ con $ZsubseteqW$.
Bisogna dimostrare che la $dimH=dimZ+dimV-dimW.$

Sto provando a svolgerlo nel seguente modo, innanzitutto, da$dimH=dimZ+dimV-dimW$, segue $dimV-dimH=dimW-dimZ.$

Poi osservo $H ,Z $sono rispettivamente sottospazi vettoriali di $V,W$ e dalla semi semplicità degli spazi vettoriali ho l'esistenza di $X, Y$ sottospazi vettoriali di $V,W$ rispettivamente, per cui si ha

$V=Ho+X$ e $dimX=dimV-dimH$
$W=Zo+Y$ e $dimY=dimW-dimZ$

quindi, dovrei dimostrare $dimX=dimY.$
Se tutto va bene, $dimX=dimY$ equivale a dimostrare l'esistenza di un isomorfismo tra $X$ e $Y$.
Dunque, posso considerare tale strada, come corretta ? Inoltre, come isomorfismo ho pensato alla seguente funzione

$g : v in X to g(v)=f(v) in Y$

tale funzione è un omomorfismo suriettivo, quindi, se va bene, rimarrebbe da provare solo l'iniettività.

[Yuyu_13]

@Martino, no no che io a quest'ora sfollo
Diciamo che ho risposto a j18eos. Forse devo dimostrare anche l'altra implicazione ? oppure devo esibire una funzione ?

"Martino":
[quote="j18eos"]Alternativa: \( \displaystyle\ker f\leq H \), quindi \( \displaystyle\dim H=\dim\ker f+\dim Z \) e \( \displaystyle\dim V=\dim\ker f+\dim W \); sottrai ambo i membri e concludi!

[/quote]
Si si. Ho voluto provare in un'altra maniera.

[Studente Anonimo]

Non ho capito. Devi dimostrare che $X$ e $Y$ hanno la stessa dimensione. Come l'hai dimostrato? La funzione che hai chiamato $g$ in generale non è ben definita.