Diagonalizzabilità
Salve, ho queste due matrici:
$((-4 , -5 , 2),(4k + 20 , 4k + 20 , -2k - 8),(10k + 32 , 10k + 30 , -5k - 12))$
$((-17 , 40 , 42),(2k - 14 , 34 - 5k , 36 - 6k),(6 - 2k , 5k - 15 , 6k - 16))$
come faccio a stabilire per quali valori di $k$ queste due matrici sono diagonalizzabili?
$((-4 , -5 , 2),(4k + 20 , 4k + 20 , -2k - 8),(10k + 32 , 10k + 30 , -5k - 12))$
$((-17 , 40 , 42),(2k - 14 , 34 - 5k , 36 - 6k),(6 - 2k , 5k - 15 , 6k - 16))$
come faccio a stabilire per quali valori di $k$ queste due matrici sono diagonalizzabili?
Risposte
Ciao, prendiamo la prima. Scriviamo la matrice $$A - \lambda I$$ e calcoliamo il suo determinante. Dopo qualche calcolo si trova \[-{\lambda}^{2}\,k+4\,\lambda\,k-4\,k-{\lambda}^{3}+4\,{\lambda}^{2}-4\,\lambda = -(\lambda-2)^2 (\lambda + k)\] che si annulla per $$\lambda = -k \vee \lambda = 2$$ Abbiamo quindi due autovalori (che in realtà potrebbero essere uguali per $k=-2$). Riesci a proseguire da qui? Ora si tratta di verificare la condizione di diagonalizzabilità $$m_a = m_g$$ dove $m_a$ è la molteplicità algebrica e $m_g$ è la molteplicità geometrica di ogni autovalore.
avevo provato a fare in questa maniera ma mi ero fermato nel mezzo del calcolo del determinante 
hai fatto con sarrus?
hai fatto con sarrus?
In realtà, per non scrivere cose sbagliate, ho fatto con il PC... 
Però sì, se dovessi farlo a mano userei Sarrus. Se poi non ti tornano i calcoli me lo dici che li posto.
Però sì, se dovessi farlo a mano userei Sarrus. Se poi non ti tornano i calcoli me lo dici che li posto.
okok provo
ma può risultare che la matr. non è mai diagonalizzabile?
Non ne sono sicuro al 100% ma direi di sì.
la moltplicità al. di primo è 1 mentre quella del secondo è 2 mentre quella geometrica è per entrambi 0 no?
Guarda che probabilmente queste molteplicità dipenderanno dal parametro $k$. Non ho fatto calcoli ma mi sembrerebbe più sensato così...
allora penso di farlo sbagliato quella geometrica non è uguale a 3 - il rango della matrice?
Consideriamo l'autovalore $2$ e scriviamo la matrice $A-2I$ $$
\begin{bmatrix}
-6&-5&2\\4k+20&4k+18&-2k-8\\10k+32&10k+30&-5k-14
\end{bmatrix}
$$ Dobbiamo trovare il suo Ker, ovvero il suo nucleo. Cerchiamo di capire quale sia il rango di questa matrice. Potrà essere solo $1$ oppure $2$. Infatti è almeno $1$ perché esiste almeno un elemento non nullo, ed è sicuramente minore di $3$ perché la matrice è singolare (il suo determinante è nullo). Prendiamo un minore \(2\times 2\), ad esempio $$\begin{bmatrix}
-6&-5\\4k+20&4k+18
\end{bmatrix}
$$ E' invertibile? Dipende da $k$. Infatti il suo determinante è $$-4k-8$$ che è diverso da zero se \(k \neq -2\) Cosa succede allora per $k=-2$? La matrice $A-2I$ diventa $$
\begin{bmatrix}
-6&-5&2\\12&10&-4\\12&10&-4
\end{bmatrix}
$$ che ha rango $1$.
E si continua con l'analisi...
\begin{bmatrix}
-6&-5&2\\4k+20&4k+18&-2k-8\\10k+32&10k+30&-5k-14
\end{bmatrix}
$$ Dobbiamo trovare il suo Ker, ovvero il suo nucleo. Cerchiamo di capire quale sia il rango di questa matrice. Potrà essere solo $1$ oppure $2$. Infatti è almeno $1$ perché esiste almeno un elemento non nullo, ed è sicuramente minore di $3$ perché la matrice è singolare (il suo determinante è nullo). Prendiamo un minore \(2\times 2\), ad esempio $$\begin{bmatrix}
-6&-5\\4k+20&4k+18
\end{bmatrix}
$$ E' invertibile? Dipende da $k$. Infatti il suo determinante è $$-4k-8$$ che è diverso da zero se \(k \neq -2\) Cosa succede allora per $k=-2$? La matrice $A-2I$ diventa $$
\begin{bmatrix}
-6&-5&2\\12&10&-4\\12&10&-4
\end{bmatrix}
$$ che ha rango $1$.
E si continua con l'analisi...
quindi per l'autovalore $2$ la $m_{g}$ è 1 nel caso in cui $k!=-2$, mentre è 2 quando $k=-2$ (quindi è diagonalizzabile in questo caso) ?
Attenzione perché se $k=-2$ i due autovalori sono coincidenti e acquistano molteplicità algebrica pari a $3$.
cercando su internet ho letto che se sono due concidenti hanno $m_{a}$ mentre in caso contrario è 1, quindi non è così?
