Dubbio sul polinomio caratteristico!
Ciao ragazzi avrei un dubbio sul polinomio caratteristico, mi spiego meglio:
in un esercizio mi è dato un endomorfismo e devo studiarne la diagonalizzabilità al variare del parametro t.
L'endomorfismo è definito a "pezzi" rispetto a una base B=[u,v,w] con un parametro t. $f(u)=u+tv$; $f(v)=tu$; $f(w)=t^2u-tv+w$.
Ora il mio problema è che quando vado a calcolare il polinomio, scrivo la matrice $P_A(lamba)$, il fatto è che però dopo ho un equazione di secondo grado in t e λ quindi ho pensato di effettuare opportuni calcoli in modo da calcolarmi prima t e poi sostituendo all'equazione mi trovo gli autovalori lambda! è giusto il ragionamento o non posso farlo?
in un esercizio mi è dato un endomorfismo e devo studiarne la diagonalizzabilità al variare del parametro t.
L'endomorfismo è definito a "pezzi" rispetto a una base B=[u,v,w] con un parametro t. $f(u)=u+tv$; $f(v)=tu$; $f(w)=t^2u-tv+w$.
Ora il mio problema è che quando vado a calcolare il polinomio, scrivo la matrice $P_A(lamba)$, il fatto è che però dopo ho un equazione di secondo grado in t e λ quindi ho pensato di effettuare opportuni calcoli in modo da calcolarmi prima t e poi sostituendo all'equazione mi trovo gli autovalori lambda! è giusto il ragionamento o non posso farlo?
Risposte
Ciao
Una volta che hai la matrice dell'applicazione lineare (scritta rispetto alle base data), calcoli gli zeri del polinomio caratteristico in funzione di $t$.
Per studiare la diagonalizzabilità prendi gli autospazi (quindi vai a guardare i $ker$ delle applicazioni $P-\lambda I$) e ne classifichi la dimensione (quindi studi il rango di $P-\lambda I$).
L'applicazione è diagonalizzabile quando la molteplicità geometrica degli autovalori è uguale alla molteplicità algebrica
Una volta che hai la matrice dell'applicazione lineare (scritta rispetto alle base data), calcoli gli zeri del polinomio caratteristico in funzione di $t$.
Per studiare la diagonalizzabilità prendi gli autospazi (quindi vai a guardare i $ker$ delle applicazioni $P-\lambda I$) e ne classifichi la dimensione (quindi studi il rango di $P-\lambda I$).
L'applicazione è diagonalizzabile quando la molteplicità geometrica degli autovalori è uguale alla molteplicità algebrica
si claudia lo so questo, forse nonmi sono spiegato, posto la mia soluzione cosicchè possiate dirmi se è giusta.
Allora, ho la matrice associata all'applicazione che è questa:
$A=((1,t,0),(t,0,0),(t^2,-t,1))$
Calcolo il det della matrice per determinare i valori per cui è diagonalizzabile ed ho $t=0$. Dunque studio i casi $t=0,t!=0$.
Mi accorgo ke per $t=0$ la matrice si trasforma proprio in una matrice diagonale quindi per questa ipotesi la matrice, e quindi anche l'applicazione, sono diagonalizzabili.
Per $t!=0$ ho la matrice di partenza. Calcolo la matrice $P_A(\lambda)$(siccome il problema mi da gia come parametro $t$, allora mi calcolo il polinomio con lambda) e mi viene:
$P_A(\lambda)=((1-\lambda,t,0),(t,-\lambda,0),(t^2,-t,1-\lambda))$.
Così ottengo un polinomio in $t$ e $\lambda$, siccome gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico ed io le ho indicate con $\lambda$ mi chiedevo se fosse corretto calcolare le radici $t$(in funzione di $\lambda$ ovviamente) del polinomio e poi sostituirle per calcolarmi $\lambda$. Mi sono spiegato?
Allora, ho la matrice associata all'applicazione che è questa:
$A=((1,t,0),(t,0,0),(t^2,-t,1))$
Calcolo il det della matrice per determinare i valori per cui è diagonalizzabile ed ho $t=0$. Dunque studio i casi $t=0,t!=0$.
Mi accorgo ke per $t=0$ la matrice si trasforma proprio in una matrice diagonale quindi per questa ipotesi la matrice, e quindi anche l'applicazione, sono diagonalizzabili.
Per $t!=0$ ho la matrice di partenza. Calcolo la matrice $P_A(\lambda)$(siccome il problema mi da gia come parametro $t$, allora mi calcolo il polinomio con lambda) e mi viene:
$P_A(\lambda)=((1-\lambda,t,0),(t,-\lambda,0),(t^2,-t,1-\lambda))$.
Così ottengo un polinomio in $t$ e $\lambda$, siccome gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico ed io le ho indicate con $\lambda$ mi chiedevo se fosse corretto calcolare le radici $t$(in funzione di $\lambda$ ovviamente) del polinomio e poi sostituirle per calcolarmi $\lambda$. Mi sono spiegato?
La matrice $A$ non mi torna. Il vettore delle componenti è un vettore colonna moltiplicato a destra?
no speculor... la matrice associata all'applicazione non è la matrice ke ha per colonne le componenti dei vettori?
EDIT: ho una spazio vettoriale $V(RR)$ e una base $B=[u,v,w]$ e $f:V->v$ endomorf.
EDIT: ho una spazio vettoriale $V(RR)$ e una base $B=[u,v,w]$ e $f:V->v$ endomorf.
