Dubbio sul concetto di base in algebra lineare
ciao a tutti! ho un dubbio riguardo all'algebra lineare:
xke un certo numero di vettori non forma necessariamente una base? cioè...io so ke n vettori per essere una base devono soddisfare queste due condizioni:
1) devono essere generatori di uno sottospazio
2) devono essere tra loro linearmente indipendeti
quindi presumo ke manchi la prima condizione nella mia domanda giusto? cioè 3 vettori preso qualsiasi costituiscono una base prima se sono generatori...e poi devono essere L.I. giusto? pero allora...come faccio a verificare che n vettori costituiscono i generatori di un sottospazio?
es:
v1=(1,0,0) v2=(2,3,1) v3=(0,1,0)
me li sono inventati al momento...ora io come faccio a dire se questi costituiscono una base di $R^3$ per esempio? io vedo ke essi sono linearmente indipendenti quindi costituiscono una base? no...xke devo verificare ke sn generatori giusto? e come si fa?
xke un certo numero di vettori non forma necessariamente una base? cioè...io so ke n vettori per essere una base devono soddisfare queste due condizioni:
1) devono essere generatori di uno sottospazio
2) devono essere tra loro linearmente indipendeti
quindi presumo ke manchi la prima condizione nella mia domanda giusto? cioè 3 vettori preso qualsiasi costituiscono una base prima se sono generatori...e poi devono essere L.I. giusto? pero allora...come faccio a verificare che n vettori costituiscono i generatori di un sottospazio?
es:
v1=(1,0,0) v2=(2,3,1) v3=(0,1,0)
me li sono inventati al momento...ora io come faccio a dire se questi costituiscono una base di $R^3$ per esempio? io vedo ke essi sono linearmente indipendenti quindi costituiscono una base? no...xke devo verificare ke sn generatori giusto? e come si fa?
Risposte
ok grazie a tutti! ora ho capito una cosa in piu! d aquesta forse e spero riuscirò a procedere bene! cmq rialacciandomi con il primo post...x capire per es se v1=(1,-1,0) v2=(0,1,-1) v3=(2,-3,1) sono generatori di $R^3$ devo vedere se, preso un elemento generico dello spazio vettoriale come (a,b,c), si può esprimere come combinazione lineare degli altri giusto?? e in questo caso non si può xke come ha fatto notare giustamente camillo...la soluzione nn è unica! confermate?
ps: ho preso vettori diversi dal primo post!
ps: ho preso vettori diversi dal primo post!
"Martino":
AH!
Lantis, intendiamoci, se dici
[quote="lantis"]e se ho 2 vettori di $R^3$? formano una base?
per "base" si intende "base di $RR^3$". Chiaro che se dici solo "base" e non specifichi "di cosa", la tua domanda non può ottenere risposta. Certo che se prendi due vettori v,w indipendenti, essi formano una base dello spazio vettoriale da essi generato (che non è $RR^3$).
Quando parli di "base" devi specificare di quale spazio.[/quote]
sisi penso di aver capito cosa intendi (forse centra il fatto del prodotto scalare uguale a zero, ma se sbaglio nn spiegatemi il xke x carità..heehhe prima voglio capire questi concetti di base)
"lantis":
ok grazie a tutti! ora ho capito una cosa in piu! d aquesta forse e spero riuscirò a procedere bene! cmq rialacciandomi con il primo post...x capire per es se v1=(1,-1,0) v2=(0,1,-1) v3=(2,-3,1) sono generatori di $R^3$ devo vedere se, preso un elemento generico dello spazio vettoriale come (a,b,c), si può esprimere come combinazione lineare degli altri giusto?? e in questo caso non si può xke come ha fatto notare giustamente camillo...la soluzione nn è unica! confermate?
ps: ho preso vettori diversi dal primo post!
non confermo.
un insieme di vettori a1,a2,...an e' generatore di un dato spazio vettoriale S se qualsiasi vettore di S puo' esprimersi come comb. lineare dei vettori a1,a2,..,an
NON e' importante se il modo in cui lo posso esprimere sia unico O MENO.
la questione dell'unicita' riguarda la proprieta' di essere 'base', non di essere (semplicemente) 'generante'.
in altre parole la proprieta' di essere 'generante' e' piu' debole di quella di esere 'base'.
vabbe ma allora quei tre vettori ke ho scritto generano $R^3$? io ho trovato una combinazione lineare...ma questa dipende ancora dalle incognite...
