Equazioni cartesiane da un sistema di generatori
Dati i vettori [2,0,0], [0,1,0], [1,0,3], [5,4,1], come faccio a individuare un sistema di equazioni cartesiane che definisce lo span di questo insieme di vettori ? Ho provato ad applicare il "metodo delle matrici complete e incomplete", ma questo sistema non riesce...
Risposte
Scusa lo trovi un vettore di $RR^3$ che non si possa scrivere come combinazione lineare di quei vettori?
"Daken97":
Però aspetta... l'insieme di vettori che ho indicato all'inizio sicuramente NON è un sistema di generatori di R3, perciò lo span di quei vettori rappresenta un sottospazio di R3...
In che senso? Comunque leggi il anche il commento di @Anto; anche perché non so più come spiegarmi
"anto_zoolander":
Ma grazie che è inefficiente. Uno spazio di dimensione $ k $ sarà rappresentato da $ n-k $ equazioni cartesiane quindi se $ k=n $ non ne ha
"Magma":
[quote="Daken97"]Però aspetta... l'insieme di vettori che ho indicato all'inizio sicuramente NON è un sistema di generatori di R3, perciò lo span di quei vettori rappresenta un sottospazio di R3...
In che senso? Comunque leggi il anche il commento di @Anto; anche perché non so più come spiegarmi
"anto_zoolander":[/quote]
Ma grazie che è inefficiente. Uno spazio di dimensione $ k $ sarà rappresentato da $ n-k $ equazioni cartesiane quindi se $ k=n $ non ne ha
Ok, ce l'ho fatta, adesso possiamo brindare il parto.
L'insieme di vettori da me indicato è un sistema di generatori per R3, perciò non ha senso cercare quel che cercavo... purtrpppo anch'io ho confuso la base con il sistema di generatori.
"anto_zoolander":
Scusa lo trovi un vettore di $RR^3$ che non si possa scrivere come combinazione lineare di quei vettori?
L'insieme di vettori che ho indicato all'inizio non sono linearmente indipendenti, ma ciò non toglie che esso costituisce un sistema di generatori per R3... vi ringrazio per la pazienza.
Non farmi esaurire il magma 
È importante che ti entri in testa che un sistema di generatori di uno spazio e una base dello spazio stesso, generano lo stesso spazio. Quindi scartare i vettori in più non può far altro che bene al fine di un conto
È importante che ti entri in testa che un sistema di generatori di uno spazio e una base dello spazio stesso, generano lo stesso spazio. Quindi scartare i vettori in più non può far altro che bene al fine di un conto
"anto_zoolander":
Non farmi esaurire il magma
È importante che ti entri in testa che un sistema di generatori di uno spazio e una base dello spazio stesso, generano lo stesso spazio. Quindi scartare i vettori in più non può far altro che bene al fine di un conto
Spero che non si sia esaurito e che abbia assiatito al lieto fine della discussione.
Scherzi a parte, lo so, però è un'operazione che va effettuata con criterio...
Certo che va effettuata con criterio, ed è importante capirlo, ma se hai un sistema di vettori è uno dipende dagli altri, quello lo puoi scartare.
"anto_zoolander":
Certo che va effettuata con criterio, ed è importante capirlo, ma se hai un sistema di vettori è uno dipende dagli altri, quello lo puoi scartare.
Sì, ma l'equivoco lì era un altro... c'era chi sosteneva che solo le basi potevano essere definite sistemi di generatori; a furia di leggerli mi sono fatto condizionare e ho creduto che quell'insieme di vettori non fosse un sistema di generatori per R3 (ho inserito l'EDIT sul mio precedente strafalcione).
Si ricordo questa discussione di cui parli, e mi dispiace quando accade che l’utente venga confuso.
"anto_zoolander":
Si ricordo questa discussione di cui parli, e mi dispiace quando accade che l’utente venga confuso.
Vabbè capita.
...... ma un equazione del tipo 0X+0Y+0Z=0 ha senso? Perché essa, anche se è evidentemente un'identità, in qualche modo può rappresentare tutto R3.
