Dubbio sul concetto di base in algebra lineare
ciao a tutti! ho un dubbio riguardo all'algebra lineare:
xke un certo numero di vettori non forma necessariamente una base? cioè...io so ke n vettori per essere una base devono soddisfare queste due condizioni:
1) devono essere generatori di uno sottospazio
2) devono essere tra loro linearmente indipendeti
quindi presumo ke manchi la prima condizione nella mia domanda giusto? cioè 3 vettori preso qualsiasi costituiscono una base prima se sono generatori...e poi devono essere L.I. giusto? pero allora...come faccio a verificare che n vettori costituiscono i generatori di un sottospazio?
es:
v1=(1,0,0) v2=(2,3,1) v3=(0,1,0)
me li sono inventati al momento...ora io come faccio a dire se questi costituiscono una base di $R^3$ per esempio? io vedo ke essi sono linearmente indipendenti quindi costituiscono una base? no...xke devo verificare ke sn generatori giusto? e come si fa?
xke un certo numero di vettori non forma necessariamente una base? cioè...io so ke n vettori per essere una base devono soddisfare queste due condizioni:
1) devono essere generatori di uno sottospazio
2) devono essere tra loro linearmente indipendeti
quindi presumo ke manchi la prima condizione nella mia domanda giusto? cioè 3 vettori preso qualsiasi costituiscono una base prima se sono generatori...e poi devono essere L.I. giusto? pero allora...come faccio a verificare che n vettori costituiscono i generatori di un sottospazio?
es:
v1=(1,0,0) v2=(2,3,1) v3=(0,1,0)
me li sono inventati al momento...ora io come faccio a dire se questi costituiscono una base di $R^3$ per esempio? io vedo ke essi sono linearmente indipendenti quindi costituiscono una base? no...xke devo verificare ke sn generatori giusto? e come si fa?
Risposte
da quello che mi ricordo vale quanto segue :
n vettori linearmente indipendenti di $R^n$ formano una base per $R^n$
n vettori linearmente indipendenti di $R^n$ formano una base per $R^n$
Se in uno spazio vettoriale esiste una base di n elementi, allora ogni base dello spazio ha n elementi (e questo n viene chiamato dimensione dello spazio). Quindi se in $RR^3$ trovi tre vettori linearmente indipendenti, essi formano una base.
Edito: comunque per verificare che i tre vettori v1=(1,0,0), v2=(2,3,1), v3=(0,1,0) formano un insieme di generatori, prendi un generico elemento (a,b,c) e tenti di scriverlo come combinazione lineare
x(1,0,0)+y(2,3,1)+z(0,1,0)=(a,b,c)
Allora hai
(x+2y,3y+z,y)=(a,b,c)
E questo è verificato se scegli y=c, x=a-2c, z=b-3c. Quindi ogni vettore (a,b,c) di $RR^3$ si scrive come combinazione lineare di v1,v2,v3 e precisamente
(a,b,c) = (a-2c)(1,0,0)+c(2,3,1)+(b-3c)(0,1,0).
Edito: comunque per verificare che i tre vettori v1=(1,0,0), v2=(2,3,1), v3=(0,1,0) formano un insieme di generatori, prendi un generico elemento (a,b,c) e tenti di scriverlo come combinazione lineare
x(1,0,0)+y(2,3,1)+z(0,1,0)=(a,b,c)
Allora hai
(x+2y,3y+z,y)=(a,b,c)
E questo è verificato se scegli y=c, x=a-2c, z=b-3c. Quindi ogni vettore (a,b,c) di $RR^3$ si scrive come combinazione lineare di v1,v2,v3 e precisamente
(a,b,c) = (a-2c)(1,0,0)+c(2,3,1)+(b-3c)(0,1,0).
e potresti farmi un esempio allora in cui n vettori LI non sono generatori?
"lantis":
e potresti farmi un esempio allora in cui n vettori LI non sono generatori?
Se lo spazio ha dimensione n non ci sono speranze: ogni insieme di n vettori indipendenti è una base.
Se lo spazio ha dimensione maggiore strettamente di n, ne trovi quanti ne vuoi: per esempio in $RR^3$, i vettori linearmente indipendenti (1,0,0), (0,1,0) non generano lo spazio.
Una piccola aggiunta( magari superflua ) a quanto ha detto Martino.
Si deve risolvere il sistema di 3 equazioni in 3 incognite :
$x +2y = a $
$3y+z = b $
$y = c $
le cui incognite sono appunto $x,y,z $ .
La soluzione è unica ed è ovviamente quella indicata da Martino .
Si deve risolvere il sistema di 3 equazioni in 3 incognite :
$x +2y = a $
$3y+z = b $
$y = c $
le cui incognite sono appunto $x,y,z $ .
