Equazioni cartesiane da un sistema di generatori
Dati i vettori [2,0,0], [0,1,0], [1,0,3], [5,4,1], come faccio a individuare un sistema di equazioni cartesiane che definisce lo span di questo insieme di vettori ? Ho provato ad applicare il "metodo delle matrici complete e incomplete", ma questo sistema non riesce...
Risposte
"Magma":
Sia $A$ la matrice dei coefficienti, $X$ la colonna delle incognite, $B$ la colonna dei termini noti. Il sistema lineare
$AX=B$si dice omogeneo se $B=bar0$.
Pure se la matrice A è nulla? Ho seri dubbi, anche perchè a quel punto lo stesso discorso dovrebbe valare anche per un'equazione singola (che è pur sempre un sistema, seppur a una sola equazione)...
Tipo le equazioni indeterminate, come $0x=0$ che risulta verificata $AA x in RR$?
"Magma":
Tipo le equazioni indeterminate, come $0x=0$ che risulta verificata $AA x in RR$?
o per l'appunto l'equazione 0x+0y+0z=0... esso è comunque un sistema lineare (a una sola equazione), ma non credo che possa essere definito "omogeneo", anche se ha il termine noto nullo.
Mi arrendo! 
"Magma":
Mi arrendo!
Eh lo so... sulle definizioni sono eccessivamente pignolo.
E che definizione riporta il tuo libro sotto la voce sistema lineare omogeneo?
"Magma":
E che definizione riporta il tuo libro sotto la voce sistema lineare omogeno?
Quella che hai dato tu, senza specificare che la matrice A deve essere necessariamente non nulla... solo che io nutro forti perplessità a riguardo, perchè a quel punto sarebbe possibile rappresentare Rn con un'equazione lineare omogenea (per l'appunto 0X1+0X2+.....0Xn=0).
"Daken97":
Quella che hai dato tu, senza specificare che la matrice $A$ debba essere necessariamente non nulla... solo che io nutro forti perplessità a riguardo
Quindi, seguendo il tuo rigore per le definizioni dovresti fermarti e non proseguire oltre!
"Daken97":
solo che io nutro forti perplessità a riguardo, perchè a quel punto sarebbe possibile rappresentare $RR^n$ con un'equazione lineare omogenea banale (per l'appunto $0X1+0X2+.....0Xn=0$).
Secondo me stai confondendo lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeno con il sistema stesso.
Una retta nel piano cartesiano $(x,y)$ è la rappresentazione grafica, ad esempio, del seguente spazio vettoriale
$V={x,y in RR^2 : qquad x+y=0}$
dove $V sub RR^2$ ha dimensione $1$.
"Magma":
Secondo me stai confondendo lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeno con il sistema stesso.
Una retta nel piano cartesiano $(x,y)$ è la rappresentazione grafica, ad esempio, del seguente spazio vettoriale
$V={x,y in RR^2 : qquad x+y=0}$
dove $V sub RR^2$ ha dimensione $1$.
Questo lo so... comunque ciò che ha detto prima Antoo Zolander è vero, ma andava solo specificato che non dovevano essere prese in considerazione equazioni con coefficienti tutti nulli. Questione di definizioni
"Daken97":
comunque ciò che ha detto prima Antoo Zolander è vero
guarda che posso sbagliarmi anche io
infatti quello che ho detto era sbagliato.
"anto_zoolander":
[quote="Daken97"]comunque ciò che ha detto prima Antoo Zolander è vero
guarda che posso sbagliarmi anche io
infatti quello che ho detto era sbagliato.[/quote]
Diciamo che ciò che avevi detto era vero fino ad un certo punto.
Pensa che nello stesso istante in cui avevi risposto stavo aprendo un thread a riguardo (già inviato)...
Sai perchè ti dico che non è vero?
Perchè se intendi che $0x+0y+0z=0$ lo vedi come $((0,0,0))*((x),(y),(z))=0$ allora è vero.
Altrimenti resta semplicemente una equazione vera per ogni $n- u p l a$.
Perchè se intendi che $0x+0y+0z=0$ lo vedi come $((0,0,0))*((x),(y),(z))=0$ allora è vero.
Altrimenti resta semplicemente una equazione vera per ogni $n- u p l a$.
"anto_zoolander":
Sai perchè ti dico che non è vero?
Perchè se intendi che $0x+0y+0z=0$ lo vedi come $((0,0,0))*((x),(y),(z))=0$ allora è vero.
Altrimenti resta semplicemente una equazione vera per ogni $n- u p l a$.
Proseguiamo qua o là?
Comunque secondo me l'equivoco è un altro... un'equazione di questo tipo può essere definita "omogenea"? Vero che ha ha il termine noto nullo, ma c'è da dire pure che sono nulli tutti i coefficienti.
Edit: anzi, andrebbe rivista la definizione di "equazione cartesiana".
Ho chiuso l'altro thread: ne stiamo già parlando quì.
Non c'è nulla di male nel fatto che tutti i coefficienti siano nulli. Per esempio prendi l'applicazione lineare
L'applicazione è l'applicazione nulla ed il suo nucleo, che è un sottospazio di $RR^3$, sarà
è chiaro che per come è definita il nucleo è tutto $RR$.
Infatti la tua domanda ha sostanzialmente una risposta più generale ossia che per ogni $K-$spazio vettoriale $V$ l'applicazione nulla $L:V->K$ ha come nucleo tutto lo spazio vettoriale.
Non c'è nulla di male nel fatto che tutti i coefficienti siano nulli. Per esempio prendi l'applicazione lineare
$L:RR^3->RR$ definita come $L(x,y,z)=((0,0,0))*((x),(y),(z))$
L'applicazione è l'applicazione nulla ed il suo nucleo, che è un sottospazio di $RR^3$, sarà
$Ker(L)={(x,y,z) in RR^3: L(x,y,z)=0}$
è chiaro che per come è definita il nucleo è tutto $RR$.
Infatti la tua domanda ha sostanzialmente una risposta più generale ossia che per ogni $K-$spazio vettoriale $V$ l'applicazione nulla $L:V->K$ ha come nucleo tutto lo spazio vettoriale.
Buono che forse sono arrivato alla risposta.
Dunque, da una parte ho letto che n-k rappresenta il numero di equazioni INDIPENDENTI. Una singola equazione è indipendente solo se NON ha coefficienti tutti nulli, è lo stesso discorso che vale per l'indipendenza lineare fra vettori (un vettore nullo è linearmente dipendente, uno non nullo invece no). Ergo, la tua tesi era vera, mancava solo una parola.
Che ne pensi?
Dunque, da una parte ho letto che n-k rappresenta il numero di equazioni INDIPENDENTI. Una singola equazione è indipendente solo se NON ha coefficienti tutti nulli, è lo stesso discorso che vale per l'indipendenza lineare fra vettori (un vettore nullo è linearmente dipendente, uno non nullo invece no). Ergo, la tua tesi era vera, mancava solo una parola.
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