Dimostrazione della direzione di due vettori
Buongiorno,
potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio?
"Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$,
dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno
direzioni opposte."
Geometricamente lo so che è così, è ovvio, però io vorrei proprio la dimostrazione algebrica, quindi devo arrivare a dimostrare che esiste un numero reale $c>0$ ($c<0$, nel secondo caso) tale che $cA = B$.
Io so che $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$, però una volta sostituito a $cos(vartheta)$ 1 o -1 non so come andare avanti...
potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio?
"Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$,
dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno
direzioni opposte."
Geometricamente lo so che è così, è ovvio, però io vorrei proprio la dimostrazione algebrica, quindi devo arrivare a dimostrare che esiste un numero reale $c>0$ ($c<0$, nel secondo caso) tale che $cA = B$.
Io so che $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$, però una volta sostituito a $cos(vartheta)$ 1 o -1 non so come andare avanti...
Risposte
Immagina che questi due vettori siano in $n$ dimensioni e nel disegno si trovano sul piano che essi generano:
Chiamiamo il versore $\vec b=B/||B||$ (vettore che ha stessa direzione e verso di $B$ ma modulo $1$) e $\vec c_1,...,\vec c_(n-1)$ una base di versori ortogonali a $\vec b$, hai che $\vec b,\vec c_1,...,\vec c_(n-1)$ è una base dello spazio in $n$ dimensioni per cui il vettore $A$ te lo scrivi come $A=a_b\vec b+a_1\vec c_1+...+a_n\vec c_(n-1)$. Quindi se fai $A*B/||B||=A*\vec b=a_b$ (qua usi che $\vec c_i*\vec b=0$ per $i=0,...,n-1$ poichè sono ortogonali e $\vec b*\vec b=1$ poichè $\vec b$ è versore). Ma $a_b$ per come abbiamo riscritto $A$ nella nuova base sarebbe la componente del vettore $A$ sulla retta in cui giace il vettore $B$ e come vedi dal disegno si ha che essa è uguale ad $a_b=||A||cos(theta)$, ma allora $A*B/||B||=||A||cos(theta)$. Come vedi la dimostrazione è valida in $n$ dimensioni.
Chiamiamo il versore $\vec b=B/||B||$ (vettore che ha stessa direzione e verso di $B$ ma modulo $1$) e $\vec c_1,...,\vec c_(n-1)$ una base di versori ortogonali a $\vec b$, hai che $\vec b,\vec c_1,...,\vec c_(n-1)$ è una base dello spazio in $n$ dimensioni per cui il vettore $A$ te lo scrivi come $A=a_b\vec b+a_1\vec c_1+...+a_n\vec c_(n-1)$. Quindi se fai $A*B/||B||=A*\vec b=a_b$ (qua usi che $\vec c_i*\vec b=0$ per $i=0,...,n-1$ poichè sono ortogonali e $\vec b*\vec b=1$ poichè $\vec b$ è versore). Ma $a_b$ per come abbiamo riscritto $A$ nella nuova base sarebbe la componente del vettore $A$ sulla retta in cui giace il vettore $B$ e come vedi dal disegno si ha che essa è uguale ad $a_b=||A||cos(theta)$, ma allora $A*B/||B||=||A||cos(theta)$. Come vedi la dimostrazione è valida in $n$ dimensioni.
"andreadel1988":
Immagina che questi due vettori siano in $n$ dimensioni e nel disegno si trovano sul piano che essi generano:
Chiamiamo il versore $\vec b=B/||B||$ (vettore che ha stessa direzione e verso di $B$ ma modulo $1$) e $\vec c_1,...,\vec c_(n-1)$ una base di versori ortogonali a $\vec b$, hai che $\vec b,\vec c_1,...,\vec c_(n-1)$ è una base dello spazio in $n$ dimensioni per cui il vettore $A$ te lo scrivi come $A=a_b\vec b+a_1\vec c_1+...+a_n\vec c_(n-1)$. Quindi se fai $A*B/||B||=A*\vec b=a_b$ (qua usi che $\vec c_i*\vec b=0$ per $i=0,...,n-1$ poichè sono ortogonali e $\vec b*\vec b=1$ poichè $\vec b$ è versore). Ma $a_b$ per come abbiamo riscritto $A$ nella nuova base sarebbe la componente del vettore $A$ sulla retta in cui giace il vettore $B$ e come vedi dal disegno si ha che essa è uguale ad $a_b=||A||cos(theta)$, ma allora $A*B/||B||=||A||cos(theta)$. Come vedi la dimostrazione è valida in $n$ dimensioni.
Oh yesss, tutto sembra filare...
Penso che ce l'abbiamo fatta e che l'esercizio lo abbiamo svolto correttamente, evvivaa!!
Grazie mille ancora del tempo che hai dedicato a questo argomento, davvero.
Ci vediamo al prossimo!
Di niente, grazie per la tua pazienza nel fatto che ogni volta ho dovuto cambiare le cose però come ti ho detto non ancora sono un esperto 
Ahahahahah figurati <3
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