Diagonalizzabilità

[Lexis92]

Salve, ho queste due matrici:

$((-4 , -5 , 2),(4k + 20 , 4k + 20 , -2k - 8),(10k + 32 , 10k + 30 , -5k - 12))$

$((-17 , 40 , 42),(2k - 14 , 34 - 5k , 36 - 6k),(6 - 2k , 5k - 15 , 6k - 16))$

come faccio a stabilire per quali valori di $k$ queste due matrici sono diagonalizzabili?

[Lexis92]

quindi se $k=2$ la matrice $A-2I$ ha rango 2 quindi $m_{g}=1!=m_{a}$ ( non diagonalizzabile) invece se $k=-1$ la matrice $A+I$ ha rango 1 quindi $m_{g}=2=m_{a}$, alla fine ottengo che è diagonalizzabile solo per $k!=2$ giusto?
Se invece ho un endomorfismo $f(x,y,z)=( 3x,(65-5k)z + (5k-55)y + (72-5k)x,(57-4k)z + (4k-48)y + (60-4k)x)$ e devo trovare per quale valore di $k$ non è diagonalizzabile, faccio la matrice e procedo anche in questa maniera?

[minomic]

"Lexis92":quindi se $k=2$ la matrice $A-2I$ ha rango 2 quindi $m_{g}=1!=m_{a}$ ( non diagonalizzabile) invece se $k=-1$ la matrice $A+I$ ha rango 1 quindi $m_{g}=2=m_{a}$, alla fine ottengo che è diagonalizzabile solo per $k!=2$ giusto?

Sì anche io mi ritrovo con quello che dici.

"Lexis92":Se invece ho un endomorfismo $f(x,y,z)=( 3x,(65-5k)z + (5k-55)y + (72-5k)x,(57-4k)z + (4k-48)y + (60-4k)x)$ e devo trovare per quale valore di $k$ non è diagonalizzabile, faccio la matrice e procedo anche in questa maniera?

Sì esatto: scrivi la matrice associata all'applicazione e applichi lo stesso procedimento.

[Lexis92]

grazie mille

[minomic]

Prego! Comunque non so se lo avete fatto ma il passaggio più "interessante" è poi la diagonalizzazione vera e propria, cioè la costruzione della matrice $P$ tale che $$P^{-1}AP = D$$ dove $D$ è una matrice diagonale.

[Lexis92]

Scusami se ti disturbo di nuovo, ti volevo chiedere un'ultima cosa devo vedere per quale valore di $k$ non è diagonalizzabile il seguente endomorfismo $f(x,y,z)=( -z+y+2x,(41-5k)z+(5k-36)y+(43-5k)x,(39-4k)z+(4k-34)y+(39-4k)x)$
calcolo il det. per trovare gli autovalori ed ottengo $(2-\lambda)(\lambda-k+2)(\lambda-5)+5\lambda-k\lambda+5k+5$
penso sia corretto ma adesso come faccio a trovare gli autovalori?

"minomic":Prego! Comunque non so se lo avete fatto ma il passaggio più "interessante" è poi la diagonalizzazione vera e propria, cioè la costruzione della matrice $P$ tale che $$P^{-1}AP = D$$ dove $D$ è una matrice diagonale.

non è richiesto