La soluzione è unica ed è ovviamente quella indicata da Martino .
io non ho capito 
mi spiace... ho riletto e riletto e riletto i post ma mi sfugge sempre qualcosa!
se io ho uno spazio vettoriale definito in $R^n$ vuol dire ke una base è formata da un numero di elementi maggiore o uguale a $n$? o minore o uguale a $n$?
mi spiace... ho riletto e riletto e riletto i post ma mi sfugge sempre qualcosa!se io ho uno spazio vettoriale definito in $R^n$ vuol dire ke una base è formata da un numero di elementi maggiore o uguale a $n$? o minore o uguale a $n$?
Cosa intendi con
?
$RR^n$ è uno spazio vettoriale su $RR$, di dimensione n (ovvero esiste una base di n elementi).
Non capisco cosa non capisci.
"lantis":
uno spazio vettoriale definito in $R^n$
?
$RR^n$ è uno spazio vettoriale su $RR$, di dimensione n (ovvero esiste una base di n elementi).
Non capisco cosa non capisci.
Prendi un foglio di carta. Per muoverti sul foglio raggiungendo tutti i punti hai bisogno di quante direzioni? 2: orizzontale e verticale.
Per muoverti in una stanza, supponendo tu sia una mosca, di quante direzioni hai bisogno? 3: orizzontale, verticale e una perpendicolare a queste due.
Uguale in $RR^2$ per muoverti hai bisogno di due direzioni, cioè per raggiungere qualsiasi punto hai bisogno di SOLO 2 movimenti. Chiamali $e_1$ e $e_2$ ovviamente non possono essere tutti e due nella stessa direzione, quindi non tutte e due orizzontali o verticali (pensa sempre al foglio). Quindi devono essere perpendicolari, giusto?
Ecco, due vettori linearmente indipendenti in $RR^2$ (cioè perpendicolari tra loro) sono una base per $RR^2$ , cioè ti permettono di raggiungere qualsiasi punto, cioè qualsiasi punto di $RR^2$ è esprimibile come combinazione lineare di quei due vettori.
Per le dimensioni superiori è la stessa cosa.
Se sei in $RR^n$ DEVI avere n vettori indipendenti per formare una base. Pensa in una stanza di dover raggiungere il soffitto stando solo sul pavimento. Impossibile, no?
Per muoverti in una stanza, supponendo tu sia una mosca, di quante direzioni hai bisogno? 3: orizzontale, verticale e una perpendicolare a queste due.
Uguale in $RR^2$ per muoverti hai bisogno di due direzioni, cioè per raggiungere qualsiasi punto hai bisogno di SOLO 2 movimenti. Chiamali $e_1$ e $e_2$ ovviamente non possono essere tutti e due nella stessa direzione, quindi non tutte e due orizzontali o verticali (pensa sempre al foglio). Quindi devono essere perpendicolari, giusto?
Ecco, due vettori linearmente indipendenti in $RR^2$ (cioè perpendicolari tra loro) sono una base per $RR^2$ , cioè ti permettono di raggiungere qualsiasi punto, cioè qualsiasi punto di $RR^2$ è esprimibile come combinazione lineare di quei due vettori.
Per le dimensioni superiori è la stessa cosa.
Se sei in $RR^n$ DEVI avere n vettori indipendenti per formare una base. Pensa in una stanza di dover raggiungere il soffitto stando solo sul pavimento. Impossibile, no?
tipo..se io ho 4 elementi che appartengono ad $R^3$ formano una base?
"lantis":
tipo..se io ho 4 elementi che appartengono ad $R^3$ formano una base?
No, qualsiasi essi siano: le basi in $RR^3$ hanno tutte tre elementi.
e se ho 2 vettori di $R^3$? formano una base?
"lantis":
e se ho 2 vettori di $R^3$? formano una base?
No, qualsiasi essi siano: le basi in $RR^3$ hanno tutte tre elementi.
PS: ma scusa, le leggi le risposte?
Lantis, $RR^3$ è una stanza. Una base è l'insieme dei movimenti che ti fanno raggiungere tutti i punti della stanza. Di quante direzioni hai bisogno per raggiungere tutti i punti?
ok ho capito...di 3! bello l'esempio dei punti e anche molto interessante! pero forse ho fatto ancora piu casino così...cioè..ok se sono in $R^n$ ho bisogno di una base di n vettori linearmente indipendente (cioè perpenicolari tra loro) per "arrivare in tutti i punti dello spazio". ma allora se io ho questo sottospazio di $R^3$:
W= (1,-1,2),(0,0,1),(-1,1,-1)
ora...poiche sono in $R^3$ ho bisogno di 3 direzioni per muovermi e quindi di tre vettori perpendicolari tra loro e quindi LI. 3 vettori ce li ho...quindi posso dire ke sn generatori dello spazio vettoriale assegnatomi..pero se vado a verificare la loro linearità..vedo ke (-1,1-1) si può esrimere come combinazione lineare degli altri due...quindi tutti e tre insieme sono LD. per il teorema quindi ne posso eliminare uno ed ottenere ancora lo stesso spazio vettoriale. noto quindi ke i primi due (1,-1,2),(0,0,1) sono LI e quindi costituiscono una base!
la base quindi è formata da soli 2 vettori...e nn da 3!! come mai?
W= (1,-1,2),(0,0,1),(-1,1,-1)
ora...poiche sono in $R^3$ ho bisogno di 3 direzioni per muovermi e quindi di tre vettori perpendicolari tra loro e quindi LI. 3 vettori ce li ho...quindi posso dire ke sn generatori dello spazio vettoriale assegnatomi..pero se vado a verificare la loro linearità..vedo ke (-1,1-1) si può esrimere come combinazione lineare degli altri due...quindi tutti e tre insieme sono LD. per il teorema quindi ne posso eliminare uno ed ottenere ancora lo stesso spazio vettoriale. noto quindi ke i primi due (1,-1,2),(0,0,1) sono LI e quindi costituiscono una base!
la base quindi è formata da soli 2 vettori...e nn da 3!! come mai?
Perchè in uno spazio di tre dimensioni puoi prendere uno spazio di 2 dimensioni, chiamato sottospazio vettoriale, e allora i questo sottospazio lavori come se fossi in uno spazio di dimensione 2.
Per intenderci, in una stanza hai bisogno di 3 movimenti, però se nella stanza decidi di stare sul pavimento (Il sottospazio di dimensione 2, caratterizzato dai punti (x,y,0) ), allora ti bastano due direzioni (le stesse del foglio) e quindi la base del sottospazio avrà dimensione 2.
Per intenderci, in una stanza hai bisogno di 3 movimenti, però se nella stanza decidi di stare sul pavimento (Il sottospazio di dimensione 2, caratterizzato dai punti (x,y,0) ), allora ti bastano due direzioni (le stesse del foglio) e quindi la base del sottospazio avrà dimensione 2.
ok! QUINDI parlare di spazi e di sottospazi sono due cose diverse! se io ho uno spazio vettoriale $R^n$ (di dimensione n) allora una base è una famiglia di generatori (cioè n vettori) ke sn tra di loro tutti LI (ne uno in meno ne un in meno, devono essere n vettori LI xke ho bisogno di n direzioni tutte perpendicolri tra di loro). se pero ho un sottospazio di $R^n$ allora una base sarà formata una famiglia di generatori che contiene un numero MINORE O UGUALE a n di vettori LI giusto?
AH! 
Lantis, intendiamoci, se dici
per "base" si intende "base di $RR^3$". Chiaro che se dici solo "base" e non specifichi "di cosa", la tua domanda non può ottenere risposta. Certo che se prendi due vettori v,w indipendenti, essi formano una base dello spazio vettoriale da essi generato (che non è $RR^3$).
Quando parli di "base" devi specificare di quale spazio.
Lantis, intendiamoci, se dici
"lantis":
e se ho 2 vettori di $R^3$? formano una base?
per "base" si intende "base di $RR^3$". Chiaro che se dici solo "base" e non specifichi "di cosa", la tua domanda non può ottenere risposta. Certo che se prendi due vettori v,w indipendenti, essi formano una base dello spazio vettoriale da essi generato (che non è $RR^3$).
Quando parli di "base" devi specificare di quale spazio.
ok scusami martino cmq mè giusto il mio riassunto allora?
cmq mè giusto il mio riassunto allora?
Mi pare vada bene. Solo una cosa: è molto utile pensare ad uno spazio vettoriale come ad una "stanza", come ti ha detto Ravok, ma non pensare per questo che due vettori tra loro indipendenti siano tra loro "perpendicolari" (cioè: non abusare di questo termine 
).
).
"Martino":
Mi pare vada bene. Solo una cosa: è molto utile pensare ad uno spazio vettoriale come ad una "stanza", come ti ha detto Ravok, ma non pensare per questo che due vettori tra loro indipendenti siano tra loro "perpendicolari" (cioè: non abusare di questo termine
quoto.
non pensare all'indipendenza come alla perpendicolarita' (per come mi fu definita la perpendicolarita' ai tempi).
3 vettori di $R^3$ sono INDIPENDENTI se NON sono complanari.
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