"codino75":
[quote="lantis"]ok grazie a tutti! ora ho capito una cosa in piu! d aquesta forse e spero riuscirò a procedere bene! cmq rialacciandomi con il primo post...x capire per es se v1=(1,-1,0) v2=(0,1,-1) v3=(2,-3,1) sono generatori di $R^3$ devo vedere se, preso un elemento generico dello spazio vettoriale come (a,b,c), si può esprimere come combinazione lineare degli altri giusto?? e in questo caso non si può xke come ha fatto notare giustamente camillo...la soluzione nn è unica! confermate?
ps: ho preso vettori diversi dal primo post!
non confermo.
un insieme di vettori a1,a2,...an e' generatore di un dato spazio vettoriale S se qualsiasi vettore di S puo' esprimersi come comb. lineare dei vettori a1,a2,..,an
NON e' importante se il modo in cui lo posso esprimere sia unico O MENO.
la questione dell'unicita' riguarda la proprieta' di essere 'base', non di essere (semplicemente) 'generante'.
in altre parole la proprieta' di essere 'generante' e' piu' debole di quella di esere 'base'.[/quote]
pero tu dici ke la base di un sottospazio è unica...pero a me viene da pensare a sta cosa: se ho dei generatori di un sottospazio di $R^n$ con k vettori LD. mi accorgo così ke ho per es n-2 vettori con coefficienti nulli e 2 vettori v1 e v2 con coeff diversi da zero.io ne elimino uno di questi due, per es v1, ed ottengo ancora lo stesso sottospazio generato da k-1 vettori. ora verifico la linearità di questa nuova famiglia di generatori e vedo ke ora sono LI quindi una base! questa quindi non è l'unica base xke se io al posto di eliminare v1 avessi eliminato v2 e avessi verificato dopo la linearità scoprendo ke sn LD mi sarei ritrovato due basi diverse..no?
"lantis":
vabbe ma allora quei tre vettori ke ho scritto generano $R^3$? io ho trovato una combinazione lineare...ma questa dipende ancora dalle incognite...
si vede che :
v3 = 2 * v1 - v2
quindi non sono lin. indipendenti.
i calcoli del sistema per vedere se generano $R^3$ non li ho fatti.
alex
"lantis":
pero tu dici ke la base di un sottospazio è unica...pero a me viene da pensare a sta cosa: se ho dei generatori di un sottospazio di $R^n$ con k vettori LD. mi accorgo così ke ho per es n-2 vettori con coefficienti nulli e 2 vettori v1 e v2 con coeff diversi da zero.io ne elimino uno di questi due, per es v1, ed ottengo ancora lo stesso sottospazio generato da k-1 vettori. ora verifico la linearità di questa nuova famiglia di generatori e vedo ke ora sono LI quindi una base! questa quindi non è l'unica base xke se io al posto di eliminare v1 avessi eliminato v2 e avessi verificato dopo la linearità scoprendo ke sn LD mi sarei ritrovato due basi diverse..no?
Hai perfettamente ragione, se hai uno spazio vettoriale V in generale ci sono moltissime basi diverse di V (ma tutte con lo stesso numero di elementi). Non mi pare che codino abbia detto che in uno spazio vettoriale V esiste una sola base di V.
"Martino":
[quote="lantis"]pero tu dici ke la base di un sottospazio è unica...pero a me viene da pensare a sta cosa: se ho dei generatori di un sottospazio di $R^n$ con k vettori LD. mi accorgo così ke ho per es n-2 vettori con coefficienti nulli e 2 vettori v1 e v2 con coeff diversi da zero.io ne elimino uno di questi due, per es v1, ed ottengo ancora lo stesso sottospazio generato da k-1 vettori. ora verifico la linearità di questa nuova famiglia di generatori e vedo ke ora sono LI quindi una base! questa quindi non è l'unica base xke se io al posto di eliminare v1 avessi eliminato v2 e avessi verificato dopo la linearità scoprendo ke sn LD mi sarei ritrovato due basi diverse..no?
Hai perfettamente ragione, se hai uno spazio vettoriale V in generale ci sono moltissime basi diverse di V (ma tutte con lo stesso numero di elementi). Non mi pare che codino abbia detto che in uno spazio vettoriale V esiste una sola base di V.[/quote]
capito capito
ora è tutto chiaro! si dai...ci sn voluti un po' di post per farmi arrivare ma alla fine ne è valsa la pena 
cmq mi dareste la conferma ke gli ultimi tre vettori ke ho scritto non generano $R^3$ e quale sarebbe la condizione ke devo imporre affinchè lo generino?
"lantis":
x capire per es se v1=(1,-1,0) v2=(0,1,-1) v3=(2,-3,1) sono generatori di $R^3$ devo vedere se, preso un elemento generico dello spazio vettoriale come (a,b,c), si può esprimere come combinazione lineare degli altri giusto?? e in questo caso non si può xke come ha fatto notare giustamente camillo...la soluzione nn è unica! confermate?
Per provare che i tre vettori v1,v2,v3 non generano $RR^3$ basta trovare un elemento di $RR^3$ che non si possa esprimere come loro combinazione lineare. In generale puoi provare coi tre elementi della base canonica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1): se v1, v2, v3 non generano $RR^3$ allora certamente uno di questi tre vettori "canonici" non si scrive come loro combinazione lineare. Prendiamo l'elemento (0,1,0) e proviamo a scriverlo come combinazione lineare di v1, v2, v3. Allora abbiamo
(0,1,0) = xv1+yv2+zv3 = x(1,-1,0)+y(0,1,-1)+z(2,-3,1) = (x+2z,-x+y-3z,-y+z)
In altre parole:
0=x+2z, 1=-x+y-3z, 0=-y+z
Ma allora dalla prima, x=-2z, dalla terza y=z, e dalla seconda 1=2z+z-3z=0, assurdo. Quindi (0,1,0) non è esprimibile come combinazione lineare di v1,v2,v3 (perché assumendo ciò, siamo giunti ad un assurdo). Quindi {v1,v2,v3} non è base di $RR^3$.
Come vedi, {v1,v2,v3} non è base, ma non perché la soluzione al sistema "xv1+yv2+zv3=(a,b,c)" non è unica, il motivo vero è che esistono (a,b,c) tali per cui tale sistema non abbia soluzioni.
tutto perfettamente chiaro! solo un'ultima cosa...se io sono in $R$ invece...vuol dire ke ho "un'unica direzione" giusto? quindi per ottenere una base di $R$ mi serve solo un vettore?
Certamente.
Aggiungo qualche considerazione/esempio su $RR^2 $ e le sue basi , che sono infinite.
Ad es. è Base $(1,0),(0,1) $ sono 2 vettori lin indip e quindi sono una base : in questo caso sono anche ortogonali e versori ed è chiamata base canonica .
Anche $(1,0),(1,1) $ è una base : sono infatti 2 vettori e lin indip , non sono perpendicolari nè versori .
Invece $ (3,4),(6,1),(1,1) $ sono generatori ma non sono una base in quanto sono 3 : i primi due vettori sono lin indip e quindi formano una base , il terzo vettore non può che essere una combinazione lineare degli altri due .
Infatti, si calcola facilemnte che $(1,1) = (5/21)*(3,4)+(1/21)*(6,1) $ .
