Dubbio Diagonalizzazione con Parametro
Salve, sto affrontando un esercizio di diagonalizzazione di un endomorfismo con parametro ed ho un dubbio sulla diagonalizzazione, testo:
$f:RR^3 -> RR^3$ $(x,y,z) -> (-y+kz,x+ky-2z,-y+kz), k in RR$
1) determinare i valori di K per cui $f$ è invertibile, negli altri casi img e ker f.
2) determinare per quali valori di k l'endomorfismo è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare $f$
il punto 1 l'ho risolto: f non è mai invertibile ed ho trovato Img e Ker (in entrambi figura il parametro k)
nel punto 2 ho trovato il determinante di $(A-lambdaI)$ -> $ | ( -lambda , -1 , k ),( 1 , k-lambda , -2 ),( 0 , -1 , k-lambda ) | =...=-lambda(k-lambda)(k-lambda)=0$
ed arrivato a questo punto non so come comportarmi; gli autovalori sono $0,k,k?$
sono 3 (ok = dim spazio) ma non sono distinti
, quindi l'endomorfismo non è diagonalizzabile? 
(ma se lo fosse come diagonalizzo se c'è parametro?)
spero in un vostro suggerimento, Grazie!
$f:RR^3 -> RR^3$ $(x,y,z) -> (-y+kz,x+ky-2z,-y+kz), k in RR$
1) determinare i valori di K per cui $f$ è invertibile, negli altri casi img e ker f.
2) determinare per quali valori di k l'endomorfismo è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare $f$
il punto 1 l'ho risolto: f non è mai invertibile ed ho trovato Img e Ker (in entrambi figura il parametro k)
nel punto 2 ho trovato il determinante di $(A-lambdaI)$ -> $ | ( -lambda , -1 , k ),( 1 , k-lambda , -2 ),( 0 , -1 , k-lambda ) | =...=-lambda(k-lambda)(k-lambda)=0$
ed arrivato a questo punto non so come comportarmi; gli autovalori sono $0,k,k?$
sono 3 (ok = dim spazio) ma non sono distinti
, quindi l'endomorfismo non è diagonalizzabile? (ma se lo fosse come diagonalizzo se c'è parametro?)
spero in un vostro suggerimento, Grazie!
Risposte
non risulta, ci sarà sicuramente qualche errore di calcolo 
$P^-1AP= ( ( 0 , 0 , 0 ),( 2k^2+k-4 , k^2+k-1 , k^2+k-3 ),( -2k^2+6k-1 , 2k-1 , 4k-1 ) ) $
che non si avvicina minimamente a $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , k+1 , 0 ),( 0 , 0 , k-1 ) ) $ (bhè a parte 0, il primo autovalore)
penso proprio di lasciar perdere, l'importante che ho capito come ci si comporta in presenza di un parametro;
ti posso chiedere l'ultima cortesia di controllare se non ci sono errori "logici", cioè ho impostato bene il procedimento?
Grazie.
$P^-1AP= ( ( 0 , 0 , 0 ),( 2k^2+k-4 , k^2+k-1 , k^2+k-3 ),( -2k^2+6k-1 , 2k-1 , 4k-1 ) ) $
che non si avvicina minimamente a $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , k+1 , 0 ),( 0 , 0 , k-1 ) ) $ (bhè a parte 0, il primo autovalore)
penso proprio di lasciar perdere, l'importante che ho capito come ci si comporta in presenza di un parametro;
ti posso chiedere l'ultima cortesia di controllare se non ci sono errori "logici", cioè ho impostato bene il procedimento?
Grazie.
Sei sicuro di aver calcolato correttamente la matrice $P^(-1) $ ?
Come procedimento adesso è corretto .
Non lasciarti influenzare dal parametro
Una osservazione semplice ma importante : se devi risolvere l'equazione tipo $(k-2) x = 0 $ vanno distinti due casi
* $ k =2 $ le soluzioni sono infinite , qualunque valore di $ x in RR $
* $ kne 0 $ allora la soluzione è una sola $x=0 $.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ecco un esercizio , senza calcoli complicati, per esercitarsi con matrici con parametro .