Dunque io concluderei l'esercizio in questo modo.
La matrice ammette due autovalori $$\lambda = -k \quad \vee \quad \lambda = 2$$
Consideriamo due casi.
Primo caso: \(k \neq -2\).
Allora l'autovalore $2$ ha $m_a = 2$. Tuttavia la sua molteplicità geometrica è $1$ perché siamo nel caso \(k \neq -2\) e abbiamo visto che esiste un minore \(2\times 2\) invertibile che rende il rango di $A-2I$ pari a $2$.
Concludiamo che per \(k \neq -2\) la matrice non è diagonalizzabile.
Secondo caso: \(k=-2\).
Allora esiste un unico autovalore $\lambda = 2$ con $m_a=3$. Tuttavia la sua molteplicità geometrica è $2$ perché abbiamo visto che per $k=-2$ la matrice $A-2I$ ha rango pari a $1$.
Concludiamo che per $k=-2$ la matrice non è diagonalizzabile.
Questo ci porta a dire che la matrice non è mai diagonalizzabile, a meno di miei errori.
PS. Questo è un caso particolare perché il valore di $k$ che fa coincidere i due autovalori è lo stesso valore di $k$ che influenza il rango della matrice $A-\lambda I$.
La matrice ammette due autovalori $$\lambda = -k \quad \vee \quad \lambda = 2$$
Consideriamo due casi.
Primo caso: \(k \neq -2\).
Allora l'autovalore $2$ ha $m_a = 2$. Tuttavia la sua molteplicità geometrica è $1$ perché siamo nel caso \(k \neq -2\) e abbiamo visto che esiste un minore \(2\times 2\) invertibile che rende il rango di $A-2I$ pari a $2$.
Concludiamo che per \(k \neq -2\) la matrice non è diagonalizzabile.
Secondo caso: \(k=-2\).
Allora esiste un unico autovalore $\lambda = 2$ con $m_a=3$. Tuttavia la sua molteplicità geometrica è $2$ perché abbiamo visto che per $k=-2$ la matrice $A-2I$ ha rango pari a $1$.
Concludiamo che per $k=-2$ la matrice non è diagonalizzabile.
Questo ci porta a dire che la matrice non è mai diagonalizzabile, a meno di miei errori.
PS. Questo è un caso particolare perché il valore di $k$ che fa coincidere i due autovalori è lo stesso valore di $k$ che influenza il rango della matrice $A-\lambda I$.
ah certo ora ho capito grazie mille
"Lexis92":
ah certo ora ho capito grazie mille
Prego! Prova a fare il secondo e se hai problemi lo guardiamo.
per caso mi sapresti dire quanto viene il det. della seconda? ci ho perso 1 ora per calcolarlo e vorrei vedere se corrisponde
ci ho perso 1 ora per calcolarlo e vorrei vedere se corrisponde
Il determinante della seconda viene $$-2k$$ mentre il determinante di $A-\lambda I$ è $$(\lambda - 2)(\lambda + 1)(k-\lambda)$$
ho sbagliato di brutto il det. comunque allora ottengo 3 autovalori
$\lambda_{1} = 2$
$\lambda_{2} = -1$
$\lambda_{3} = k$
per $\lambda_{1} = 2$
considero il minore
$((-19,40),(2k-14,32-5k))$
il det. è $15k-48$ che è diverso da 0 per $k!=16/5$ quindi di rango 2
di conseguenza si ha che $m_{a}=1$ e $m_{g}=1$ (quindi diagonalizzabile) ma anche per $k!=2$ perchè in quel caso avrebbe $m_{a}=2$ no?
mentre per $\lambda_{1} = -1$
ottengo che la matrice è di rango 2 per $k!=-1$ quindi $m_{a}=1$ e $m_{g}=1$ mentre se $k=1$ il rango è 1 di conseguenza sia la $m_{a}=2$ e $m_{g}=2$
quindi è diagonalizzabile per $k!=16/5$ e $k!=2$?
$\lambda_{1} = 2$
$\lambda_{2} = -1$
$\lambda_{3} = k$
per $\lambda_{1} = 2$
considero il minore
$((-19,40),(2k-14,32-5k))$
il det. è $15k-48$ che è diverso da 0 per $k!=16/5$ quindi di rango 2
di conseguenza si ha che $m_{a}=1$ e $m_{g}=1$ (quindi diagonalizzabile) ma anche per $k!=2$ perchè in quel caso avrebbe $m_{a}=2$ no?
mentre per $\lambda_{1} = -1$
ottengo che la matrice è di rango 2 per $k!=-1$ quindi $m_{a}=1$ e $m_{g}=1$ mentre se $k=1$ il rango è 1 di conseguenza sia la $m_{a}=2$ e $m_{g}=2$
quindi è diagonalizzabile per $k!=16/5$ e $k!=2$?
Hai copiato male la matrice: nel primo post avevi scritto $$\begin{pmatrix}-17&40 \\ 2k-14&34-5k\end{pmatrix}$$ Comunque direi di procedere così: se $k != 2, -1$ allora i tre autovalori sono semplici e quindi la matrice è sicuramente diagonalizzabile. Poi dobbiamo andare a vedere cosa succede per $k=2$ e per $k=-1$. In quel caso uno dei due autovalori ha molteplicità algebrica pari a $2$ e si deve calcolare la sua molteplicità geometrica.
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