Certo che ha senso, è vera per ogni $3- u p l a$ di numeri reali. Significa che ogni punto di coordinate $(x,y,z)$ verifica il sistema lineare e quindi è tutto $RR^3$
È un'equazione lineare omogenea banale, indica che $x,y,z in RR^3$ sono vettori linearmente indipendenti
"anto_zoolander":
Certo che ha senso, è vera per ogni $3- u p l a$ di numeri reali. Significa che ogni punto di coordinate $(x,y,z)$ verifica il sistema lineare e quindi è tutto $RR^3$
Quindi un modo per rappresentare Rn esiste... nel senso che nella regola "numero di equazioni uguale n-k" è sottointeso equazioni "non banali" (cioè con coefficenti non tutti nulli).
Ma tu volevi un sistema lineare omogeno che avesse $oo^3$ soluzioni…
EDIT: sbagliato
EDIT: sbagliato
"Magma":
Ma tu volevi un sistema lineare omogeno che avesse $oo^3$ soluzioni… mentre un'equazione banale ha un'unica soluzione ed è proprio quella nulla.
Scusa Magma... prendi l'equazione 0X+0Y+Z=0, e ti accorgi che qualunque elemento di R3 (non solo il vettore nullo) la soddisfa.
"Daken97":
Scusa Magma... prendi l'equazione 0X+0Y+Z=0, e ti accorgi che qualunque elemento di R3 (non solo il vettore nullo) la soddisfa.
Sì, scusa mi si sono aggrovigliati i pensieri
. Ero rimasto al concetto di C.L. $alphax+betay+gammaz=0$
se $x,y,z$ sono l.i. allora l'unica soluzione è quella banale, ovvero $(alpha,beta,gamma)=(0,0,0)$; intendevo dire questo.
EDIT: corretto "nulla" con "banale".
"Magma":
[quote="Daken97"]Scusa Magma... prendi l'equazione 0X+0Y+Z=0, e ti accorgi che qualunque elemento di R3 (non solo il vettore nullo) la soddisfa.
Sì, scusa mi si sono aggrovigliati i pensieri
. Ero rimasto al concetto di C.L. $alphax+betay+gammaz=0$
se $x,y,z$ sono l.i. allora l'unica soluzione è quella nulla, ovvero $(alpha,beta,gamma)=(0,0,0)$; intendevo dire questo.
[/quote]Perfetto.
Comunque credo che anche qui sia una questione di definizioni... non credo che un equazione del tipo 0X+0Y+0Z possa essere definita "omogenea", perché per l'appunto ha coefficenti tutti nulli. La regola "n-k" dovrebbe indicare proprio il numero di equazioni omogenee che definiscono Rn.
Antoo confermi la mia tesi?
"Daken97":
non credo che un equazione del tipo $0X+0Y+0Z$ possa essere definita "omogenea"
Quella lì no, ma quest'altra sì:
$0x+0y+0z=bar(0), qquad x,y,z in Vsube RR^n$
per essere pignoli ho voluti distinguere lo $0 in RR$ dal vettore nullo $bar0 in V$.
"Magma":
[quote="Daken97"] non credo che un equazione del tipo $0X+0Y+0Z$ possa essere definita "omogenea"
Quella lì no, ma quest'altra sì:
$0x+0y+0z=bar(0), qquad x,y,z in Vsube RR^n$
per essere pignoli ho voluti distinguere lo $0 in RR$ dal vettore nullo $bar0 in V$.[/quote]
Hai fatto benissimo, io non so ancora utilizzarlo bene.... ma c'è un però.
Non credo che un sistema di quel tipo possa essere considerato omogeneo... idem come sopra, ha solo coefficienti nulli.
Sia $A$ la matrice dei coefficienti, $X$ la colonna delle incognite, $B$ la colonna dei termini noti. Il sistema lineare
$AX=B$
si dice omogeneo se $B=bar0$.
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