Determinare per quali valori di $k $ la matrice $A$ è diagonalizzabile
$A=((1,0,k),(0,k,0),(1,0,k))$
N.B. nel calcolo delle radici del polinomio caratteristico cercare di raccogliere a fattor comune quel che si può...
Come procedimento adesso è corretto .
Non lasciarti influenzare dal parametro
Una osservazione semplice ma importante : se devi risolvere l'equazione tipo $(k-2) x = 0 $ vanno distinti due casi
* $ k =2 $ le soluzioni sono infinite , qualunque valore di $ x in RR $
* $ kne 0 $ allora la soluzione è una sola $x=0 $.
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Ecco un esercizio , senza calcoli complicati, per esercitarsi con matrici con parametro .
Determinare per quali valori di $k $ la matrice $A$ è diagonalizzabile
$A=((1,0,k),(0,k,0),(1,0,k))$
N.B. nel calcolo delle radici del polinomio caratteristico cercare di raccogliere a fattor comune quel che si può...
"Camillo":
Non lasciarti influenzare dal parametro
non è facile, quel $k$ ce l'ha con me
sono quasi riuscito a risolvere l'esercizio che mi hai proposto,
ma c'è il problema che il parametro rimane sotto la radice della formula risolutiva dell'equazione di secondo grado finale:
$det(A-lambdaI)=[(1-lambda)(k-lambda)^2]-[k(k-lambda)]=[(1-lambda)(k^2+lambda^2+2k lambda)]-k^2+k lambda=[k^2+lambda^2+2k lambda-lambda k^2-lambda^3-2k lambda^2-k^2+klambda]$
$=lambda(-lambda^2+(1-2k)lambda+3k-k^2)$ quindi ho: $lambda_0=0$ e $lambda_1, lambda_2$ mi vengono dati dall'equazione di secondo grado:
$lambda=(-1+2k+- sqrt(1+4k^2+4k^2+12k))/-2$ ed il problema è la radice, ho anche provato a risolvere l'equazione in k ma ottengo $k=(12 +- sqrt(144-32))/16$
Raccogli - come ti avevo suggerito- $(k-lambda) $ a fattor comune ottenendo $(k-lambda)[lambda^2-lambda(k+1)]=0 $ etc.
ok ci sono riuscito, ma lo sviluppo della raccolta a fattor comune che hai fatto tu differisce dalla mia di due segni che ho controllato più volte ed i miei sembrano giusti:
sviluppando il tuo raccoglimento: $(k-lambda)[lambda^2-lambda(k+1)]=0 $ -> $k lambda^2-k^2lambda-klambda-lambda^3+lambda^2k+lambda^2$
invece io dal determinante ho ottenuto: $lambda^2+2k lambda-k^2lambda-lambda^3-2k lambda^2+k lambda$
le differenze sono solo due: nel primo c'è $+2k lambda^2$ ma nel secondo ho $-2k lambda^2$
e nel primo c'è $-k lambda$ ottenuto da $-2k lambda +k lambda$ e nel secondo ho $3k lambda$ ottenuto da $2k lambda + k lambda$
nell'incertezza di aver commesso qualche altro errore ho usato la tua raccolta a fattor comune e:
eq. spuria quindi $lambda = (k+1)/1 = k+1$
allora ho: $lambda = k$ (dalla prima parentesi) e $lambda=k+1$ (dall'eq) [ed in teoria $lambda=0$, la seconda soluzione dell'eq]
quindi i valori di k per cui la matrice è diagonalizzabile sono $k=0$ e $k=-1$. corretto?
sviluppando il tuo raccoglimento: $(k-lambda)[lambda^2-lambda(k+1)]=0 $ -> $k lambda^2-k^2lambda-klambda-lambda^3+lambda^2k+lambda^2$
invece io dal determinante ho ottenuto: $lambda^2+2k lambda-k^2lambda-lambda^3-2k lambda^2+k lambda$
le differenze sono solo due: nel primo c'è $+2k lambda^2$ ma nel secondo ho $-2k lambda^2$
e nel primo c'è $-k lambda$ ottenuto da $-2k lambda +k lambda$ e nel secondo ho $3k lambda$ ottenuto da $2k lambda + k lambda$
nell'incertezza di aver commesso qualche altro errore ho usato la tua raccolta a fattor comune e:
eq. spuria quindi $lambda = (k+1)/1 = k+1$
allora ho: $lambda = k$ (dalla prima parentesi) e $lambda=k+1$ (dall'eq) [ed in teoria $lambda=0$, la seconda soluzione dell'eq]
quindi i valori di k per cui la matrice è diagonalizzabile sono $k=0$ e $k=-1$. corretto?
Credo i miei conto siano giusti però...
Gli autovalori sono $lambda=0 ; = k ; = k+1 $ perchè dici in teoria $ lambda =0 $ ???
Se $ k ne 0 $ , $ k ne -1 $ allora i tre autovalori sono distinti e la matrice è diagonalizzabile.
Se $k=0 $ la matrice è diagonalizzabile
Se $ k = -1 $ la matrice non è diagonalizzabile.
Questi sono i risultati a te trovare la spiegazione del perchè : devi esaminare molteplicità algebrica e geomatrica degli autovalori.
Gli autovalori sono $lambda=0 ; = k ; = k+1 $ perchè dici in teoria $ lambda =0 $ ???
Se $ k ne 0 $ , $ k ne -1 $ allora i tre autovalori sono distinti e la matrice è diagonalizzabile.
Se $k=0 $ la matrice è diagonalizzabile
Se $ k = -1 $ la matrice non è diagonalizzabile.
Questi sono i risultati a te trovare la spiegazione del perchè : devi esaminare molteplicità algebrica e geomatrica degli autovalori.
"Camillo":non ero proprio sicuro di includerlo
perchè dici in teoria $ lambda =0 $ ???
"Camillo":
Se $ k ne 0 $ , $ k ne -1 $ allora i tre autovalori sono distinti e la matrice è diagonalizzabile.
Se $k=0 $ la matrice è diagonalizzabile
Se $ k = -1 $ la matrice non è diagonalizzabile.
Questi sono i risultati a te trovare la spiegazione del perchè : devi esaminare molteplicità algebrica e geomatrica degli autovalori.
- Se $ k ne 0 $ , $ k ne -1 $ i tre autovalori sono distindi quindi ognuno ha $ma=1$ e di conseguenza $mg=1$; la matrice è diagonalizzabile perchè $ma=mg$
- Se $k=0$ l'autovalore $0$ ha $ma=2$ e l'autovalore $1, ma=1 = mg$
$mg(0): V(0)={(alpha, beta, gamma) in RR | alpha =0} -> V(0)={(0, beta, gamma) | beta, gamma in RR} => dim = 2$ quindi per $k=0$ la matrice è diagonalizzabile
- Se $k=-1$ l'autovalore $0$ ha $ma=2$ e l'autovalore $-1, ma=1 = mg$
$mg(-1): V(-1)={(0, 0, alpha) | alpha in RR} => dim = 1$ quindi per $k=-1$ la matrice non è diagonalizzabile perchè non tutti gli autovalori hanno $ma=mg$
dovrebbe essere corretto, attendo il tuo riscontro
Non ho avuto tempo di guardare i tuoi conti , comunque devi controllare solo che gli autovalori doppi o tripli ( cioè con $m_a >1$) abbiano lo stesso valore di $m_g $ , intendo dire che per gli autovalori semplici è inutile fare il controllo.
si, in pratica è quello che ho fatto, e mi è risultato come avevi detto tu.
Grazie per tutto l'aiuto che mi hai fornito, finalmente ho le idee più chiare riguardo alla presenza del parametro. Ciao
Grazie per tutto l'aiuto che mi hai fornito, finalmente ho le idee più chiare riguardo alla presenza del parametro. Ciao
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