Aggiungo qualche considerazione/esempio su $RR^2 $ e le sue basi , che sono infinite.
Ad es. è Base $(1,0),(0,1) $ sono 2 vettori lin indip e quindi sono una base : in questo caso sono anche ortogonali e versori ed è chiamata base canonica .
Anche $(1,0),(1,1) $ è una base : sono infatti 2 vettori e lin indip , non sono perpendicolari nè versori .
Invece $ (3,4),(6,1),(1,1) $ sono generatori ma non sono una base in quanto sono 3 : i primi due vettori sono lin indip e quindi formano una base , il terzo vettore non può che essere una combinazione lineare degli altri due .
Infatti, si calcola facilemnte che $(1,1) = (5/21)*(3,4)+(1/21)*(6,1) $ .
grazie camillo! e grazie anche a tutti gli altri (grazie martino). cmq..ultimissima cosa...l'espressione "al più" in matematica cosa significa?
"al più" è il contrario di "al meno (=almeno)". Significa "al massimo".
sia V uno spazio vettoriale su $R$ e v1,v2,v3 vettori di V linearmente indipendenti. si dica se una base di V è formata da:
1) 3 vettori
2) almeno tre vettori
3)al più tre vettori
a sto punto neanche una xke puo essere formata da solo un vettore... giusto?
1) 3 vettori
2) almeno tre vettori
3)al più tre vettori
a sto punto neanche una xke puo essere formata da solo un vettore... giusto?
"lantis":
sia V uno spazio vettoriale su $R$ e v1,v2,v3 vettori di V linearmente indipendenti. si dica se una base di V è formata da:
1) 3 vettori
2) almeno tre vettori
3)al più tre vettori
a sto punto neanche una xke puo essere formata da solo un vettore... giusto?
Non può essere formata da un solo vettore: se esistesse una base di un solo vettore, chiamalo v, allora v1,v2,v3 dovrebbero essere generati da tale vettore, ovvero un loro multiplo. Diciamo v1=av, v2=bv, v3=cv con $a,b,c \in RR$. Ne segue che v1,v2,v3 non sarebbero tra loro indipendenti.
scusa ma se abbiamo detto ke se uno spazio vettoriale ha dimensine n..vuol dire ke una base sarà formata da n vettori di questo spazio lin. indipententi! qua la dimensione è 1...quindi avrò una base formata da un vettore! xke nn è giusto quello ke dico?
$V$ è spazio vettoriale su $RR$. Questo non significa che $V=RR$, significa solo che $V$ è spazio vettoriale su $RR$ (prova a riguardarti la definizione di spazio vettoriale). Non puoi dedurre la dimensione di $V$ da questo.
scusa ma...$R^2$ non significa ke lo spazio vettoriale ha dimensione 2? $R^3$ non significa ke ha dimensione 3 e quindi "3 direzioni"? $R$ non significa ke ha dimensione 1 e quindi 1 sola direzione? mi daresti la risposta al quesito di prima! grazie
"lantis":
sia V uno spazio vettoriale su $R$ e v1,v2,v3 vettori di V linearmente indipendenti.
Come vedi in questo caso lo spazio vettoriale non è $RR$ ma $V$ !!
Come fai a dedurre che V ha dimensione 1?
Non serve a niente che ti dia la risposta se non la capisci
Calma boys..
V spazio vettoriale su $RR$ vuole dire solo che il tuo spazio vettoriale ha come campo $RR$. Non puoi dire che dimensione ha. Ma visto che esistono tre vettori linearmente indipendenti, puoi dire con certezza quanto grande deve ALMENO essere...
V spazio vettoriale su $RR$ vuole dire solo che il tuo spazio vettoriale ha come campo $RR$. Non puoi dire che dimensione ha. Ma visto che esistono tre vettori linearmente indipendenti, puoi dire con certezza quanto grande deve ALMENO essere...
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