Il vettore $u$ ha componenti $(1,0,0)$ rispetto alla base $[u,v,w]$. Se moltiplichi la matrice $A$ a destra per il vettore colonna $(1,0,0)$ non tornano le componenti del trasformato di $u$.
mh..allora ho sbagliato la matrice associata!? :S scusami speculor ma potresti farmi capire come si scrive la matrice associata all'applicazione? io ho semplicemente messo come colonne i coefficienti dei vettori dati dall'esercizio
Devi fare la trasposta.
La matrice giusta è la trasposta di quella che ha scritto paolotesla91. In ogni caso al fine del calcolo degli autovalori questo conta poco.
ah quindi diciamo che in sostanza la matrice associata è quella che ho scritto solo che devo farne la trasposta?
In ogni caso se è così comunque il problema rimane anche perchè il det della matrice A è uguale a quello della sua trasposta!
In ogni caso se è così comunque il problema rimane anche perchè il det della matrice A è uguale a quello della sua trasposta!
Ho capito, però non si poteva non fartelo notare. 
! comunque perchè poi dovrei farne la trasposta? cioè a noi la prof ce la fa scrivere sempre come l'ho scritta io cioè con i coefficienti come colonne!P.S. cos'altro proponete? Il mio ragionamento è applicabile o no?
Dovresti trovare $\lambda$ in funzione di $t$. In pratica, il solito procedimento considerando $t$ un parametro, nella speranza che la discussione non sia troppo complessa.
ah quindi il contrario di ciò che ho pensato! okok ora provo e se ho problemi posto qui! grazie a tutti per aver risposto!
grazie a tutti per aver risposto!
RAgazzi è possibile che mi esca a tutti e tre gli autospazi il solo vettore nullo, e dunque il $kerf$?
EDIT: in utti e tre gli autospazi le molteplicità coincidono quindi sono diagonalizzabili!
EDIT: in utti e tre gli autospazi le molteplicità coincidono quindi sono diagonalizzabili!
Gli autovalori sono:
$\lambda_1=1$
$\lambda_2=(1-sqrt(4t^2+1))/2$
$\lambda_3=(1+sqrt(4t^2+1))/2$
Se $t!=0$ hai tre autovalori distinti e la matrice risulta diagonalizzabile.
Se $t=0$ hai un autovalore di molteplicità algebrica uguale a $2$, bisogna allora calcolare la sua molteplicità geometrica. Se dovesse risultare $2$ allora la matrice sarebbe diagonalizzabile, se fosse soltanto $1$ non lo sarebbe. Buon lavoro!
$\lambda_1=1$
$\lambda_2=(1-sqrt(4t^2+1))/2$
$\lambda_3=(1+sqrt(4t^2+1))/2$
Se $t!=0$ hai tre autovalori distinti e la matrice risulta diagonalizzabile.
Se $t=0$ hai un autovalore di molteplicità algebrica uguale a $2$, bisogna allora calcolare la sua molteplicità geometrica. Se dovesse risultare $2$ allora la matrice sarebbe diagonalizzabile, se fosse soltanto $1$ non lo sarebbe. Buon lavoro!
si speculor anche io mi trovo quelle soluzioni! dato che sto considerando il caso $t!=0$ ho che è diagonalizzabile per tutti e tre gli autovalori ed i rispettivi autospazi mi risultano tutti essere uguali al vettore nullo! Per questo kiedevo se fosse possibile! teoricamente credo di si perchè un autospazio generato dai rispettivi autovalori associati ad autovettori, è un sottospazio vettoriale, per cui è ovvio che sia costituito dal vettore nullo, ma il mio è un singleton! Perdonami ma il caso $t=0$ non dovrei NON considerarlo dato che ho già fatto questo studio prima?(l'ho già postato se vedi la pagina precedente) Inoltre per $t=0$ ho:
$\lambda=(1+-1)/2$ ke mi da soluzioni: $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=0$ che hanno $m_a=1$! o sbaglio?
$\lambda=(1+-1)/2$ ke mi da soluzioni: $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=0$ che hanno $m_a=1$! o sbaglio?
Quando $t=0$ hai $\lambda_1=0$ con $m.a.=m.g.=1$ e $\lambda_2=1$ con $m.a.=m.g.=2$ in quanto, come giustamente mi hai ricordato, si può notare come la matrice risulti già diagonale, quindi la molteplicità algebrica deve essere uguale a quella geometrica per tutti gli autovalori senza nemmeno doverle calcolare. L'autospazio associato ad un autovalore deve avere almeno dimensione $1$, non può essere costituito dal solo vettore nullo.
no speculor non mi trovo con il tuo $\lambda_2=1$! Perchè le molteplicità sono uguali a 2? io ho calcolato l'autospazio $V_1$ ed è uguale a $(0,0,0)$! per favore puoi spiegarmi?
A me risulta $y=0$, ovvero $(h,0,k)$. Quali conti stai facendo?
allora il discorso ke faccio è per $t!=0$, la matrice è:
$((0,t,0),(t,-1,0),(t^2,-t,0))$
Il sistema associato è:
$\{(yt=0),(xt-y=0),(xt^2-yt=0):}$ ti trovi?
risolvendo per sostituzione ho: $x=0,y=0,z=0$(perchè nella matrice la componente $z$ è sempre 0)! tu come l'hai risolto? puoi postare i calcoli per favore?
$((0,t,0),(t,-1,0),(t^2,-t,0))$
Il sistema associato è:
$\{(yt=0),(xt-y=0),(xt^2-yt=0):}$ ti trovi?
risolvendo per sostituzione ho: $x=0,y=0,z=0$(perchè nella matrice la componente $z$ è sempre 0)! tu come l'hai risolto? puoi postare i calcoli per favore?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo